基于VMD和DBN的非線性結構模型參數識別

莫 葉，王佐才,2，丁雅杰，袁子青

(1.合肥工業大學 土木與水利工程學院，合肥 230009；2.安徽省土木工程防災減災工程技術研究中心，合肥 230009)

隨著工程輔助計算技術和理論的發展，結構模型修正的研究取得了許多重要進展[1-5]。然而，非線性普遍存在于在役的工程結構中，例如，材料的非線性、幾何的非線性以及環境對結構的非線性影響等。此時，結構通常表現出復雜的非線性動力學行為。采用線性模型模擬，難以獲得正確的結果。因此，有必要開發一種高精度的非線性結構模型修正方法。研究結構的非線性模型修正，不僅對工程結構的安全運營監測與評估領域有重要的意義，也推動著結構模型修正理論的進一步發展。

非線性結構模型參數識別可歸結為一個非線性優化問題，它通常面臨求解過程復雜、容易陷入局部最優解等困難。而神經網絡通過學習結構振動響應特征量與非線性模型參數之間的關系，可直接估計出非線性模型參數。這使得神經網絡在非線性結構模型參數識別的領域逐漸顯示出廣泛的應用潛力。例如，Xie[12]等開發了一種基于神經網絡的Bouc-Wen滯回系統的識別方法。Hasancebi等[13]利用一個3層的神經網絡對T型梁橋的有限元模型進行修正，識別出相應的線性和非線性模型參數。由于這些神經網絡簡單的結構和較低的學習效率，使得它們并未廣泛應用于非線性模型參數識別的領域。

針對非線性結構模型參數識別中尋優過程復雜的問題，本文提出了一種基于基于變分模態分解(variational mode decomposition, VMD)和深度置信網絡(deep belief network, DBN)的非線性結構模型參數識別方法。與現有的方法不同，本文方法將非線性結構模型參數識別轉化為正問題進行求解。利用Dragomiretskiy等[14]提出的VMD這一自適應信號分解算法與希爾伯特變換(Hilbert transform, HT)提取非線性結構振動響應主分量的瞬時參數。并將DBN這一深度神經網絡引入非線性結構模型參數識別中，利用其泛化能力擬合非線性模型參數與主成分分析后的瞬時參數之間的復雜映射關系。避免了求解復雜的非線性逆問題，提高了非線性模型參數識別的計算效率和精度，具有良好的抗噪性。通過地震荷載激勵下的兩個不同非線性類型的雙自由度模型和一個復雜非線性框架的數值算例，驗證了本文方法的有效性和抗噪性。最后，通過一個簡諧激勵下的高壓輸電結構振動臺試驗進一步驗證了該方法的有效性。數值和試驗結果表明，該方法能夠較高精度地識別非線性結構模型參數，且具有良好的噪聲魯棒性與較高的計算效率。

1 非線性結構的瞬時參數識別

1.1 VMD原理

VMD算法是一種自適應的非遞歸模態分解法。該算法利用交替方向乘子法算法依次迭代求得約束變分模型的最優解，從而獲得K個中心頻率為ωk的本征模函數(intrinsic mode function，IMF)。VMD的分解過程可總結為：

(1)

(2)

(3)

步驟4給定ε>0，當滿足式(4)時，則停止迭代。否則，重復步驟2～步驟4。

(4)

由上述過程可知，VMD算法中要預先確定參數K和α。當α取默認值2 000時，一般滿足大多數工程需求。參數K的選取已有多種方法，本文根據信號的傅里葉譜進行選取[15]。

1.2 基于VMD的非線性結構瞬時參數識別

對于一個n自由度非線性結構，其受迫振動的微分方程可以寫為

(5)

式中，M(t),C(t),K(t)分別為時變質量陣、阻尼陣和剛度陣。

(6)

對VMD分解出的IMF進行HT，其解析信號可表示為

Zi(t)=ui(t)+jH[ui(t)]=Ai(t)ejφi(t)

(7)

(8)

φi(t)=arctan(H[ui(t)]/ui(t))

(9)

從而定義瞬時頻率為

(10)

