基于高斯-勒讓德積分的魯棒波束形成算法

程永杰, 劉 帥, 張 雪, 金 銘

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息科學(xué)與工程學(xué)院, 山東 威海 264200)

0 引 言

作為陣列信號(hào)處理的重要研究內(nèi)容,自適應(yīng)波束形成技術(shù)廣泛應(yīng)用在雷達(dá)[1-3]、聲吶[4-6]、醫(yī)學(xué)[7-8]及無線通信[9-10]等領(lǐng)域。Capon波束形成器是一種經(jīng)典波束形成算法[11],在數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣和期望信號(hào)導(dǎo)向矢量精確已知的條件下,可在實(shí)現(xiàn)期望信號(hào)無失真?zhèn)鬏數(shù)耐瑫r(shí)最大程度地抑制干擾信號(hào),獲得最佳的系統(tǒng)性能。在實(shí)際應(yīng)用中,由于陣列總是同時(shí)接收期望和干擾信號(hào),且快拍數(shù)通常有限,因此無法準(zhǔn)確獲得干擾噪聲協(xié)方差矩陣,隨著信噪比的提高,經(jīng)典波束形成器會(huì)抑制期望信號(hào),出現(xiàn)期望信號(hào)“自消”現(xiàn)象,性能嚴(yán)重下降;此外由于接收通道誤差、視向誤差等多種非理想因素的存在,期望信號(hào)導(dǎo)向矢量無法精確估計(jì),波束形成器性能也受到影響。為解決以上問題,近年來,大量學(xué)者對(duì)魯棒波束形成算法展開深入研究,具體可分為以下四個(gè)方面:對(duì)角加載法[12-14]、特征空間法[15-16]、不確定集約束法[17-19]以及協(xié)方差矩陣重構(gòu)法[20-23]。

對(duì)角加載算法[12-14]通過對(duì)樣本協(xié)方差矩陣加上單位矩陣與加載因子的乘積,減緩噪聲特征值的擾動(dòng),改善信號(hào)“自消”和方向圖畸變現(xiàn)象。此類算法在小快拍情況下性能較好,但最佳加載量因子較難確定;特征空間算法[15-16]利用信號(hào)空間與噪聲空間的正交性修正權(quán)矢量或信號(hào)導(dǎo)向矢量,減弱噪聲空間擾動(dòng)的影響,但該類算法在信噪比較低時(shí),信號(hào)空間會(huì)出現(xiàn)“塌陷”現(xiàn)象,算法性能下降嚴(yán)重;不確定集約束算法[17-19]是將導(dǎo)向矢量的可能失配范圍構(gòu)建為集合,通過尋優(yōu)修正導(dǎo)向矢量,但最佳不確定集選取原則通常很難確定,優(yōu)化過程較為復(fù)雜,不適合工程應(yīng)用。為了改善信號(hào)“自消”現(xiàn)象,文獻(xiàn)[20]從矩陣重構(gòu)入手,在非期望信號(hào)區(qū)域內(nèi)利用Capon譜積分重構(gòu)干擾噪聲協(xié)方差矩陣,算法性能接近最優(yōu),具有良好的魯棒性。至此,通過分離樣本協(xié)方差矩陣中的期望信號(hào)成分完成協(xié)方差矩陣重構(gòu),提升波束形成算法魯棒性的研究成為熱點(diǎn)。鑒于文獻(xiàn)[20]的積分實(shí)現(xiàn)過程和導(dǎo)向矢量修正方法計(jì)算復(fù)雜度過高,后續(xù)算法從積分構(gòu)建方式[21-22]、定義法[23]及投影處理[24-27]等方向?qū)ζ涓倪M(jìn)。其中,文獻(xiàn)[21]結(jié)合不確定集思想,給出導(dǎo)向矢量的可能失配范圍,利用環(huán)形積分代替線性積分重構(gòu)協(xié)方差矩陣,該算法性能有所提升,但環(huán)形積分計(jì)算復(fù)雜度較高,不利于工程應(yīng)用;文獻(xiàn)[22]利用導(dǎo)向矢量與特征向量之間的相關(guān)性估計(jì)期望信號(hào)導(dǎo)向矢量,用噪聲功率代替期望信號(hào)功率重構(gòu)協(xié)方差矩陣,當(dāng)信噪比與干噪比相近時(shí),信號(hào)的色散效應(yīng)會(huì)嚴(yán)重影響波束形成器性能;文獻(xiàn)[23]考慮陣列信號(hào)分布的稀疏性[24],利用交替投影法確定干擾信號(hào)導(dǎo)向矢量,并結(jié)合Capon空間譜來估計(jì)信號(hào)功率,依據(jù)定義式重構(gòu)干擾噪聲協(xié)方差矩陣,算法性能在寬信噪比范圍內(nèi)接近理想情況,但其干擾信號(hào)空間維數(shù)較難確定;文獻(xiàn)[25]在文獻(xiàn)[23]的基礎(chǔ)上,改進(jìn)了空間維數(shù)的選取方法,性能有所提升;文獻(xiàn)[26-27]通過構(gòu)建干擾信號(hào)空間的投影矩陣處理快拍數(shù)據(jù),消除了樣本協(xié)方差矩陣的期望信號(hào)成分,獲得精確的干擾噪聲協(xié)方差矩陣,性能接近最優(yōu),而樣本點(diǎn)數(shù)的選取會(huì)影響投影矩陣的精確性,樣本數(shù)越大,投影矩陣越精確,但計(jì)算復(fù)雜度也隨之增加,不利于工程應(yīng)用。

