帶有微孔黏彈性芯層的纖維金屬混雜層合板振動分析模型

姜世杰，王子恒，于長帥,3，任旭輝，王昕彤，王相平，韓清凱，李 暉,

(1.東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819；2.東北大學 航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室，沈陽 110819；3.中國科學院 沈陽自動化所機器人學重點實驗室，沈陽 110016；4.遼寧省航空發動機沖擊動力學重點實驗室，沈陽 110015)

纖維金屬混雜層合板(fiber metal laminated plate, FMLP)被廣泛用于航空航天領域[1-5]。然而，現階段隨著飛行器振動噪聲問題越來越突出[6-8]，FMLP已無法滿足減振降噪的需求，為此國內外研究人員把目光投向了帶有微孔黏彈性芯層(microporous-viscoelastic layers,MVL)的FMLP結構(簡稱為MVL-FMLP)。其由帶有微孔結構的高分子黏彈性層與纖維樹脂層交替鋪設，并與金屬外層粘接而成，具有質量輕、減振降噪能力強、抗疲勞性能突出、成本較低等一系列優點。

對于帶微孔軟芯層的不同層數、不同鋪設形式的多種FMLP結構的振動特性研究，近年來國內外做了大量工作。賴余東[9]基于均一化思想建立了帶蜂窩夾芯的復合材料板結構的有限元模型，并研究了蜂窩體胞尺寸參數對結構固有頻率的影響?；赗eissner理論，任樹偉等[10]提出了蜂窩夾芯層合板結構的自由振動與聲振耦合理論模型，系統性地研究了芯層幾何尺寸、層合板結構尺寸和聲波入射方向等因素對結構的振動特性和隔聲特性影響。Xiao等[11]建立了帶有質量密度梯度放入泡沫芯層夾芯板的自由振動分析模型，并討論了芯層材料參數對結構固有頻率的影響?；谛拚蟮腉ibson公式，邸馗等[12]研究了對邊簡支邊界下，帶有負泊松比的蜂窩夾層板板厚比、芯層厚度及胞元角度的改變對結構前4階固有頻率的影響。基于半解析法，Heshmati等[13]求解了彈性地基邊界下帶有功能梯度的多孔材料板結構的固有頻率。Li等[14]分析了熱環境下石墨烯增強的功能梯度多孔夾芯板結構的非線性振動響應。通過仿真與試驗手段，Yurddaskal等[15]研究了曲率和泡沫密度參數對多孔泡沫夾芯板結構固有特性的影響規律?？紤]壓電效應和馮卡門大變形理論，Zeng等[16]建立了電負載下帶有功能梯度多孔材料芯層的壓電三明治板結構的非線性振動模型?；诜蔷鶆螂妶瞿Ｐ?，Zhu等[17]討論了彈性地基等參數對帶有多孔黏彈性芯層的錐形夾芯板非線性振動特性的影響。

綜上，現有研究中很少關注帶有二維規則分布微孔的黏彈性夾層結構。另外，上述研究較少關注并求解結構系統的振動響應與阻尼參數，無法全面評價該類型結構的振動特性。為填補該類型層合結構在動力學性能研究方面的缺失，本文考慮了上述影響，建立了帶有微孔黏彈性芯層的FMLP結構振動分析模型。在設計并制備獲得帶有二維規則分布微孔的黏彈性材料的基礎上，推導得出該類型材料的等效彈性模量，結合解析建模和試驗測試，研究了微孔幾何參數對層合結構固有頻率、振動響應、阻尼性能的影響。本文所建立的理論模型可為該類型層合結構的優化設計與減振工程應用提供重要參考。