強荷載作用下，HT確定的非線性結構瞬時頻率包括一個慢變頻率分量和一個快變頻率分量。構造合適的低通濾波器可得到瞬時頻率的慢變成分fsl(t)。其中，fsl(t)近似為結構的固有頻率[16]。由于Ai(t)和fsl(t)分別反映了非線性結構振動響應隨時間變化的幅值和相位信息，可用于非線性結構模型參數的識別。

2 基于VMD和DBN的非線性結構模型參數識別

2.1 DBN原理

DBN是一種概率生成模型，通過將數據從輸入映射到輸出，它可以表示任意形狀的函數。

2.1.1 限制玻爾茲曼機模型

限制玻爾茲曼機(restricted Boltzmann machines, RBM)是一種廣義隨機神經網絡，它為內部分布未知的數據提供學習模型。RBM由兩層神經元組成:一層為可視層由可視元組成，用于訓練樣本的輸入；另一層為隱藏層由隱藏元組成，作為特征檢測器[17]。RBM模型的基本結構,如圖1所示。

定義可視層向量v={v1,v2,v3,…,vm}∈(0,1)；隱藏層向量h={h1,h2,…,hn}∈(0,1)；權重矩陣w；可視元的閾值a，隱藏元的閾值b。RBM是基于能量的模型，因此所有可視元和隱藏元的聯合狀態能量函數E(v,h)可表示為

(11)

式中：m為可視元數；n為隱藏元數。v與h之間的聯合概率分布可描述為

(12)

(13)

當可視層向量v的狀態已知，則隱藏層h的第j個單元的條件概率可表示為

(14)

同理，可視層向量v的第i個單元的條件概率為

(15)

式中：sig(x)=1/(1+e-x)為激活函數。

假定參數ψ={ai,bj,wij}，ψ為第i個可視元的狀態。RBM的訓練是一種無監督的學習過程，其目的是求得參數ψ，以擬合訓練數據中輸入與期望輸出之間的關系。可通過最大化樣本的對數函數獲得參數ai,bj和wij的最優解

(16)

式中，L為訓練樣本的總數，l∈(0,L)。本文采用對比度散度快速學習算法求解上述優化問題，獲得參數ψ的最優解。

2.1.2 DBN的結構與訓練

完整的DBN結構是通過RBM的堆疊以及在其頂部添加BP(back propagation)神經網絡所組成的，每層的神經元數由實際問題決定。

DBN的訓練可概括為兩個步驟：無監督的預訓練和有監督的微調。首先，RBM網絡的每一層都經過獨立、無監督的訓練，以確保盡可能多地保留訓練數據的特征信息。無監督訓練完成后，將在DBN的頂層建立BP神經網絡，利用BP算法進一步優化之前的初始權重。DBN的訓練過程如圖2所示。

圖2 DBN的訓練過程

2.2 基于VMD-DBN的非線性結構模型參數識別的步驟

利用DBN描述非線性模型參數θ={θ1,θ2,…,θi}與振動響應的瞬時參數y={A(t),fsl(t)}之間的關系

θ=f(y)

(17)

通過訓練，DBN可求得非線性映射函數f。將實測振動響應的瞬時參數輸入訓練好的DBN中，可識別出修正后的非線性模型參數。

基于VMD-DBN的非線性結構模型參數識別方法可分以下5個步驟。

步驟1非線性結構振動響應特征量的選取：將VMD和HT提取振動響應主分量的A(t)和fsl(t)為振動響應的特征量；

步驟2待識別參數的選取：選擇非線性模型常參數作為待識別參數；

步驟3樣本數據的生成：需要選取具有代表性的待識別參數樣本點。故本文采用均勻設計法生成一定數量的待識別參數組，計算對應的振動響應，再利用VMD和HT提取振動響應的特征量；

步驟4DBN的訓練：為加快DBN的收斂速度，對提取的瞬時參數進行主成分分析后再輸入DBN，將待修正參數作為期望輸出，對DBN進行訓練；

步驟5非線性模型參數的識別：將主成分分析后的實測振動響應的瞬時參數輸入訓練好的DBN，其輸出即為修正后的非線性模型參數。

2.3 非線性模型參數識別的精度評價指標

將識別出的非線性模型參數帶入非線性模型中，通過定義Eacc,Ef,Eamp這3個指標來評價本文方法的識別精度。其中，Eacc,Ef,Eamp分別為實際結構與修正后模型之間的加速度相對誤差、瞬時頻率慢變成分相對誤差與瞬時幅值相對誤差，可寫為

