一溯到底，化“或然”為“必然”
——高中數學問題“怎么想”

◎ 海南省海口市海南華僑中學 鄧建書

中學數學教材中有很多問題，講解之后學生一般都能聽明白，但是過了一段時間之后，再次問到此類問題的解題方法和思路時，學生往往一臉茫然。作為教師，教學生“怎么思考”“怎樣才能想到”是數學教學的首要任務。筆者通過歸納高中數學教材的常見問題，追本溯源，化“或然”為“必然”，給學生提供思考的模式或方法。

方式一：從理論中“溯源”

很多實際問題可以從一般情況出發，先證一般情況（理論），再到具體情況，解決了一般情況，具體問題也會迎刃而解。比如因式分解中的“溯源”：初高中銜接課程中，因式分解很是關鍵，特別是高次多項式問題怎么分解，始終是一個難點。老師一般采用分組分解，學生也很容易聽懂和接受，但真正到學生自己來分解時，往往思索再三，仍無法區分清楚“或然”和“必然”。

其實，對于此類問題，高等代數課本中早已給出了答案：

定理：設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是一個整系數多項式，而r/s是它的一個有理根，其中r、s互素，那么必有s|an，r|a0特別地，如果f(x)的首項系數an=1，那么f(x)的有理根都是整根，而且是a0的因子。簡單地說，若此多項式有有理根，則其有理根必在

應用此法，則可隨意組合，例如因式分解：

x3+9+3x2+3x，此題常規做法為分組分解：

x3+9+3x2+3x=x3+3x2+3x+9=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)，但學生的問題是：為什么要這樣組合？上面的定理即可打開疑團。

至此眼界已開，一般意義上的方法都已盡收眼底，知道-3是其一有理根，故有公因式(x+3)，后面的分組分解，思路一目了然了。

練習：因式分解x3-2x+1，易知其一根為1，故有公因式（x-1）。

評注：此題當知道有一根是1時，想怎么組合都可以，關鍵是找到公因式（x-1）即可。運用添項、拆項法尋找目標，有目標就能打開思路，快速解題。教師講解清楚了，學生也很容易學會，從而對此類問題就可以心中有數，不再迷茫。

很多時候對于一道題用一種方法解答后，應該反思還有無其他簡單的方法，如果每次都這樣做，學生將受益匪淺。這樣才是高效學習，也是每位高中生應該掌握的學習方法。

方式二：從數中“溯”形

通過仔細觀察和鑒別，找出數中形的“軌跡”，從形中找出解決問題的方法，思路也就自然打開。根據題設條件正確繪制出相應的圖形，使圖形充分反映出相應的數量關系，找出數與式的本質特征。

比如：兩角差的余弦公式的推導和證明cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。

觀察此公式：左邊是兩角差的余弦，右邊是這兩角的余弦和正弦，所以該如何構造這兩角的余弦和正弦，可參考《數學必修第一冊》215頁的證明方法：

設單位圓與x軸正半軸相交于點A(1,0)，以x軸非負半軸為始邊作角α、β、α-β，它們的終邊分別與單位圓相交于點P1(cosα,sinα)；A1(cosβ,sinβ)；P(cos（α-β），sin（α-β））

連接A1、P1,則易證A1P1=AP，再用兩點間距離公式將左右等式連接起來。

余弦定理學生很容易想到用向量的數量積來證明，但正弦定理是如何通過向量來證明的呢？其實細想起來一樣可以用向量的數量積來證明，只不過要通過作垂直向量構造角的余角,再通過誘導公式將余弦轉化為正弦。

圖1

圖2

再如，選擇性必修第一冊第80頁：已知0＜x＜1；0＜y＜1，求證：

方式三：從形中“溯”數

從具體圖形中挖掘數的“軌跡”，通過數的運算達到形的需要。借助所給的圖形，仔細觀察、分析并歸納，找出圖形中蘊含的數量關系，反映幾何圖形內在的屬性。

比如在立體幾何中關于正余弦定理的應用：

已知二面角α-CD-β的平面角為120o，二面角內一點P,到面α、β的距離分別為PA=2，PB=3,求點P到棱CD的距離。

解：（如圖3）因為PA⊥α，PB⊥β所以PA⊥CD，PB⊥CD，故CD⊥面PAB,設面PAB∩CD=O，則CD⊥OA，CD⊥OB，CD⊥PO，因此∠AOB=120o，且P、A、O、B四點共圓，∠APB=60o。

