從北京中考模擬題看幾何綜合題的解題策略

文/劉波

平面幾何作為初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，歷來是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和基本素養(yǎng)的重點(diǎn)。平面幾何問題往往解法眾多，也是激發(fā)學(xué)生探究能力的主戰(zhàn)場，自然也是中考的壓軸題型之一。但在學(xué)生學(xué)習(xí)、測試到中考的反饋中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于幾何綜合題仍存敬畏之心，不能在解題上做到游刃有余，導(dǎo)致失分。經(jīng)過詢問，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生反映的主要問題是：找不到切入點(diǎn)，看不出聯(lián)系點(diǎn)。每次聽完老師的講解，學(xué)生似乎都能理解，也記錄了一堆的模型和方法，再做相同類型題的時(shí)候仍然一臉茫然。究其原因，我認(rèn)為是學(xué)生更多地糾結(jié)在掌握了多少種方法上，意圖通過看出題目中的圖形所屬的模型或方法進(jìn)而解決問題，這與新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解和認(rèn)識(shí)之間存在一些偏差。

在幾何學(xué)習(xí)中，新課程標(biāo)準(zhǔn)更多地提倡通過變換角度去認(rèn)識(shí)幾何圖形、解決幾何問題。所以在幾何綜合題中，要引導(dǎo)學(xué)生從平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱3種全等變換的角度去思考問題，逐步積累解題經(jīng)驗(yàn)，增加學(xué)生對(duì)幾何題型的理解認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)從“術(shù)”到“道”的提升，真正提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面結(jié)合2020年北京市朝陽區(qū)一模的幾何綜合題來說明一下這類問題的解題策略（本文主要討論解題思路，不作詳解過程）。

27.四邊形ABCD是正方形，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α（0°＜α＜45°）,得到線段CE，連接DE，過點(diǎn)B作BF⊥DE交DE的延長線于F,連接BE。

（1）依題意補(bǔ)全圖1；

（2）直接寫出∠FBE的度數(shù)；

（3）連接AF，用等式表示線段AF與DE的數(shù)量關(guān)系，并證明。（圖1）

圖1

在認(rèn)真作了圖之后（圖2），其實(shí)不難解決第（1）問和第（2）問，容易得出∠FBE=45°。下面我們就直奔主題，看如何尋找切入點(diǎn)和聯(lián)系點(diǎn)。

圖2

尋找切入點(diǎn)：

1.標(biāo)注已知量和未知量。將題目條件中的相等線段（AB=BC=CD=AD）和解決第（2）問得到的相等線段（BF=EF）用短線標(biāo)出，將需要證明的線段（AF，DE）用“？”標(biāo)出（圖3）。

圖3

2.確定目標(biāo)三角形。

觀察標(biāo)注后的圖形，涵蓋已知量和未知量的三角形即為目標(biāo)三角形，如△ABF，△ADF，△CDE。

觀察聯(lián)系點(diǎn)——構(gòu)造全等三角形。

從相等的量出發(fā)，借助變換的思想，進(jìn)而可以構(gòu)造出全等三角形。以△ABF為目標(biāo)三角形為例。從AB=AD考慮可以發(fā)現(xiàn)AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與AD重合，所以我們可以作AM⊥AF交DF于M，進(jìn)而構(gòu)造出△ADM≌△ABF（圖4）。

圖4

為了便于求角，由∠BFE=90°可知，點(diǎn)F與正方形的頂點(diǎn)A、B、C、D5點(diǎn)共圓，從而可以得到∠AFD=45°，所以，△AFM是等腰直角三角形，進(jìn)而得到FM=AF。（圖5）

圖5

由△ADM≌△ABF可知DM=EF，所以，DE=AF。問題得解。

在觀察聯(lián)系點(diǎn)的時(shí)候，會(huì)發(fā)現(xiàn)AB=CD，AB與CD的重合顯然可以通過平移實(shí)現(xiàn)，這時(shí)自然就出現(xiàn)了第二種方法。

在第（2）問求角時(shí)，可以得到∠ABF=α，5點(diǎn)共圓得到∠AFD=45°，所以∠DNC=∠AFB=135°。當(dāng)平移構(gòu)造△DCN≌△ABF后，∠DCN=∠ABF=α，CD=CE，CN=CN， 所以，△DCN≌△ENC，之后就可以證明△DEN是等腰直角三角形。所以，DE=DN=AF，問題得解（圖6）。

圖6

如果以△ADF為目標(biāo)三角形，則可以觀察到AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與AB重合，所以，可以作AS⊥AF交BF的延長線于點(diǎn)S。由5點(diǎn)共圓得到∠AFD=45°，可以得到∠AFB=135°，進(jìn)而∠AFS=45°，所以，△ASF是等腰直角三角形。繼而可以得到△ABS≌△ADF，BS=DF，又BF=FE，所以DE=SF=AF。問題得解（圖7）。如果我們以△CDE為目標(biāo)三角形，則可以通過平移構(gòu)造△ABT≌△CDE（圖8），證明思路則和圖5類似，不再贅述。

圖7

圖8

當(dāng)然，本題還可以通過構(gòu)造相似三角形證明。

在北京中考中，幾何綜合題仍然以全等證明為主，文中主要引導(dǎo)學(xué)生從變換的角度認(rèn)識(shí)幾何圖形的關(guān)系，從切入點(diǎn)和聯(lián)系點(diǎn)入手，也就是“標(biāo)條件”“找目標(biāo)”“想變換”，進(jìn)而快速地構(gòu)造全等三角形。要明確在分析題目條件時(shí)對(duì)于關(guān)鍵詞的挖掘會(huì)對(duì)解決問題產(chǎn)生積極的推動(dòng)作用，如線段中點(diǎn)產(chǎn)生的中心對(duì)稱圖形（旋轉(zhuǎn)），角平分線產(chǎn)生的軸對(duì)稱圖形（軸對(duì)稱）等等。

把幾何變換作為解決幾何問題的指導(dǎo)思想，從繁多模型的機(jī)械記憶中跳出來，當(dāng)這“三板斧”熟練掌握后，相信幾何壓軸題不再是我們的“痛”，而是我們的“樂”。