1 理論模型

1.1 模型描述

所研究的MVL-FMLP結構的理論模型如圖1所示。以其中面作為參考平面，建立o-xyz坐標系。假設其長為a，寬為b，黏彈性層厚度為hv，纖維層厚度為hf，金屬層厚度為hm。且假設纖維層由n層纖維布構成，各層纖維厚度相等，均為hf/n，纖維主軸方向與x軸的夾角為θ。同時，在微孔黏彈性層中，孔直徑為d，沿x，y，z3個方向上的孔間距分別為p、q和m。此外，假設MVL-FMLP結構處于一端約束的懸臂邊界條件，在R0(x0,y0)位置受到一個單點脈沖激勵載荷f(t)的作用。

圖1 MVL-FMLP結構理論模型

1.2 位移假設

根據經典層合板理論，纖維層與金屬層的位移場如下

(1)

式中：u、v、w為板內任意一點位移；u0、v0、w0為中面位移；t為時間。

由于研究對象為對稱結構，僅需考慮橫向振動的影響。因此，纖維層與金屬層內任一點的應變可表示為

(2)

式中，εx、εy和γxy分別為對應方向的正應變和切應變。

考慮到微孔黏彈性層中存在剪切變形[18-19]，采用高階剪切變形理論將MVL-FMLP結構中黏彈性層的位移場表示為

(3)

式中：Ψ=z-4z3/3h2；φx與φy分別為垂直于中面的直線在xoz面與yoz面內的轉角。

微孔黏彈性層的應變可表示為

(4)

1.3 材料參數

根據文獻[20]，微孔黏彈性材料與構成孔壁材料的彈性模量之間有如下關系

(5)

式中：Ev、Gv、ρv分別為微孔黏彈性材料的楊氏模量、剪切模量與密度；Es、Gs、ρs分別為構成孔壁材料的相應參數。

將孔的幾何參數d、p、q、m代入式(5)，可導出二維規則微孔分布形式下黏彈層的彈性模量表達式為

(6)

(7)

(8)

式中，ηm為金屬層材料的損耗因子。

(9)

式中，ηfi、ηfk分別為纖維層對應方向的損耗因子。

1.4 應力-應變關系

對于MVL-FMLP結構，其各層材料的應力-應變關系式可描述為

(10)

在式(10)中，由于金屬層材料與微孔黏彈性材料呈各向同性，因此有

式中：i=m,v；υi為泊松比。

對于具有各向異性特點的纖維層，有

式中，υ12和υ21分別為泊松比。

在纖維層中，當纖維主軸方向與設定坐標軸之間存在夾角θ時，根據應力-應變轉軸公式[22]可得第k層纖維在設定坐標系內的應力-應變關系

(11)

1.5 能量表達式

然后，可將金屬層的動能Tm和應變能Um表示為

(12)

纖維層的動能Tf和應變能Uf可表示為

(13)

黏彈性層的動能Tv和應變能Uv可表示為

(14)

式中：Ni、ρi(i=m,f,v)分別為各層材料的總層數與密度；S為板面積。

MVL-FMLP結構總的動能T與應變能U的表示式如下

(15)

1.6 振動特性求解

假設橫向振動的位移w0(x,y,t)為

w0(x,y,t)=ejωtW(ξ,η)

(16)

式中：ω為振動頻率；W(ξ,η)為振型函數。

基于Rayleigh-Ritz法，可將結構系統的中面位移X0表示為

(17)

P1(ξ)=χ(ξ),P1(η)=κ(η),

P2(φ)=(φ-H2)P1(φ)

Pi(φ)=(φ-Hi)Pi-1(φ)-ViPi-2(φ),

φ=ξ,η,i>2

(18)

其中，Hi和Vi為系數函數，其表達式分別為

(19)

式中，W(φ)為權函數，通常取W(φ)=1。而χ(ξ)和κ(η)是滿足邊界條件的多項式函數，具有如下的形式

χ(ξ)=ξp(1-ξ)q,κ(η)=ηr(1-η)s，

ξ=x/a,η=y/b

(20)

對于本文所研究的懸臂條件，可取p=2，q=0，r=0，s=0。

將式(17)代入式(16)，并分別令cos(ωt)=1與sin(ωt)=1，可得出結構系統的最大動能Tmax與最大應變能Umax。如此，可定義能量函數E為

E=Tmax-Umax

(21)

