基于局部搜索NSGA-Ⅱ算法的機械產品分組選擇裝配方法

李 好 徐志玲 徐 勇 趙有為

1.中國計量大學質量與安全工程學院，杭州，3100182.臺州方圓質檢有限公司，臺州，3180003.浙江天馬軸承集團有限公司，湖州，313200

0 引言

機械產品的裝配由于各零件尺寸鏈偏差累積，導致合格零件經裝配后無法滿足企業要求，雖然可通過提高零件制造精度來滿足裝配要求， 但勢必會增加相應的制造成本。選擇裝配法是在不增加制造成本的條件下，在裝配層通過對零件的質量特性進行匹配選擇，使產品滿足企業的裝配要求。

目前，國內外學者主要針對零件的精確選擇裝配和分組選擇裝配兩種方法進行選擇裝配方法研究。對于分組選擇裝配的方法，KANNAN等[1-2]提出了一種基于遺傳算法尋求最優分組的方法以獲得最小間隙變化，將裝配過程分為三階段，但該方法要求零件尺寸服從正態分布。KUMAR等[3]提出了一種兩階段方法，通過遺傳算法來最大程度減少剩余件。RAJ等[4-5]提出了一種基于粒子群算法的選擇裝配方法，在多質量要求下通過應用分批選擇裝配法來提高裝配效率。RAJESH等[6]提出一種人工免疫系統(AIS)算法，以裝配公差變化及質量損失最小為目標，獲得最佳裝配組合。WANG等[7]提出了一種改進的遺傳算法用以解決非正態分布零件的選擇裝配問題，提高了選擇裝配的合格率。在精確選擇裝配方面，任水平等[8]提出構建面向三維空間的同一選擇裝配信息模型，以公差項為單元的編碼方式對多質量要求下的選擇裝配進行優化。宿彪等[9]針對再制造裝配問題，以裝配精度和再制造利用率為目標建立選擇裝配模型，有效提高了重用件和修復件的利用率。王康等[10]提出基于強度Pareto算法對多質量要求選擇裝配問題進行求解。曹杰等[11]建立考慮形位公差與尺寸公差的選擇裝配模型，在保證裝配精度的情況下，減小產品的形位公差。段黎明等[12]提出考慮零件尺寸與尺寸鏈關聯關系，利用基于密度的多目標進化算法(DMOEA)對多目標選擇裝配問題進行求解。

綜上，精確選擇裝配能有效提高選擇裝配中的裝配精度以及裝配合格率，但大批量生產的方式往往采用分組選擇裝配。分組選擇裝配研究通常以零件尺寸服從正態分布為前提，當零件尺寸出現非正態分布時則不適用。本文提出一種非正態分布下的分組選擇裝配方法，綜合考慮裝配精度和裝配合格率，分析各組成環偏差分布的特點，以決策者對裝配精度和裝配成功率的偏好選定目標值，借鑒田口質量損失函數構建分組選擇裝配綜合數學模型。利用第二代非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)混合模擬退火算法求解數學模型，借助成績標量函數(achievement scalarizing function，ASF)[13]將多目標問題通過聚合函數轉換為一個標量，利用模擬退火算法進行局部搜索，提升種群收斂速度和求解精度，最終得到最優分組方案。

1 非正態分布分組選擇裝配優化模型

1.1 非正態分布剩余偏差分析

傳統的選擇裝配為獲得較高的裝配精度，通常在各組成環中挑選合適的零件尺寸相互匹配，使裝配而成的產品其封閉環實際尺寸接近理想尺寸，但實際上由于不同的零件加工難度不同，其尺寸分布也不相同，出現非正態分布的情況，如圖1所示，如果仍按照傳統的方式進行選擇裝配將產生大量剩余件。徐知行等[14]從所有組成環偏差總體的角度分析，得出封閉環尺寸在平均偏差位置的附近分布概率最大，以封閉環的平均偏差位置為目標值進行選擇裝配，將獲得較高匹配率。封閉環的平均偏差即所有組成環偏差算術平均值的代數和，其表達式如下：

(1)