圖3

評注：解法一從宏觀上把握，眼觀六路，識別出PO為△PAB外接圓的直徑，輕松運用正余弦定理解之；解法二從解三角形的角度出發，利用兩個三角形的公共邊及相鄰角之間的聯系，巧用等式求角，再求邊長！

根據“數”與“形”既對立又統一的特征，觀察圖形的形狀，分析數與式的結構，產生聯想，適時將它們相互轉換，化抽象為直觀，并找出隱含的數量關系。如此，則思路清晰，解答自然。

數形結合，主要指的是數與形之間的一一對應關系；數形結合思想，就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，即通過抽象思維與形象思維的有機結合，將復雜的問題簡單化、抽象的問題具體化，從而實現優化解題途徑的目的。

方式四：從綜合中追溯

一個問題通常有多種方式可以解決，所以充分調動所學知識，為解決問題提供多種方法，也為構造系統化的知識鏈打下良好的基礎。比如中線長公式推導與證明。

圖4

圖5

（必修2 3.3.2例4）證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和（坐標法證明）。

（必修2習題4.2A組8）Rt△ABC中，斜邊BC為m。以BC的中點O為圓心，作半徑為n（n＜m/2）的圓分別交BC于P、Q兩點，求證：|AP|2+|AQ|2+|PQ|2為定值。（中線長公式的精彩應用）

以上對于同一問題，可以從不同的角度來分析和證明，充分回顧和總結所學知識，發展思維能力。

方式五：從方法中“溯源”

很多時候，方法基本固定，掌握這些方法，問題也會輕松化解。

如：等差數列前n項和（倒序相加)利用等差數列性質——下標和相等，則相應項的和相等；

等比數列前n項和（錯位相減)利用等比數列性質，后一項等于前一項乘以公比，求和相減后，中間相同項抵消。

《教學課程標準》明確指出：“加強數學思想方法在進行數學思考和解決問題中的作用，引導學生從解題的思想和方法上考慮問題，達到巧妙解題”。可見，數學思想和方法教學不容忽視，素質教育下的數學教學更注重數學品質的培養和邏輯思維能力的提高。其實，數學問題的解決過程就是用“不變”的數學思想和方法去解決不斷“變換”的數學命題，這既是滲透的目的，也是走出題海的重要環節。

方式六：從定理中“溯源”

比如證明立體幾何問題，通常以基本定理作為基礎，可以證明很多相關問題。

如《數學必修第二冊》163頁第10題：已知平面α、β、γ，且α⊥γ、β⊥γ、α∩β=ι，求證：ι⊥γ。

要證明線面垂直，得證此線垂直于平面內兩相交直線，題中沒有這兩條直線，所以需要我們自己來構造，設α∩γ=α，β∩γ=b，在γ內取一點P分別作PA⊥α于A,PB⊥b于B,則兩條相交直線就找到了，如果題目中條件不夠，則需要自己創造條件。

通過以上事例說明，當思維受阻時，不妨從源頭思考，從定義或已經學過的知識中搜尋，一溯到底。也許這種“回到起點”的方式，能迅速打開思路。教師可以啟發學生用提示語探究，不僅在解題時，更需要在新授課教學中運用。

加強對數學整體性的認識，強調以具有整體性的知識單元為載體，從知識的聯系性出發進行教學設計并開展課堂教學，是新一輪課改的顯著特點。究其原因，主要是長期以來，在高考評價“唯分論”指揮棒下的數學教學，多采用“灌輸+記憶”的方式強加給學生，再通過刷題提高解題技巧“秒殺”高考題，可以提高分數，但不利于學生獲得“四基”、提升“四能”，不利于提高學生學習數學的興趣。為此，基于全面實現數學育人目標的教學，必須強調數學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性及思維的系統性，這樣才能充分調動學生思維的積極性，引導學生感受數學的美好，愛上數學，從而為學好數學而努力。