求解Ritz參數的極小值，即令能量函數對待定Ritz參數的偏導數為零

m=1,2,…,Mn=1,2,…,N

(22)

結構系統的特征方程可表示為

(K-ω2M)q=0

(23)

式中：K為剛度矩陣；M為質量矩陣；q=(q11,q12,…qij)T為特征向量。

為保證式(23)有非零解，系數矩陣的行列式應等于零，即

det(K-ω2M)=0

(24)

求解式(24)，即可得出MVL-FMLP結構的各階固有頻率。將各階固有頻率對應的特征向量q代入式(17)，就可獲得各階模態振型。

接著，將剛度矩陣表述成復剛度矩陣的形式，則式(7)～(9)中的剛度矩陣系數可表示為

(25)

式中：i=1, 2, 6；j=1, 2, 6。

ΔU=ΔUm+ΔUf+ΔUv

(26)

式中：ΔUm、ΔUf、ΔUv分別為金屬層、纖維層與黏彈性層的耗散能。

根據應變能法，可將結構系統的第r階模態阻尼比ξr表示為

(27)

接下來，為了求解對MVL-FMLP結構的彎曲振動響應，假設其在圖1所示的單點脈沖激勵下，可將此脈沖激勵看作一個周期極短的正弦半波，其表達式為

(28)

式中：F0為激勵幅值；ω為激勵頻率；t0為作用時間。

根據振型疊加法，設脈沖激勵的時域響應X(t)為

(29)

式中：Wmn(x,y)為模態振型；Tmn(t)為各階振型分量。

在考慮阻尼的情況下，廣義振動微分方程可表示為

(30)

式中，Pmn(t)與Mmn分別為第(m,n)階廣義力與廣義質量，其表達式為

在初始條件為零的情況下，對式(30)應用杜哈梅積分可得

sinωd(t-τ)dτ

(31)

將式(32)代入式(30)即可求解出MVL-FMLP結構的時域振動響應，對其進行快速傅里葉變換(fast Fourier transform，FFT)操作，亦可獲得頻域振動響應。

2 試驗驗證與討論

2.1 試驗對象和測試系統

通過真空導流法制備碳纖維板，并切割出兩塊形狀相同的TC300碳纖維/E21環氧樹脂板(由3層單向纖維布鋪設而成，鋪設方式為[0°/90°/0°])，其材料參數為：ρf=1 780 kg/m3，Ef1=136 GPa，Ef2=7.9 GPa，Gf12=Gf16=Gf26=3.39 GPa，υ12=0.3，υ21=0.017，ηf=0.04；進一步，結合購買的兩層金屬外層和黏彈性層芯層材料，采用樹脂作為黏結劑，并在模具的螺栓裝配壓力下自然固化，最終制備獲得5層層合板試件。圖2給出了MVL-FMLP結構的振動測試系統，通過模態力錘對板試件進行脈沖激勵，并通過激光測振儀獲取振動響應信號。當其一端被約束后，在懸臂邊界下，該試件的有效測試尺寸為170.00 mm×145.00 mm×4.82 mm，其中，各層厚度為：hm=0.3 mm，hf=1.11 mm，hv=2 mm；金屬層材料為鋁合金，其材料參數為：ρm=2 700 kg/m3，Em=70 GPa，Gm=26.5 GPa，υm=0.35，ηm=0.008；黏彈性層材料為購買的軟性光敏樹脂(soft photosensitive resin，SPR)，其密度ρv=1 300 kg/m3，微孔結構通過3D打印方式獲得，尺寸參數d=0.5 mm，孔間距p=q=2 mm(此時只有一層微孔，可忽略其沿z方向的孔間距m)。另外，利用自行研發的復合材料參數測試儀[24]和迭代辨識方法來測試黏彈性層對應的梁試件的彈性模量和損耗因子等參數，可得：Ev=15.1 MPa，Gv=5.2 MPa，υv=0.47，ηv=0.3。