綜上可知,現(xiàn)有研究成果在一定程度上提高了波束形成算法的魯棒性,而在計(jì)算復(fù)雜度方面仍存在改進(jìn)的空間。本文針對(duì)魯棒波束形成算法的高計(jì)算復(fù)雜度和導(dǎo)向矢量失配等問題,利用高斯-勒讓德積分簡便、快速地重構(gòu)協(xié)方差矩陣,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)魯棒波束形成算法。該算法首先利用高斯-勒讓德積分代替離散求和實(shí)現(xiàn)干擾空間投影矩陣構(gòu)建;然后將快拍數(shù)據(jù)投影到干擾空間去除期望信號(hào),得到干擾噪聲協(xié)方差矩陣;最后,采用特征空間法修正導(dǎo)向矢量失配誤差,進(jìn)一步提高了算法的魯棒性。仿真結(jié)果表明,本文方法可有效減少矩陣重構(gòu)的計(jì)算量,提高波束形成算法的魯棒性。

1 信號(hào)模型

假設(shè)有Q+1個(gè)遠(yuǎn)場窄帶信號(hào)入射到由M個(gè)陣元構(gòu)成的均勻線陣上,則k時(shí)刻陣列接收到的快拍數(shù)據(jù)為

x(k)=xs(k)+xi(k)+n(k)

(1)

信號(hào)導(dǎo)向矢量可表示為

(2)

式中:[·]T表示轉(zhuǎn)置運(yùn)算;d=λ/2為陣元間距,λ為入射信號(hào)波長。

波束形成器輸出為

y(k)=wHx(k)

(3)

式中:w=[w1,w2,…,wM]T為陣列權(quán)矢量;[·]H表示共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算。波束形成器的輸出信干噪比SINR表示為

(4)

s.t.wHa(θ0)=1

(5)

結(jié)合拉格朗日乘子法解得

(6)

實(shí)際中,Ri+n一般用樣本協(xié)方差矩陣代替:

(7)

式中:K為快拍數(shù)。

2 基于高斯-勒讓德積分重構(gòu)的魯棒波束形成算法

本節(jié)提出了一種基于高斯-勒讓德積分實(shí)現(xiàn)干擾噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)的方法。高斯-勒讓德積分是精度最高的插值型數(shù)值積分方法之一,通過在較少積分節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)運(yùn)算和求和,實(shí)現(xiàn)積分的高精度數(shù)值計(jì)算。本文基于高斯-勒讓德積分特點(diǎn),選取4階高斯-勒讓德積分代替離散取點(diǎn)求和實(shí)現(xiàn)干擾信號(hào)空間的構(gòu)建,降低了計(jì)算量,而后通過將快拍數(shù)據(jù)向干擾信號(hào)空間投影去除期望信號(hào),得到了精確的干擾噪聲協(xié)方差矩陣。最后,利用特征空間法對(duì)陣列權(quán)矢量進(jìn)行修正,提高了算法對(duì)導(dǎo)向矢量失配的魯棒性。

2.1 干擾噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)

假設(shè)Q個(gè)干擾信號(hào)分別分布于區(qū)域Θi,i=1,2,…,Q。由于不同角度的信號(hào)導(dǎo)向矢量之間滿足近似正交性[28-29],即

(8)

式中:δθi,θj為Kronecker函數(shù)。因此,可通過在干擾角度鄰域內(nèi)積分來構(gòu)建干擾信號(hào)子空間,表達(dá)式為

(9)

式中：Θi為干擾分布區(qū)域;a(θ)為陣列導(dǎo)向矢量。

一般地,式(9)通過離散求和的方式計(jì)算：

(10)

式中：J為采樣點(diǎn)數(shù)。分析知J越大,式(10)的計(jì)算結(jié)果越接近真實(shí)值,但計(jì)算復(fù)雜度也會(huì)隨之增加。

