四階中立型時滯微分方程解的振動性

賈對紅

(長治學院 數學系，山西 長治 046000)

微分方程的振動性理論在微分方程的定性理論中占有重要的地位，被許多研究學者重視.近年來，高階微分方程的振動性研究取得了較好的進展，在文獻[1-6]的基礎上，筆者研究了一類四階中立型時滯微分方程的振動性，并給出了幾個振動準則.

(E)

文中假設下列條件成立：

(A2)c(t)∈C1([t0,∞),R+),b(t)∈C2([t0,∞),R+),h(t)∈C([t0,∞),R+)，且

(A6)F(t,ξ,w)∈C([t0,∞)×[c,d]×(0,∞),R+),q(t,ξ)∈C([t0,∞)×[c,d],R+),

設x(t)為方程(E)的一個解，如果x(t)有任意大的零點，則稱該解為振動的；否則稱為方程(E)的非振動解.若方程(E)的所有解為振動的，稱方程(E)是振動的[7].

1 預備知識

引理1 假設A1～A6成立，x(t)是方程(E)的一個正解，則存在充分大的t1>t0，當t>t1時，下面2種情況成立：

(a)z(t)>0,z′(t)<0,(a(t)z′(t))′<0,(b(t)(a(t)z′(t))′)′>0,

(b)z(t)>0,z′(t)>0,(a(t)z′(t))′<0,(b(t)(a(t)z′(t))′)′>0.

證明：設x(t)是方程(E)的一個正解，t∈[t0,∞)，則存在充分大的t1>t0，當t>t1時，

x(τ(t,μ))>0,x(g(t,ξ))>0，且

(c(t)(b(t)(a(t)z′(t))′)′)′+h(t)(b(t)(a(t)z′(t))′)′=

當t→∞時，由假設A1知，a(t)z′(t)→-∞.又因(a(t)z′(t))′<0，故存在t4≥t3，當t≥t4≥t3≥t2≥t1時有

a(t)z′(t)≤a(t4)z′(t4)<0,

由假設A1知，當t→∞時，z(t)→-∞，這與z(t)>0矛盾，即證.

引理2若假設A1-A6成立，x(t)是方程(E)的一個正解，z(t)滿足情況(a)，且

(1)

l-p(t)z(τ(t,a))≥l-p(l+ε)=k(l+ε)>kz(t),

(2)

對上式從[t,∞)積分

2 主要結果

記D={(t,s):t0≤s≤t},D0={(t,s):t0≤s

(i)H(t,t)=0,t≥t0；H(t,s)>0,(t,s)∈D0；

定理1假設A1～A6成立，且存在函數H∈X及φ∈C([t0,∞),R)使得

(3)

(4)

(5)

其中t≥T≥t0，k>1,θ>0,

則方程E的解x(t)或者振動或者當t趨于無窮時趨向于0.

證明：設x(t)是方程E的非振動解，則x(t)為最終正解或負解.設x(t)是最終正解，即設x(t)>0,t≥t1≥t0，則有x(τ(t,μ))>0，(t,μ)∈[t,∞)×[a,b]，x(g(t,ξ))>0，(t,ξ)∈[t,∞)×[c,d].

若z(t)滿足情況(b)，則

由假設A5,A6得

(c(t)(b(t)(a(t)z′(t))′)′)′+h(t)(b(t)(a(t)z′(t))′)′=

(6)

(7)

在(7)式兩端同時乘以H(t,s)并從[t2,t]積分得

即

由(5)得，當t≥t2時，

φ(t)≤w(t),

(8)

定理2假設A1-A6及式(1)成立，存在函數H∈X以及R(t)∈C([t0,∞),R)滿足

(9)

其中

D(t)=Q(t)-kρ(t)c(t)R2(t),

那么方程E的任何解或者振動或者當t趨于無窮時趨向于0.

上式兩邊乘以H(t,s)，從[t1,t]積分得

這與(9)矛盾.

類似情況(b)，可由引理2證得情形(a)的結論，證畢.

3 應用舉例

因此，此方程的解或者振動或者趨向于0.