圖2 MVL-FMLP結構振動測試現場圖

開展振動測試時，首先利用LMS Test.Lab軟件中的Impact模塊，通過模態力錘對試件進行3次敲擊測試，對獲得數據進行平均處理后，根據半功率帶寬法辨識獲得固有頻率和模態阻尼比。然后，再利用LMS Test.Lab軟件中的Signature模塊，進行脈沖激勵下振動響應時域信號的采集，并通過FFT獲得其頻譜數據。

2.2 理論與測試結果對比

試驗測試與理論計算獲得的板試件的前3階固有頻率和模態阻尼比，如表1所示。對其進行分析可知，固有頻率與阻尼比的計算誤差分別不超過4.5%和9.7%，初步驗證了理論模型在預測頻率和阻尼性能方面的正確性和有效性。

表1 板試件的前3階固有頻率和阻尼比的試驗和理論結果

另外，試驗測試與理論計算獲得的脈沖激勵下的激勵信號的時域波形，如圖3所示。兩種方式獲得的MVL-FMLP板振動響應信號的時域波形和頻譜圖，如圖4所示。對其進行比較可知，理論與測試獲得的結構系統的時域振動響應吻合較好，且頻譜圖中最大響應峰值誤差最大不超過7.5%，進一步驗證了該理論模型在預測結構振動響應方面的正確性，可以利用該模型對MVL-FMLP結構的振動特性進行有效預測。

圖3 測試與理論計算獲得的脈沖激勵下激勵信號的時域波形

(a)時域信號

2.3 微孔幾何參數對結構振動特性的影響

在驗證后的理論模型的基礎上，改變黏彈性層中二維規則微孔幾何參數，研究MVL-FMLP板振動特性的變化規律。此時，計算模型采用的板長、寬、厚為170.00 mm×145.00 mm×4.82 mm，d=0.5 mm，p=q=2 mm，F0=73 N，響應點R1(x1,y1)=(65,120)。脈沖激勵下微孔直徑與黏彈性層厚度之比d/hv以及孔間距與直徑之比m/d的改變，對MVL-FMLP結構前3階振動響應和阻尼特性的影響規律(由于固有頻率受到的影響很小，在此未討論)，如圖5所示。由圖5(a)可知，隨著d/hv的增大，會導致結構系統各階響應的峰值下降，并提升阻尼性能。將d/hv=0對應的結果作為基準，可知在d/hv=0%～100%內，且前3階響應峰值最大的下降程度ΔXmax為22.3%，而阻尼性能的最大上升程度Δξmax為17.9%。另外，對圖5(b)分析可知，隨著m/d增大，結構系統各階響應的峰值上升，而各階阻尼性能出下降的趨勢。此時，前3階響應峰值最大的增大程度ΔXmax為28.2%，而阻尼性能的最大下降程度Δξmax為17.1%。產生上述現象的原因是由于d/hv的增大或m/d的減小，會導致式(6)中黏彈性層中Ev與Gv的減小，進一步會導致結構阻尼比的增加和振動響應的下降。

(a)d/hv

3 結 論

本文提出了MVL-FMLP結構的振動分析模型，并通過試驗驗證方式證明了該模型在預報固有頻率、振動響應和阻尼特性方面的正確性和有效性。同時。討論了該結構包含的黏彈性層中微孔幾何參數的改變對其振動特性的影響規律。研究發現隨著微孔直徑與黏彈性層厚度比的增大，結構前3階振動響應峰值減小且相應的阻尼比上升；而隨著微孔間距與直徑比的上升，結構的響應和阻尼性能呈現相反的變化趨勢。本文所建立的數學模型及其相關分析結論，可為帶有規則微孔構型的含黏彈性芯層的纖維金屬混雜層合結構的減振設計與性能優化，提供理論與實踐的參考。