圖1 封閉環偏差尺寸分布Fig.1 Closed loop deviation size distribution

通常封閉環的理想尺寸為公差帶中心值dcen，若以dcen為目標值進行選擇裝配，將得到較高的裝配精度；若以封閉環平均偏差dave為目標值進行選擇裝配，則得到較高裝配成功率。裝配精度和裝配成功率無法同時獲得最優，兩個參數的協調和優選需要決策者根據裝配的具體要求，通過加權的方式來選擇權重a和b,協調對裝配精度和裝配成功率之間的偏好，如下所示：

(2)

式中,d0∈[dave,dcen]；a,b為[0,1]的常數且a+b=1。

a越大，d0越偏向dave，此時得到較高裝配成功率。實際生產中，企業往往優先考慮制造成本，即提高裝配合格率，減少生產浪費，其次考慮裝配精度。b越大，d0越偏向dcen，使得裝配精度越高，產品質量越好。選擇偏好a或b由企業的受眾群體決定。當封閉環的平均偏差為0時，則dave=dcen，此時的d0即為dcen，即正態分布。

1.2 優化目標函數構建

選擇裝配既要獲得較高的裝配精度又要減少剩余件，提高裝配成功率，因此是多目標優化問題。以裝配精度和裝配成功率作為分組配對方案的選擇裝配質量評價指標，建立模型。

1.2.1基于質量損失函數的裝配精度評價指標

由田口質量損失函數定義，質量特征值距離目標值越近，即封閉環實際尺寸與理想尺寸的偏差越小，造成的質量損失越小；反之，造成的質量損失越大。為保證封閉環總的偏差波動最小，提升產品性能，根據田口質量損失函數，構建產品裝配質量損失的適應度函數來評價裝配質量。由于目標值不一定為公差帶的中心值，造成公差帶不對稱，如圖2所示，且在公差帶的左端點和右端點造成的質量損失應相等[15]，故引入α和β，α、β分別表示公差帶左右端點與目標值的距離占總公差帶范圍的比例，α+β=1，d0-αT、d0+βT分別表示公差帶的左邊界和右邊界，T為封閉環公差帶的寬度。

圖2 質量損失評價函數Fig.2 Quality loss evaluation function

構建質量損失函數：

q(dp)=

(3)

式中，dp為第p件零件的實際尺寸；λ為[0,1]內的常數，表示產品配合參數位于公差帶邊界時的可接受程度，根據實際工程經驗給出。

在對單個配對關系評價q(dp)的基礎上，對整個選擇裝配方案進行綜合評價：

(4)

式中，S為零件分組配對方案。

1.2.2裝配成功率評價指標

裝配成功率指選擇裝配得到滿足封閉環公差要求的產品數量與參與選擇裝配總的產品數量的比值，即

(5)

式中，N2為一次選擇裝配后得到的產品件數；N1為一次選擇裝配后滿足質量要求的產品件數。

1.3 多目標選擇裝配綜合模型

多目標要求下的選擇裝配，考慮其裝配精度及裝配成功率對裝配質量的影響，定義多目標選擇裝配綜合模型：

minR(S)=[Q(S),δ(S)]S∈Ω

(6)

式中，R為目標函數；Ω表示解空間;δ(S)為不合格率。

為了使目標優化方向一致，令不合格率

δ(S)=1-φ(S)

(7)

2 基于局部搜索NSGA-Ⅱ算法求解模型

NSGA-Ⅱ算法對于多目標優化問題求解具有魯棒性和收斂性好等特點，通過快速非支配排序比較個體優劣，采用擁擠度比較個體，可保證種群的多樣性，但算法局部搜索能力較差，后期的搜索速度較慢。考慮到模擬退火算法局部搜索能力強，在NSGA-Ⅱ算法的基礎上以ASF函數作為評價函數，利用模擬退火算法實現局部搜索。

2.1 分組選擇裝配的編碼方法

2.1.1分組數量計算

與傳統分組選擇裝配統一將零件依照過程能力分為6組不同，根據零件的尺寸公差帶范圍和封閉環公差帶寬度，確定零件分組的組數:

(8)

式中，k為分組的組數；Ti為第i個組成環設計公差帶的寬度；Tσ為封閉環公差帶要求的寬度；ceiling(·)表示向上取整。

2.1.2分組方案編碼

為了將分組選擇裝配方案中的具體信息映射到基因編碼中，采用浮點數和整數相結合的編碼形式構建染色體，染色體結構如下：

(9)

f=1,2,…，mg=1,2,…,k

式中，m為零件類型的數量；tf,g為浮點數,表示第f類零件的第g組相對公差范圍寬度，實際公差范圍寬度為tf,g×tf；Gf,g為整數,表示第f類零件中分組的組號為g。