(18)

(19)

(20)

式中:下標u和t分別為修正后的非線性模型與實際結構。

3 數值算例

3.1 雙線性節點模型的參數識別

本算例對2維雙自由度非線性結構進行分析，如圖3所示。用elastic Beam-Column element定義柱單元，底部的非線性節點模型用于模擬結構的非線性行為。通過使用帶有兩個雙線性鋼材料模型的彈簧單元模擬非線性節點模型。雙線性鋼材料模型的滯回特性由F,E,b這3個參數決定，分別代表初始屈服強度、楊氏模量和剛度比。這兩個雙線性材料模型分別在彈簧元件的剪切和扭轉方向上定義。非線性模型參數的理論值分別設置為：Fs0=20 kPa,Es0=2.5 MPa,bs0=0.3,Ft0=2.0 kPa,Et0=2.0 MPa,bt0=0.5。基底激勵采用Northridge地震波，如圖4所示。利用OpenSees[18]計算頂層的加速度，假定為實測響應，如圖5所示。為模擬實際測量中噪聲的影響，向實測響應中加入5%的高斯白噪聲。其中:Pnoise=5%×Psignal;Pnoise為高斯白噪聲的功率；Psignal為無噪聲情況下的模擬加速度響應的功率；5%即為噪聲與加速度響應信號的功率比。

圖3 二層非線性節點模型

圖4 Northridge地震波

圖5 頂層加速度

與加速度相比，提取的瞬時幅值和瞬時頻率隨時間緩慢變化。因此，不需要選擇所有被測點。本算例分別選取加速度響應瞬時幅值和瞬時頻率的慢變成分的30個局部峰值點作為提取的瞬時特征參數。利用VMD和HT提取出頂層加速度響應主分量的瞬時幅值A(t)和瞬時頻率的慢變成分fsl(t)，如圖6所示。

(a)瞬時幅值

為避免參數不同量級可能導致的數值困難，將待識別參數定義為非線性模型參數的無量綱比例因子。即，θ1=Fs/Fs0,θ2=Es/Es0,θ3=bs/bs0,θ4=Ft/Ft0,θ5=Et/Et0,θ6=bt/bt0。使每個參數在原參數±20%內波動，即這6個比例因子的上下界分別定義為：[0.8,0.8,0.8,0.8,0.8,0.8]和[1.2,1.2,1.2,1.2,1.2,1.2]。采用均勻設計法生成80組待修正參數的樣本點，利用VMD和HT提取相應的頂層加速度的瞬時特征參數。為簡化DBN的結構，加快其收斂速度，預先對輸入的A(t)和fsl(t)進行主成分分析。然后，將生成的訓練數據輸入DBN，進行訓練。最后，將主成分分析后的實測響應瞬時參數輸入訓練好的DBN中，直接估計待識別模型參數。本算例中，采用具有兩層RBM的DBN結構。其中，RBM的神經元數分別取10和12；頂層BP網絡的神經元數目取6；學習率為0.01，期望誤差為0.000 1。

經計算，待識別參數的修正結果為：θu1=1.01,θu2=1.06,θu3=1.00,θu4=0.994,θu5=0.995和θu6=1.01。誤差指標分別為：Eacc=0.61%,Eamp=0.40%與Ef=0.004%。將待識別參數的修正結果帶入非線性模型，計算頂層加速度響應與其主分量的瞬時參數，并與實測結果進行對比，如圖7所示。表明本文所提出的非線性結構模型參數識別方法不僅精度高，修正后的模型還可以反映實際結構的非線性動力特征。

