一類具有VCT 意識(shí)的HIV/AIDS 傳染病模型

張 婷，張?zhí)?/p>

(長(zhǎng)安大學(xué) 理學(xué)院，西安 710064)

0 引言

人類免疫缺陷病毒(HIV)是一種逆轉(zhuǎn)錄病毒，它通過(guò)感染人體的免疫細(xì)胞損害或摧毀人體的其他功能。根據(jù)世衛(wèi)組織發(fā)布的關(guān)于艾滋病自檢新指南，40%的感染者(超過(guò)1400 萬(wàn))對(duì)其病情一無(wú)所知。艾滋病毒檢測(cè)顯示，撒哈拉以南非洲的艾滋病感染者中，80%的成年人不知曉自己的病情，90%以上的人不知曉其伴侶是否感染［1］。VCT 是國(guó)際公認(rèn)有效的預(yù)防和護(hù)理策略，是指人們?cè)诮?jīng)過(guò)咨詢和檢測(cè)后對(duì)艾滋病檢測(cè)做出明智選擇的過(guò)程。VCT 的目的是保護(hù)易感人群不受感染，受感染人群不具有傳染性，從而控制艾滋病毒的傳播。由于HIV 檢測(cè)是知曉HIV 感染的唯一途徑，近年來(lái)世衛(wèi)組織建議擴(kuò)大艾滋病自愿咨詢和檢測(cè)，普遍自愿檢測(cè)和治療能有效減少艾滋病相關(guān)疾病的發(fā)病率和死亡率［2-3］。

對(duì)于艾滋病的傳播規(guī)律，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了深入研究［4-11］。在大多數(shù)關(guān)于意識(shí)的理論研究中，基本假設(shè)是意識(shí)可以改變疾病的傳播模式，降低感染率。由于不同疾病的傳播方式不同，因此有意識(shí)的人會(huì)根據(jù)特定的疾病采取預(yù)防措施。關(guān)于意識(shí)對(duì)疾病在傳播過(guò)程中的作用，也有學(xué)者做過(guò)研究。Sharma 等［12］提出意識(shí)能夠誘導(dǎo)易感者的行為發(fā)生改變，從而導(dǎo)致有意識(shí)群體的隔離，建立了一個(gè)具有時(shí)滯的非線性傳染病模型來(lái)研究意識(shí)對(duì)疾病流行的影響。Samanta 等［13］假設(shè)易感個(gè)體在意識(shí)狀態(tài)和非意識(shí)狀態(tài)之間轉(zhuǎn)化，并且通過(guò)理論分析和數(shù)值模擬得出:有意識(shí)的感染人群中轉(zhuǎn)換率的增加和感染率的降低很大程度上能降低疾病的發(fā)生率。Roy 等［14］根據(jù)大多數(shù)艾滋病感染主要來(lái)自不知情的人這一情況，提出人的意識(shí)導(dǎo)致了易感—感染這一階段中感染率的降低。特別地，意識(shí)因素不僅對(duì)個(gè)體的行為變化有很大的影響，而且對(duì)政府部門干預(yù)和控制艾滋病的傳播也能提供幫助。因此，本文中主要通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)研究VCT 意識(shí)對(duì)艾滋病傳播的影響。

1 模型與平衡點(diǎn)

HIV 的感染包含3 個(gè)階段:急性感染期、潛伏期和艾滋病期。本文中將急性感染期與潛伏期合并為HIV 感染期。將模型中的總?cè)巳合薅ㄔ诟呶Ｈ巳悍秶鷥?nèi)，考慮到VCT 意識(shí)，HIV 感染者人群可分為有VCT 意識(shí)和無(wú)VCT 意識(shí)兩類。因此整個(gè)人群劃分為4 類:易感者S、無(wú)VCT 意識(shí)的HIV 感染者I1、有VCT 意識(shí)的HIV 感染者I2和艾滋病人A。HIV 的主要傳染源是艾滋病人和HIV 感染者，但由于在有VCT 意識(shí)的HIV 感染者人群中，意識(shí)因素對(duì)個(gè)體的行為變化有很大的影響，從而假設(shè)這類人群與易感者之間不發(fā)生接觸感染。因此，感染主要發(fā)生在艾滋病人和無(wú)VCT 意識(shí)的HIV感染者這兩類人群中。建立如下的SI1I2A 傳染病模型表達(dá)式:

模型(1)中，Λ 表示高危人群的輸入率;d 表示個(gè)體的自然死亡率;α 表示因病死亡率;β1表示無(wú)VCT 意識(shí)的HIV 感染者與易感者之間的感染率，β2表示艾滋病人與易感者之間的感染率;pi表示易感者感染后分別進(jìn)入倉(cāng)室Ii的比例，其中p1+p2=1;τi表示HIV 感染者Ii轉(zhuǎn)化為病人的比率(i=1，2;τ2＜τ1);ρ 表示無(wú)VCT 意識(shí)的HIV 感染者轉(zhuǎn)化為有VCT 意識(shí)感染者的比率。為方便起見(jiàn)，令ω1=ρ+τ1+d，ω2=τ2+d，ω3=d+α，從而模型(1)簡(jiǎn)寫為:

定理1 給出了地方病平衡點(diǎn)的存在性。

定理1當(dāng)R0＞1 時(shí)，模型(2)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)，其中。

2 無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

本節(jié)中，討論無(wú)病平衡點(diǎn)的全局性態(tài)，這對(duì)疾病是否消亡有著重要的意義。首先給出無(wú)病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。

定理2若R0＜1，模型(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定;若R0＞1，則E0不穩(wěn)定。

證明模型(2)在處的Jacobi矩陣為

顯然λ=-d 是J(E0)的1 個(gè)特征值，其他的特征值則由方程f(λ)=λ3+a1λ2+a2λ+a3=0確定，其中:

因?yàn)镽0＜1，則＜ω1，于是a1，a3＞0，對(duì)于a2，有

同時(shí)

由Hurwitz 準(zhǔn)則可得出f(λ)的所有根均具有負(fù)實(shí)部。另一方面，當(dāng)R0＞1 時(shí)，由a3＜0 可得J(E0)含有1 個(gè)正實(shí)部的特征根。綜上所述，當(dāng)R0＜1 時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0＞1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0不穩(wěn)定。

下面討論模型(2)無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。首先將模型(2)的4 個(gè)方程相加得到

通過(guò)比較定理知，

是模型(2)的最大正向不變集。下面的定理給出了模型(2)無(wú)病平衡點(diǎn)的全局動(dòng)力學(xué)行為。

定理3若R0≤1，無(wú)病平衡點(diǎn)E0在Ω 內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。

證明記

表示y=(I1，I2，A)T，模型(2)在Ω 中滿足下面的不等式:

因?yàn)镽0=ρ(FV-1)=ρ(V-1F)，可證UV-1F=R0U。

構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)［16］:L=UV-1y。

沿著模型(2)求全導(dǎo)數(shù)可得

當(dāng)R0＜1 時(shí)，有≤0。此時(shí)=0，蘊(yùn)含著Uy=0，則I1=I2=A=0。從模型(2)的方程式中可以得出S=。故當(dāng)=0 時(shí)，模型(2)的唯一ω 不變集是單點(diǎn)集。

當(dāng)R0=1 時(shí)，有≤0，此時(shí)=0，意味著S=。由于最大正向不變集ω 滿足S+I1+I2+A≤。因此可得I1=I2=A=0。同理，可得出最大ω不變集仍是單點(diǎn)集。

由LaSalle 不變集原理可知，E0在Ω 內(nèi)全局漸近穩(wěn)定。證明完畢。

3 地方病平衡點(diǎn)的分析

在第1 節(jié)中，得出了當(dāng)R0＞1 時(shí)，模型(2)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E*，下面將給出地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性行為以及持久性。

定理4若R0＞1，地方病平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的。

證明模型(2)在E*處的Jacobi 矩陣為

J(E*)的特征方程由下面方程確定

綜上所述，b3(b1b2-b3)-＞0。由Hurwitz 準(zhǔn)則，J(E*)的特征根均具有負(fù)實(shí)部。因此，地方病平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定。

下面證明模型(2)表示的地方病的持久性。

定理5若R0＞1，則模型(2)至少存在1 個(gè)正平衡點(diǎn)E*=(S*，，A*)且存在1 個(gè)正常數(shù)ε，使得對(duì)初始值S(0)≥0，I1(0)＞0，I2(0)＞0，A(0)＞0，模型(1)的所有解(S(t)，I1(t)，I2(t)，A(t))滿足

證明 記

只需證明模型關(guān)于(X0，?X0)是一致持久的。

首先，容易看出X 和X0是正不變集。?X0在X 中是閉的。顯然模型(2)是點(diǎn)耗散的。定義

下面證明M?=。

(S(0)，I1(0)，I2(0)，A(0))∈M?

