一類非局部微分方程在Orlicz空間中吸引子的存在性

張昶

（江蘇理工學院 數理學院，江蘇 常州 213001）

設Ω是?n中的有界光滑區域。本文主要考慮非局部反應擴散方程在Orlicz空間中全局吸引子的存在性：

這里u0∈L2(Ω)，0<σ<2。假設g滿足自然的耗散條件：

這里q>1，C0和k0是正常數。

經典的反應擴散方程（σ=2）常應用于物理學、化學及生物學等領域，一直是無窮維動力系統的重要研究對象，并產生了許多研究成果[1-6]。這些成果對吸引子問題的研究主要集中在L2(Ω)、Lp(Ω)和空間中。近年來，由于非局部耗散的微分方程，特別是帶有分數次Laplace算子的微分方程，能夠更有效地解釋物理學、金融學、生態學及地球物理學等學科領域的問題，因而受到廣泛關注[5，7-11]。但是，這些成果對吸引子的研究也大多集中在Lp(Ω)空間、Sobolev空間及分數次Sobolev空間中，對于Orlicz空間中吸引子的研究相對較少。

本文主要研究在條件（2）下非局部微分方程（1）的長時間動力學行為。首先，由非線性項確定一個Orlicz空間；其次，在該Orlicz空間中證明弱解的存在性；再次，通過L2-L∞估計，得到當t>0時，弱解也在L∞(Ω)空間中；然后，通過證明解在L∞范數下的一致有界性，得到了L∞(Ω)-有界吸收集的存在性，進一步得到在任意給定的Orlicz空間中有界吸收集的存在性；最后，在Orlicz空間中建立了半群{S(t)}t≥0的漸近緊性，進而得到了全局吸引子在Orlicz空間中的存在性。

1 預備知識

1.1 分數次Laplace算子

1.2 Orlicz空間

設p(t)為單調增加，t≥0時右連續，t>0時函數值大于0，且p(0)=0，，則稱函數為N-函數。容易驗證N-函數是凸函數。記，那么q(s)與p(t)具有相同的性質。因此，可以得到另外。M(u)和N(v)稱為一個N-函數互補的N-函數。

引理1[12]：如果存在正數u0和k，使得當u≥u0時p1(u)≤p2(ku)，那么M1(u)?M2(u)。

設D為n維歐幾里得空間（賦予Lebesgue測度）中的有界集。將所有滿足ρ(u；M)=∫DM[u(x)]dx<∞的實函數全體記為LM(D)，稱LM(D)為Orlicz類。Orlicz類LM(D)一定是凸集，但不一定是向量空間。為了得到向量空間，設M(u)和N(u)是互補的N-函數，將滿足

的函數u(x)全體記為。顯然，是線性空間。在這個線性空間上賦予范數

以下幾個引理將在后文中起到重要作用。應用Young不等式，可以得到下面引理。

引理2[12]：對于任意函數u(x)∈LM，有

由引理2知Orlicz類LM(D)包含于Orlicz空間。

引理3[12]：如果M1(u)?M2(u)，那么；進一步，存在常數C>0使得。

引理4[12]：設M(u)和N(u)是互補的N-函數，κ(E)是E(?D)上的特征函數，那么

這里m(E)是E的測度。

2 適定性

首先給出問題（1）弱解的定義。

定義5：如果函數u(x，t)滿 足：（a）；（b）在分布意義下u(x，t)滿足方程（1），并且u(x，0)=u0∈L2(Ω)。那么，u(x，t)稱為問題（1）的弱解。

下面的定理給出了非局部微分方程解的存在唯一性。

定理6：如果Ω是?n中的有界光滑區域，g滿足條件（2），那么，對于任意的初值u0∈L2(Ω)和任意的T>0，存在唯一的弱解u使得：

并且映射u0→u(t)在L2(Ω)上是連續的。

證明：應用標準的Galerkin方法[5，13]可以得到解在L2(Ω)和中的存在性。

在方程（6）兩端乘以un，并且關于Ω積分，可得：

結合條件（2），可知：

應用引理2、不等式（9）和（10），就有：

將上式兩端在0到T上關于t積分，再應用引理1和引理3，可得：

再證明解u(t)關于時間在L2(Ω)上的連續性。將方程（6）兩端乘以unt，并且關于Ω積分，可得：

再將上式關于變量s在(0,T)上積分，可知：

另外，應用不等式（8）得到：

注意到：

再結合（12）和（15），就有：

因此，對于任意的ε∈(0，T)，有：

進一步，應用對角化方法得：

為了說明g(u)∈L1(0，T；L1(Ω))。令χΩ1和χΩ2是集合Ω1={(x，t)∈Ω×(0，T)：|un|>1}和Ω2={(x，t)∈Ω×(0，T)：|un|≤1}的特征函數。因為，這里C不依賴于n，所以有：