圖7 修正后的非線性模型與實際結構的振動響應對比

3.2 Bouc-Wen模型的滯回參數識別

為研究本文所提出的方法對不同非線性類型模型的適用性，建立結構形式與3.1節算例類似的模型，改用Bouc-Wen材料本構模型來定義底層柱的材料。通過合理地選擇Bouc-Wen模型的滯回參數，可以模擬結構在地震荷載作用下的非線性動力響應。本節對Bouc-Wen模型的6個滯回參數：α,β,γ,δv,δη和n進行識別。其中：α為線性與非線性剛度之比；β，γ為滯回環形狀的基本控制參數；n為屈服的尖銳程度參數；δv為強度退化因子；δη為剛度退化因子。其初始值分別設置為：α0=0.3,β0=200,γ0=200,δv0=0.3,δη0=1.50,n0=1.5。為研究本文方法在Bouc-Wen模型滯回參數識別中的抗噪性，對模擬的加速度中加入5%高斯白噪聲。

參數識別的過程與3.1節類似，經計算，Bouc-Wen模型滯回參數的識別結果為：α=0.296,β=200,γ=195.2,δv=0.156,δη=1.48,n=1.52。誤差指標分別為：Eacc=5.3%,Eamp=2.7%與Ef=0.096%。上述結果說明本文提出的方法可以高精度地識別Bouc-Wen模型的滯回參數，且仍具有良好的抗噪性。

為進一步有效證明本文方法在非線性結構模型參數識別方面的優越性，分別對比了基于DBN、VMD和DBN、VMD和BP神經網絡這3種算法的識別精度與計算效率，結算結果如表1所示。其中，基于DBN的識別算法直接利用DBN擬合非線性結構模型振動響應與非線性結構模型參數之間的關系。

表1 不同算法的識別誤差指標與計算時間對比

由表1可知，本文方法的識別精度高于基于VMD與BP神經網絡的識別方法；相較于直接利用DBN進行非線性結構模型參數識別，本文方法在保證較高的識別精度同時，縮短了計算時間，提高了計算效率。因此，本文方法利用VMD與HT提取振動響應主分量的瞬時參數作為輸入，降低了DBN的輸入維度，使計算效率得到較大提升。而且，DBN克服了BP神經網絡隨機初始化權值矩陣與易陷入局部最優值的缺陷，從而有效保證了識別的精度。

3.3 復雜框架的非線性模型參數識別

對一個二維的3層3跨的鋼框架模型SAC-LA3[19]的非線性模型參數進行識別，其結構形式如圖8所示。采用基于剛度法的梁柱單元定義所有的梁和柱。使用一個改進的GMP非線性材料本構模型來定義結構的材料，其滯回特性主要由3個參數fy、E和b決定，分別表示初始屈服強度、楊氏模量和剛度比。除了這些參數，還有3個輔助參數R0、cR1和cR2控制從材料從彈性階段過渡到塑性階段，本算例中假定這3個輔助參數為已知常數。因此，共有6個參數：fBeam，y，EBeam，bBeam，fCol,y，ECol，bCol作為該有限元模型的未知非線性模型參數。其中，fBeam,y，EBeam，bBeam是鋼梁的材料參數，fCol,y，ECol，bCol定義了鋼柱的非線性行為。這6個滯回模型參數的理論值分別設置為：fBeam,y=345 MPa，EBeam=200 GPa，bBeam=0.16，fCol,y=250 MPa，ECol=200 GPa，bCol=0.08。選用與3.1節算例相同的外部激勵。3個加速度計S1,S2和S3，用來記錄框架模型在地震激勵下的加速度響應(見圖8)。其中，S3記錄的頂層加速度響應作為實測的響應,用于非線性結構模型參數識別。

圖8 3層3跨非線性框架模型

定義待識別參數為：θ1=fBeam,y/fBeam,y0,θ2=EBeam/EBeam,0,θ3=bBeam/bBeam,0,θ4=fCol,y/fCol,y0,θ5=ECol/ECol,0,θ6=bCol/bCol,0。非線性模型參數分別在原參數的±25%內波動，故待識別參數θi(i=1,2,…,6)的上下界定義為：[0.75,0.75,0.75,0.75,0.75,0.75,0.75]和[1.25,1.25,1.25,1.25,1.25,1.25,1.25]。利用均勻設計法生成60組待修正參數的樣本點，按照2.2節中的步驟識別該框架模型的非線性參數。為進一步研究本文方法的抗噪性能，在實測的加速度響應中加入5%高斯白噪聲。經計算，待識別參數的修正結果為：θu,1=1.02,θu,2=1.00,θu,3=1.00,θu,4=1.03,θu,5=0.988和θu,6=0.992。識別誤差指標為：Eacc=2.9%,Eamp=2.0%與Ef=0.05%。