需證當(dāng)t≥0 有，I1(t)=0，I2(t)=0，A(t)=0。假設(shè)存在t0≥0，使下列之一成立:

(i)I1(t)＞0，(ii)I2(t)＞0，(iii)A(t)＞0

若(i)成立，則對(duì)模型(2)進(jìn)行求解可得:

故?t≥t0，有(S(t)，I1(t)，I2(t)，A(t))??X0，這與(S(0)，I1(0)，I2(0)，A(0))∈M?矛盾。

同理可證(ii)和(iii)成立。

顯然在M?內(nèi)只有1 個(gè)平衡點(diǎn)E0。由上述結(jié)論可推出E0是X 中的單點(diǎn)集，Ws(P0)∩X0=?，在M?中每個(gè)軌道都趨向于E0，E0在M?中是非環(huán)的。根據(jù)文獻(xiàn)［15］中定理4.6 可知，模型(2)關(guān)于(X0，?X0)是一致持久的。定理得證。

注:在第1 節(jié)中已經(jīng)證明了地方病平衡點(diǎn)的存在性。另外，由文獻(xiàn)［17］中定理2.4 可得到，模型(2)有一個(gè)平衡點(diǎn)∈X0。事實(shí)上由S*＞0 可知就是模型的一個(gè)正平衡點(diǎn)。

4 數(shù)值模擬

4.1 參數(shù)估計(jì)

基于中國(guó)疾病預(yù)防控制中心的現(xiàn)有數(shù)據(jù)(表1)，使用模型(2)對(duì)云南省2004—2017 年的艾滋病人數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬(圖1)，并預(yù)測(cè)2018—2022 年艾滋病人的數(shù)量。采用非線性最小二乘法(LSM)估計(jì)模型(2)中的重要參數(shù)p1，p2，β1，β2，τ2，ρ。其余參數(shù)可以從文獻(xiàn)［9，17］得到(表2)。

表1 云南省2004—2017 年新發(fā)病人數(shù)

圖1 云南省2004—2017 年報(bào)告新發(fā)病人直方圖

表2 模型(2)的各參數(shù)值

根據(jù)表2 中的參數(shù)可以計(jì)算出目前云南省HIV/AIDS 在高危人群中的基本再生數(shù)R0=1.681 8＞1。這表明云南省HIV/AIDS 仍將處于流行狀態(tài)，對(duì)艾滋病疫情的防治工作還需加強(qiáng)。圖2(a)的結(jié)果表明，易感者與有VCT 意識(shí)的HIV 感染者和無(wú)VCT 意識(shí)的HIV 感染者關(guān)于時(shí)間的變化是趨于穩(wěn)定的。圖2(b)為云南省2004—2017 年艾滋病人的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果，艾滋病人的數(shù)量先增加之后穩(wěn)定，根據(jù)目前的控制措施和管理政策，可以預(yù)測(cè)未來(lái)幾年艾滋病人數(shù)量將趨于穩(wěn)定且短時(shí)期內(nèi)不能消除。

圖2 艾滋病人與模型(2)擬合的數(shù)據(jù)曲線

4.2 數(shù)值模擬

使用上述估計(jì)參數(shù)對(duì)艾滋病例數(shù)量進(jìn)行模擬。首先，圖3(a)中顯示了不同R0值下病人的數(shù)量變化。這表明在易感人群中建立的閾值確實(shí)為基本再生數(shù)R0，并且病人數(shù)量隨著R0的增加而增加。圖3(b)反映了高危人群的輸入率Λ 對(duì)病人數(shù)量的影響。可以看出，隨著時(shí)間的推移病人數(shù)量先增加后減小。當(dāng)高危人群的輸入率高于50%時(shí)，病人數(shù)量迅速增加，這時(shí)隨著時(shí)間的推移逐漸趨于穩(wěn)定，意味著疾病持續(xù)存在。而當(dāng)高危人群的輸入率低于10%時(shí)，病人數(shù)量呈現(xiàn)出下降趨勢(shì)，意味著隨著時(shí)間推移疾病可能消亡。因此，數(shù)值結(jié)果表明限制高危人群的輸入率也可以控制疾病的大規(guī)模爆發(fā)。