應用中值定理，得到：

再由Fatou引理：

又因為：

u∈L∞(0，T；L2(Ω))?L1(0，T；L1(Ω)+H-σ/2(Ω))，所 以u∈C([0，T]；L1(Ω)+H-σ/2(Ω))，這便得到u∈Cs([0，T]；L1(Ω)+H-σ/2(Ω))。運用文獻[14]中的引理8.1知：

進而有：

將方程（6）兩端乘以檢驗函數?(x)η(t)并積分。這里，，η∈C1[0,T]，并且η(T)=0，可得：

同樣地，對于任意的ε>0，有：

在上面兩式中令n→∞，可得：

和

再在（20）中令ε→0+并且應用（18），可得：

結合（19）和（21），可知u(0)=u0。再將（8）在[0,T]上關t積分，有：

令n→∞，得：

定義一個截斷函數：

應用文獻[16]中Remark 2.1，可知：。在方程（22）兩端乘以ψk(w)，并且在Ω×(0，T)上積分，可得：

由ψk(?)的定義知：

因此，

再令上面的不等式中k→∞且ε→0，那么

又由Gronwall不等式知：

這便得到了解的唯一性和連續依賴性。

應用定理6，可以在L2(Ω)中定義一個連續半群{S(t)}t≥0，即

3 全局吸引子

本節主要研究在Orlicz空間中吸引子的存在性。先來證明(L2(Ω)，L∞(Ω))-有界吸收集的存在性。

引理7：設條件（2）成立，u0∈L2(Ω)。如果u(t)是方程（1）的弱解，那么存在常數M使得：

這里，M依賴于t-1但不依賴于。

再把上面的不等式兩端乘以sk，并且關于變量s在[0,t]上積分，可知：

另外，由不等式（9）得：

迭代不等式（26）并結合不等式（27），則有：

這里，

再將不等式（28）兩端除以tk+1并且開λk次方根，得到：

令k→∞，當t>0時，有不等式

引理7說明當t>0時u(t)∈L∞(Ω)，并且得到了解的只依賴1t的L∞上界。這便意味著(L2(Ω)，L∞(Ω))-有界吸收集是存在的。因為任意給定的Orlicz空間都包含L∞(Ω)，所以-有界吸收集也是存在的。

應用(L2(Ω)，L2(Ω))-全局吸引子的存在性來證明半群在Orlicz空間中的漸近緊性，(L2(Ω)，L2(Ω))-全局吸引子的存在性可由文獻[5]中的方法得到。

定理8：半群{S(t)}t≥0存在(L2(Ω)，L2(Ω))-全局吸引子。

引理9：設{un}是L2(Ω)中的Cauchy列，{un}在L∞(Ω)空間中一致有界，即存在常數K使得‖un‖L∞≤K，?n∈?。那么，{un}也是Orlicz空間中的Cauchy列。

證明：設N(u)是與M(u)互補的N-函數，那么，。因此，定義任意的ε>0，總存在δ1>0使得

由于N-1是凹函數，所以N-1(αu)≥αN-1(u)，(0<α<1)。這是因為當變量u>0時，函數N-1(u)/u是單調減函數，即：

因為{un}是L2(Ω)中的Cauchy列，所以un是依測度收斂的。因此，令

存在N>0，使得任意的n，m>N，那么有：

記Eδ={x∈Ω：|un-um|≥δ}，那么有：

因此，{un}是中的Cauchy列。

應用文獻[3]中的方法容易得到下面的引理。

引理10：設{S(t)}t≥0是L2(Ω)中的連續半群，也是中的半群。如果{S(t)}t≥0存在(L2(Ω)，L2(Ω))-全局吸引子，并且滿足：（a）{S(t)}t≥0存在(L2(Ω)，-有界吸收集B0；（b）{S(t)}t≥0是(L2(Ω)，-漸近緊的。那么，{S(t)}≥0存在(L2(Ω)，-全局吸引子。

結合引理8—10，就可以得到本文主要結論，即定理11。

定理11：設g滿足條件（2），則對于任意給定的Orlicz空間，方程（1）生成的半群{S(t)}t≥0存在(L2(Ω)，-全局吸引子。