矩陣中的每個元素都由Gf,g+tf,g得到，它的整數部分表示組號，小數部分表示相對公差范圍寬度。

對于染色體矩陣，它的每一列所代表的是一個匹配方案，以軸承為例。軸承由外環、內環和滾珠構成，假設它的染色體結構為

(10)

其中，第1列中3個基因的整數部分4、2、1分別表示外環分組中的第4組、內環分組中的第2組和滾珠分組中的第1組進行匹配，組成一個匹配方案；而第1個基因的小數部分0.3149表示外環的第4分組公差帶范圍占外環設計公差帶寬度的31.49%。以此類推，整個染色體結構為總的分組選擇裝配的方案。

同時，為確保解的可行性，染色體結構應滿足：

(11)

即每一行中的各基因小數部分之和為1，且整數部分不重復。

2.2 分組方案的解碼方式

為了得到分組選擇裝配方案中封閉環的實際尺寸，針對分組方案編碼，設計了一種解碼方法。具體過程如下：

(2)通過遍歷操作，將每類零件的尺寸數據存入各分組所對應的空矩陣中。

(3)由于在每個匹配方案中，落在各分組公差帶的零件數量會存在不均等或為零的情況，因此Num=min(G1,s,G2,s,…,Gm,s)。其中，s表示任意一列，Num為每一個匹配方案中落在各類零件分組里最少零件的數量，作為這個匹配方案的配對成功數量。假設分組后每組零件的數量分布如表1所示，當一個匹配方案的整數部分為4、2、1時，Num為10，即從A零件的第4組中取10個零件，從B零件的第2組中取10個零件與C零件的第1組中取10個零件進行裝配。

表1 軸承分組后各組零件的數量

(4)為了模擬實際裝配過程情形，對于匹配方案的各類零件的選取，均為從各分組中隨機選取Num個零件，將它們隨機配對，再通過裝配尺寸鏈計算得到封閉環的實際尺寸。

2.3 基于局部搜索的NSGA-Ⅱ算法流程

2.3.1遺傳算子設計

2.3.1.1 選擇算子

采用錦標賽選擇法，每次從種群中抽取一定比例的個體，依據非支配排序層數進行比較；若層數相同,優先選擇NSGA-Ⅱ定義的擁擠度高的個體。重復操作，直到新種群規模達到原先種群規模。

2.3.1.2 交叉算子

為充分交換基因位中的基因信息，使交叉前后有較廣的空間分布，采用隨機兩點交叉方法，對參與交叉的兩個父代個體中隨機選擇子串X1、X2進行交叉運算。通過隨機的方式確定兩個交叉點，再生成一個隨機數r,r∈{0,1,2}，當r為0時，染色體在交叉點1之后交叉；當r為1時，染色體在兩個交叉點之間交叉；當r為2時，染色體在交叉點2之前交叉。圖3為隨機數為1時的交叉操作。

圖3 隨機數為1時交叉操作Fig.3 Crossover operation when the randomnumber is 1

為了保證染色體在交叉操作中滿足式(11)定義的約束保證解的可行性，在交叉操作中將X1的基因保留部分與X2進行比較，從X2中移除與X1基因保留部分相同組號的基因，再對X2余下組號中的分組公差相對寬度進行隨機分配，使得X2剩余的基因部分與X1基因保留部分拼接形成新的子代染色體，且新的子代染色體每個基因的小數部分和為1。同理，對X2進行相同的操作生成新的子代。圖4所示為一個隨機數r為1的交叉操作實例。

圖4 隨機數為1時交叉操作實例Fig.4 Example of crossover operation when therandom number is as 1

2.3.1.3 變異算子

變異的方法是選擇染色體的某個基因作為變異點與該染色體后一位基因位進行交換(若選中了最后一個基因則與第一位基因進行交換)，同樣為了保證解的可行性，使染色體在變異過程中滿足式(11)的要求，交換后的兩個基因需要重新分配分組公差相對寬度。

2.3.2基于成績標量函數的局部搜索

(12)

依據模擬退火算法的Metropolis準則，判斷是否接受父代中的低劣解作為下一代種群的起始值，接受概率如下：

(13)