圖3 不同參數(shù)值對(duì)艾滋病例數(shù)量變化的數(shù)值模擬曲線

4.3 參數(shù)的敏感性分析

下面使用偏秩相關(guān)系數(shù)(PRCC)來(lái)分析模型(2)中的主要參數(shù)對(duì)基本再生數(shù)R0的影響。根據(jù)表2 中參數(shù)的估計(jì)結(jié)果，對(duì)主要參數(shù)選擇一個(gè)正態(tài)分布。根據(jù)LHS(拉丁超立方采樣)矩陣，用PRCC 評(píng)估了輸出變量R0和輸入?yún)?shù)(p1，p2，β1，β2，τ1，τ2，ρ)之間的敏感性(圖4)。PRCC 值為正(或負(fù))表示輸入?yún)?shù)和輸出變量之間存在正(或負(fù))相關(guān)。PRCC 的絕對(duì)值在0～0.2 表明輸入?yún)?shù)與輸出變量之間不存在顯著相關(guān)性;PRCC 的絕對(duì)值在0.2～0.4 表明輸入?yún)?shù)與輸出變量之間存在中度相關(guān)性;PRCC 的絕對(duì)值在0.4～1 表明輸入?yún)?shù)與輸出變量之間具有較高的相關(guān)性［18］。從圖4 中可以看出，與R0有強(qiáng)相關(guān)性關(guān)系的參數(shù)為:易感者轉(zhuǎn)化為無(wú)VCT 意識(shí)的HIV 感染者的比例(p1)，無(wú)VCT 意識(shí)的HIV 感染者感染易感者的接觸率(β1)和無(wú)意識(shí)的HIV 感染者轉(zhuǎn)化為有意識(shí)感染者的比率(ρ)。因此，該結(jié)果表明這些參數(shù)對(duì)HIV/AIDS 控制更加有效。例如，可以通過(guò)減少易感者向無(wú)VCT 意識(shí)的感染者的轉(zhuǎn)化比例p1和易感者與HIV 感染者之間的接觸率β1來(lái)減少基本再生數(shù);加強(qiáng)HIV 感染者的VCT 意識(shí)可以直接減小基本再生數(shù)，從而控制艾滋病的傳播。

圖4 部分相關(guān)參數(shù)對(duì)R0 的PRCC 結(jié)果

4.4 VCT 意識(shí)對(duì)艾滋病傳播的影響

下面選取表2 中參數(shù)估計(jì)結(jié)果模擬增加VCT意識(shí)對(duì)艾滋病人數(shù)量變化的影響。如圖5 所示，當(dāng)艾滋病人中有VCT 意識(shí)比率低于70%時(shí)，病人數(shù)量急速增加后緩緩下降。當(dāng)VCT 意識(shí)比率達(dá)到70%時(shí)，病人數(shù)量不會(huì)大規(guī)模增加，且隨著時(shí)間推移趨于穩(wěn)定。而當(dāng)VCT 意識(shí)比率達(dá)到90%時(shí)，病人數(shù)量處于低流行期且持續(xù)減少。因此，提高VCT 意識(shí)對(duì)控制艾滋病的傳播有著積極的影響。

圖5 ρ 值減小對(duì)艾滋病人數(shù)量的影響

5 結(jié)論

考慮到VCT 意識(shí)對(duì)艾滋病傳播的影響，提出了將HIV 感染者分為兩類:有VCT 意識(shí)HIV 感染者和無(wú)VCT 意識(shí)HIV 感染者。建立了一類具有VCT 意識(shí)影響的SI1I2A 模型。給出了決定艾滋病流行的閾值—基本再生數(shù)R0，并討論了平衡點(diǎn)的存在性及其穩(wěn)定性。結(jié)果表明，模型的動(dòng)力學(xué)行為是由R0決定的。敏感性分析表明開(kāi)展艾滋病檢測(cè)工作，進(jìn)行艾滋病防治宣傳，進(jìn)一步增強(qiáng)廣大群眾對(duì)艾滋病防治意識(shí)可以有效降低人群與HIV病毒的接觸率，減少基本再生數(shù)。模擬了VCT 意識(shí)對(duì)艾滋病傳播的影響。數(shù)值結(jié)果表明，擴(kuò)大艾滋病自愿咨詢和檢測(cè)，達(dá)到90%的覆蓋率后，染病者的數(shù)量處于低流行狀態(tài)且呈現(xiàn)減少趨勢(shì)。因此，倡導(dǎo)宣傳VCT 意識(shí)來(lái)提高感染者的知曉狀況，積極動(dòng)員有易感染艾滋病危險(xiǎn)行為的重點(diǎn)人群主動(dòng)接受檢測(cè)，采取治療和預(yù)防措施，減少感染人數(shù)，從而控制疾病的流行。這系列工作對(duì)防治艾滋病、實(shí)現(xiàn)“三個(gè)90%"目標(biāo)措施是有效的。

艾滋病病毒檢測(cè)結(jié)果需要一定的時(shí)間，因此在模型中考慮時(shí)滯因素可以減小預(yù)測(cè)誤差。由于感染艾滋病病毒后，不同年齡產(chǎn)生的病毒能力不同，感染率不同，病毒感染的動(dòng)力學(xué)傳播過(guò)程發(fā)生變化。因此，考慮不同年齡結(jié)構(gòu)的HIV 感染者模型是非常有必要的，這些因素將在未來(lái)工作中考慮。