針對(duì)以上問題,本文引入高斯-勒讓德積分[30]實(shí)現(xiàn)干擾信號(hào)子空間的高效計(jì)算。該積分是一種插值型數(shù)值積分,可將任意函數(shù)在區(qū)間[-1,1]的積分替換為n+1階的插值求積,具體公式如下:

(11)

(12)

(13)

由高斯-勒讓德積分原理可知,當(dāng)選擇4階勒讓德多項(xiàng)式時(shí),式(11)在f(x)分別為1,x,x2,x3時(shí)精確成立,因此有

(14)

(15)

對(duì)于信號(hào)角度分布區(qū)域Θi=[θa,θb]的積分,可進(jìn)行積分區(qū)間變換,具體表達(dá)式為

(16)

式中:t∈[-1,1]。以式給出的第i個(gè)干擾信號(hào)子空間重構(gòu)為例,其可由高斯-勒讓德積分實(shí)現(xiàn),具體表示為

(17)

對(duì)Q個(gè)干擾信號(hào),分別利用式進(jìn)行Q次計(jì)算,可得全部干擾信號(hào)子空間Di,i=1,2,…,Q。與式(10)相比,利用高斯-勒讓德積分構(gòu)建干擾信號(hào)子空間只需計(jì)算4個(gè)求積節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值,避免了繁瑣的離散取點(diǎn)求和,降低了積分的計(jì)算量,有利于工程實(shí)現(xiàn)。

(18)

式中:特征值按倒序排列,即σ1≥σ2≥…≥σM,取矩陣D的前N個(gè)大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成矩陣P=[v1,v2,…,vN],可得投影矩陣B=PPH,其中N的大小可由信號(hào)源個(gè)數(shù)估計(jì)算法或仿真確定。適當(dāng)選取N的取值,使投影矩陣對(duì)期望信號(hào)的抑制效果最好,并保證干擾信號(hào)不失真。

由于期望信號(hào)導(dǎo)向矢量與干擾導(dǎo)向矢量正交[28],可將k時(shí)刻陣列接收的快拍數(shù)據(jù)x(k)投影到干擾信號(hào)空間,濾除期望信號(hào)成分

(19)

分析知,投影后的快拍數(shù)據(jù)不含期望信號(hào)成分,可用來估計(jì)干擾協(xié)方差矩陣：

(20)

對(duì)式(20)修正后,得到重構(gòu)的干擾噪聲協(xié)方差矩陣為

(21)

2.2 權(quán)矢量修正

(22)

為了進(jìn)一步提高算法對(duì)導(dǎo)向矢量失配的魯棒性,本文采用特征空間法方法對(duì)陣列權(quán)矢量修正：

(23)

綜上,本文算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下。

步驟 1利用高斯-勒讓德積分得到干擾信號(hào)空間Di,i=1,2,…Q,如式(17)所示。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 復(fù)雜度仿真與分析

本節(jié)針對(duì)算法矩陣重構(gòu)部分的計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)行分析、比較,意在說明本文算法的低復(fù)雜度。分析可知,本文算法中,矩陣重構(gòu)部分,計(jì)算復(fù)雜度為O(QM2L+M3),L為求積節(jié)點(diǎn)數(shù),遠(yuǎn)小于陣元數(shù)M,Q為干擾信號(hào)個(gè)數(shù);文獻(xiàn)[20]算法計(jì)算復(fù)雜度為O(M2S),其中S為非期望信號(hào)區(qū)域的采樣點(diǎn)數(shù),通常S?M;文獻(xiàn)[23]算法中,計(jì)算復(fù)雜度為O(M3.5);文獻(xiàn)[27]算法,計(jì)算復(fù)雜度為O(max(M2J,M2P)),其中J、P分別表示噪聲分布區(qū)域和期望信號(hào)分布區(qū)域的采樣點(diǎn)數(shù)。各算法的計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比如表1所示。依據(jù)以上算法在相應(yīng)文獻(xiàn)中參數(shù)的典型取值,本文選取具體參數(shù)如下:L=4,Q=2,S=1 640,J=1 318,P=161,對(duì)比分析各算法的復(fù)雜度與陣元數(shù)M的關(guān)系,結(jié)果如圖1所示。

表1 計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比

圖1 計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比

從圖1可以看出,本文所提方法降低了矩陣重構(gòu)的計(jì)算復(fù)雜度,計(jì)算成本遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于其他矩陣重構(gòu)類算法,并且隨著陣元數(shù)M的增加,本文方法的低復(fù)雜度優(yōu)勢更突出。

3.2 特征向量個(gè)數(shù)選取的仿真與分析

本節(jié)考察投影矩陣中特征向量的個(gè)數(shù)對(duì)投影性能的影響,固定勒讓德多項(xiàng)式階次為4,分別取特征向量的個(gè)數(shù)為4～8構(gòu)造投影矩陣,考察特征向量個(gè)數(shù)的選取對(duì)投影結(jié)果的影響,結(jié)果如圖2所示。從圖2可以看出,當(dāng)N=5時(shí),投影對(duì)期望信號(hào)的抑制效果較好,且投影之后干擾基本不失真,因此本文選擇P中含有5個(gè)特征向量。