式中，P為接受低劣解的突跳概率；Tc為當前溫度；B為玻爾茲曼常數；F(Xold)為父代ASF函數值；F(Xnew)為子代ASF函數值。

2.3.3局部搜索的NSGA-Ⅱ算法流程

該算法由輸入模塊、初始種群模塊、評價模塊、子代產生模塊、局部搜索模塊和輸出模塊構成。算法流程如圖5所示，步驟如下：

(1)輸入選擇裝配問題參數：零件的公差帶、種類數、零件的數量、裝配精度要求；設置算法參數：迭代次數、種群初始大小、交叉、變異概率，初始溫度、衰減系數、結束溫度。

(2)構建初始種群，通過解碼計算出每個染色體代表的裝配方案中成功匹配產品的封閉環實際尺寸。

(3)計算適應度值，對父代進行非支配排序和擁擠度計算，再計算父代的ASF值。

(4)對父代種群中的個體進行交叉、變異操作產生子代，計算子代的ASF值。

(5)對子代進行模擬退火搜索，比較父代與子代的ASF值，通過Metropolis準則判斷是否納入新的解集，將新的解集與父代合并。

(6)通過選擇操作判斷是否滿足終止條件或迭代次數大于Z，若滿足則輸出結果，否則返回步驟(3)。

圖5 算法流程圖Fig.5 Algorithm flow chart

3 實例分析

以某軸承企業生產的6224深溝球軸承(圖6)的選擇裝配為例，設計公差要求見表2。

圖6 6224深溝球軸承Fig.6 6224 deep groove ball bearing

表2 6224深溝球軸承公差設計要求

現場采集的50套軸承產品的待裝配零件如表3所示，對其進行選擇裝配分析。由于滾珠(零件C)的制造精度明顯高于內圈滾道(零件B)和外圈滾道(零件A)，滾珠尺寸誤差可以忽略不計，假設每套軸承產品所用滾珠大小均相等，因此表3給出的零件的尺寸偏差數據中每個滾珠的尺寸偏差代表每套軸承中所有滾珠的尺寸偏差。軸承裝配間隙

dp=dA-dB-2dC

(14)

表3 零件尺寸偏差數據

根據式(11)求得分組數k為4，零件的種類m為3，零件數量為50。零件的公差帶和裝配精度如表2所示，為了優先考慮裝配合格率，設定式(2)中a=0.6，λ=0.4，初始種群的大小N為50，交叉概率Pc=0.85，變異概率Pm=0.3，最大進化代數Gen=300,初始溫度為100，衰減系數為0.8，結束溫度為60。經過多次實驗，2個目標函數值最終趨于穩定，有較好的收斂效果，如圖7、圖8所示，其中最優裝配方案如表4所示。

圖7 產品裝配不合格率δ(S)平均值變化曲線Fig.7 Product assembly failure rate δ(S) averagechange curve

圖8 產品裝配質量損失Q(S)平均值變化曲線Fig.8 Change curve of Q(S) average value of productassembly quality loss

為了證明方法的有效性，在原始數據相同的情況下，將順序裝配法、文獻[8]的選擇裝配方法與基于局部搜索的NSGA-Ⅱ選擇裝配方法進行比較，結果如表5所示。可見，由于文獻[8]僅考慮產品的合格率，裝配精度無法保證，而本文的分組選擇裝配方法在裝配成功率和裝配質量方面均優于其他兩種方法。

表4 最優分組選擇裝配方案

表5 不同選擇裝配方法的結果

4 結語

本文針對大批量機械產品的分組選擇裝配問題，當零件尺寸為非正態分布的情況，考慮決策偏好的影響，改進田口質量損失函數，并提出一種分組選擇裝配的方法，構造了面向分組選擇裝配的綜合數學模型，在保證裝配精度的基礎上，尋求更高的裝配成功率。同時，在NSGA-Ⅱ算法的基礎上，利用模擬退火算法進行局部搜索，采用ASF函數將多個目標值轉化為一個標量，從而便于應用模擬退火算法。通過實例驗證了方法的有效性。此外，本文方法還能有效保證產品的裝配質量，得到全局最優的分組選擇裝配方案。在裝配過程中只需從各匹配方案分組中挑選零件，可降低后續裝調工作的難度，提高生產效率。