對比5%高斯白噪聲影響下，修正后的模型與實際結構的頂層加速度響應、及其主分量的瞬時參數，如圖9所示。由圖9可知，修正后模型的響應與實際結構的響應比較吻合。在5%高斯白噪聲的影響下，Eacc、Eamp和Ef均小于3%，說明該方法具有良好的抗噪性，適用于復雜框架模型的非線性參數識別。

圖9 修正后模型與實際結構的響應對比

4 試驗驗證

為進一步驗證論文所提方法的有效性，高壓輸電結構進行振動臺試驗，如圖10(a)所示。試驗裝置由3根陶瓷柱和1根工字鋼組成，用螺栓固定在振動臺上。上部搭建的木桁架用作試驗結構的橫向支撐。3個加速度計用于記錄結構振動響應，如圖10(b)所示。其中，振動臺底部的加速度計3用于記錄輸入的外部激勵，其加速度記錄如圖11所示。加速度計2測得的響應用于非線性結構模型參數識別，如圖12所示。在試驗過程中，當輸入的外部荷載超過一定強度時，結構的右側柱底部支座發生破壞，使結構產生了非線性。詳細的試驗設置可參考文獻[20]。

圖11 外部簡諧激勵

圖12 加速度計2測量的加速度響應

試驗結構的破壞類型主要為底部支撐的剪切破壞。考慮到右側支撐的斷裂以及其他兩個支撐損傷可能導致試驗結構的非線性，建立了非線性模型如圖13所示。其中，3個底部支撐被定義為與3.1節類似的非線性節點模型。線性彈性梁單元用于模擬3個陶瓷柱和梁，此外，采用4個線性彈簧單元近似模擬上部梁柱的連接特性。

圖13 試驗結構的非線性模型

由于每個非線性節點模型的非線性特征由6個雙線性鋼材料模型參數決定，總共選取18個材料參數的比例因子作為待識別參數。基于試驗結構與雙線性鋼材料的特性，定義了3種非線性節點模型的初始值，如表2所示。

表2 非線性結構模型參數的初始值

每個材料參數在原參數±30%內波動。基于均勻設計法生成60組樣本，利用本文所提出的方法對非線性模型參數進行識別，識別結果如表3所示。將識別后的參數帶入非線性模型，可獲得修正后的模型。對比修正后的模型與實際結構的加速度響應及其主分量的瞬時參數,如圖14所示。

表3 非線性結構模型參數的識別結果

圖14 修正后的非線性模型與實際結構的振動響應對比

由圖14可知，基于本文方法修正后的非線性模型響應與實測的響應總體上一致，修正后模型響應的誤差在可接受的范圍內。經計算，定義的識別誤差指標分別為：Eacc=9.6%,Eamp=6.1%與Ef=1.9%。3個誤差指標在試驗中的應用略大于在數值模擬中的計算結果，基于識別的非線性結構模型計算的振動響應與實測結果基本吻合。

5 結 論

本文針對現有的非線性模型參數識別方法存在優化過程復雜、計算效率較低等問題，提出基于變分模態分解的非線性結構模型參數識別方法。通過對地震激勵下的雙自由度非線性結構模型與非線性框架的數值模擬，以及一個簡諧激勵下的高壓開關結構的振動臺實驗，得出以下結論：

(1)提出的方法簡化了非線性結構模型參數識別的過程，提高了計算效率與識別精度，且具有良好的噪聲魯棒性。

(2)利用VMD和HT提取的瞬時參數是時間的慢變函數，可提取有限個局部峰值點的數據用于非線性結構模型參數識別。

(3)通過對提取的瞬時參數進行主成分分析，降低了輸入數據的維度與數據之間的相關性，簡化了DBN的結構，進一步節約了計算成本。