圖2 投影結(jié)果

3.3 視向誤差下算法仿真與分析

在該誤差條件下,期望信號(hào)、干擾到達(dá)角度的誤差之間相互獨(dú)立且服從[-4°,4°]的均勻分布。即期望信號(hào)到達(dá)角度均勻分布在[-2°,6°],干擾信號(hào)到達(dá)角度分布在[-42°,-34°]、[28°,36°]。視向誤差在快拍間保持不變,在每次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)中重新產(chǎn)生。取信噪比SNR以5 dB的間隔從-10 dB變化到30 dB,在每個(gè)信噪比下進(jìn)行200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn),統(tǒng)計(jì)陣列的輸出信干噪比,結(jié)果如圖3所示。

圖3 視向誤差下性能對(duì)比

從圖3可以看出,由于特征空間法在低信噪比時(shí)存在信號(hào)、噪聲子空間混疊現(xiàn)象,因此采用特征空間修正失配誤差的本文算法在SNR小于-5 dB時(shí)性能略遜于同類重構(gòu)算法;但隨著SNR的增加,本文與矩陣重構(gòu)類方法性能接近,均優(yōu)于對(duì)角加載算法[12]、特征空間算法[15]、矩陣求逆算法。在矩陣重構(gòu)類方法中,文獻(xiàn)[23]算法性能更接近于最優(yōu)值,但其需要通過Capon譜積分、特征分解及交替投影等復(fù)雜運(yùn)算估計(jì)導(dǎo)向矢量和重構(gòu)協(xié)方差矩陣,計(jì)算量較大。本文方法優(yōu)勢是以較小的性能損失換取了計(jì)算復(fù)雜度的降低,更利于工程實(shí)現(xiàn)。

3.4 隨機(jī)誤差下算法仿真與分析

在該誤差環(huán)境下,期望信號(hào)和干擾信號(hào)的導(dǎo)向矢量誤差模型為

(24)

圖4 導(dǎo)向矢量隨機(jī)誤差下性能對(duì)比

圖4是各算法在導(dǎo)向矢量隨機(jī)產(chǎn)生誤差條件下的算法性能變化情況,即輸出SINR與輸入SNR的關(guān)系圖。因利用交替投影、主特征向量、凸優(yōu)化等方法可以較為精確估計(jì)或修正導(dǎo)向矢量,特征空間算法、文獻(xiàn)[20]算法、文獻(xiàn)[23]算法及文獻(xiàn)[27]算法,對(duì)該誤差不敏感,而對(duì)角加載算法和矩陣求逆算法未采取修正措施,導(dǎo)向矢量隨機(jī)發(fā)生誤差時(shí),波束形成器性能受到極大影響。本文算法通過投影處理快拍數(shù)據(jù),結(jié)合特征空間法對(duì)導(dǎo)向矢量進(jìn)行修正,使得波束形成器對(duì)隨機(jī)誤差具有較高的魯棒性,性能接近最優(yōu)值。

3.5 幅相誤差下算法仿真與分析

在該誤差條件下,每個(gè)陣元的幅度誤差服從N(1,0.12),相位誤差服從N(0,(0.025π)2)。幅相誤差在每次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)間隨機(jī)生成,在快拍間保持不變。取SNR以5 dB的間隔從-10 dB變化到30 dB,在每個(gè)SNR下進(jìn)行200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn),統(tǒng)計(jì)陣列的輸出SINR,結(jié)果如圖5所示。由圖5可知,本文算法與其他重構(gòu)類算法性能相近,均與理想性能存在一定差距。如何提高陣列在幅相誤差條件下的輸出SINR,提高波束形成算法對(duì)幅相誤差的魯棒性,是當(dāng)前的研究熱點(diǎn),也是作者下一步的研究工作。

圖5 幅相誤差下性能對(duì)比

4 結(jié) 論

本文提出一種低復(fù)雜度的魯棒波束形成算法,與已有利用離散求和實(shí)現(xiàn)矩陣重構(gòu)的方法不同,本文方法基于高斯-勒讓德數(shù)值積分,選用4階積分可便捷、快速地重構(gòu)協(xié)方差矩陣,同時(shí)利用特征空間法修正陣列權(quán)矢量,增強(qiáng)了算法的魯棒性。仿真結(jié)果表明,本文方法在視向誤差、隨機(jī)誤差條件下,均具有良好的性能及較強(qiáng)的魯棒性,同時(shí)與矩陣重構(gòu)類算法相比,本文方法的復(fù)雜度更低,更適合于工程應(yīng)用。