正態分布的應用研究

張璇

摘 要：在實踐中，我們可以找到大量的滿足正態分布的例子。由于正態分布的應用價值及理論重要性，正態分布得到廣泛的研究。由于一些學生基礎不扎實或課程設置的因素等，不少學生對正態分布的理解存在偏差。本文回顧了正態分布的起源及相關定義，闡述了其重要特性并給出了大量的應用例子，包括在現實生活的應用，例如在質量管理的應用。本文的研究成果有助于幫助學生更好的理解正態分布的起源、定義、性質及其在具體問題中的靈活應用。

關鍵詞：正態分布;性質;應用;概率

1.正態分布的來源及概念

1.1正態分布的來源

正態分布，也稱高斯分布，是由著名的數學家Moivre首先提出并且被眾所周知的大數學家高斯首次在天文學研究中使用的。高斯在天文學中使用正態分布的結果催生了曲線擬合中聞名的最小二乘法。由于高斯在正態分布發展史上的重要貢獻，直到今天，德國的10馬克紙幣上仍然印著正態分布的概率密度曲線還有高斯的頭像。在一開始的時候，該研究成果并沒有受到廣泛關注。直到小樣理論的出現。具體而言，拉普拉斯注意到了高斯關于正態分布的理論成果，開始思考其與拉普拉斯提出的中心極限定理的聯系，并猜想該定理應該存在滿足正態分布的元素。該猜想后來被海根證實并導致了元誤差學說的誕生。

1.2正態分布的概念

1.2.1正態分布的定義

定義1：設連續型隨機變量的密度函數 （也叫概率密度函數）

式中x是自變量，表示隨機抽樣的樣本的值，f（x）是概率密度函數的函數值。該概率密度函數中包含兩個參數。其中，參數 μ表示樣本數據的平均值，參數σ表示樣本數據的標準差。給定兩個參數的值，則式子（1.1）所示的函數的曲線可以直接繪制出來。

定義2：在 （1.1） 式中，假如兩個參數滿足μ=0，σ=1， 那么該概率密度函數對應的分布就是標準正態分布。將兩個參數的值代入式子（1.1）中，則概率密度函數可以化簡為如下函數：

1.2.2參數μ和σ的意義

從前面的結果我們知道，正態分布的概率密度函數存在兩個參數，分別是和，并且從圖1中我們知道，對于不同的參數值，正態分布的概率密度函數繪制出來的曲線是不一樣的。換言之，對于給定的一組參數值，我們可以得到對應的概率密度函數的曲線圖。因此，這里有必要探討下這兩個參數對正態分布的概率密度函數的曲線的形狀和位置的影響。研究表明，參數決定了正態分布的概率密度函數曲線的對稱軸的位置，因此，我們稱它是正態分布概率密度函數的位置參數。該參數的值直接決定了正態分布概率密度曲線的對稱軸對應的軸的取值。當參數固定的情況下，如果改變參數，我們可以發現正態分布的概率密度函數的曲線的形狀不改變，呈現一種平移的效果。具體可見圖2。相比之下，參數則決定了正態分布的概率密度函數的曲線的形狀。具體而言，當位置參數的取值不變的情況下，如果減小參數的值，那么正態分布的概率密度函數的曲線會變得更加陡峭或者說高瘦;反之，如果保持位置參數的取值不變，增大參數的值，那么正態分布的概率密度函數的曲線會變得更加平緩，或者說矮胖。

實際上，對正態分布的概率密度函數的兩個參數可以從多個角度進行分析。具體而言，如果從其幾何意義來看，參數對應的是正態分布的概率密度函數的曲線的極大值所對應的橫坐標的值而參數則是正態分布的概率密度函數的曲線的拐點對應的橫坐標上的點距離該曲線的對稱軸的大小。換言之，參數是正態分布的概率密度函數的函數的凸曲線與凹曲線接連的處的橫坐標值。就該兩個參數的物理含義而言，參數表示正態分布的概率密度函數的曲線和軸所包圍起來的平面圖形的重心所對應的橫坐標值。就該兩個參數的數理統計意義而言，參數對應的是樣本的均值，而參數則對應的是樣本數據的標準偏差。就該兩個參數的計量學意義而言，參數表示被測量的物理量的真值，而參數則表示測量值的分散程度的高低。具體而言，如果增大，那么我們得到的觀測值出現在附近的可能性就減小，導致觀測得到的值的分散程度增大嗎，進而使得測量精度降低;反之，如果參數較小，那么我們得到的觀測值出現在附近的可能性就會增大，導致觀測值的分散程度減弱，也就是更加地集中，進而提高我們的測量精度。綜上所述，正態分布的概率密度函數中，參數體現了觀測所得到的值的集中趨勢，而參數則體現了觀測所得到的值的分散程度。顯而易見的是，減小可以導致得到的觀測效果更好[1].

2.正態分布的性質

2.1如果X ～N （μ， σ2） 且a與b是實數，那么aX+b ～N （aμ+b，（aσ2）） 。

2.2給定統計獨立的正態隨機變量X ～ N （μX，σX2） 與Y ～N （μY，σY2 ），我們有如下結論：

（1）它們的和也滿足正態分布U =X+Y～N （μX+μY，σY2+ σY2 ）。

（2）它們的差也滿足正態分布U =X-Y～N （μX-μY，σY2+ σY2 ）。

（3）隨機變量U 和隨機變量V 相互獨立的。

2.3給定獨立標準正態隨機變量X 1， ， ， X n。則X12+X22+， ， ，+Xn2滿足卡方分布且其自由度n。正態分布存在一個很好的特性，該特性被稱為中心極限定理。具體而言，當某些要求得到滿足時，許多相互統計獨立的隨機變量的和形成的分布趨向于滿足正態分布。該定理的有趣的地方，基于其給出的結論，我們可以用正態分布去逼近其他的分布，從而利用正態分布的性質是簡化問題的求解。

參考文獻

[1]Efficient processing of k nearest neighbor joins using MapReduce. Wei Lu，YanyanShen，SuChen，Beng Chin Ooi. Proceedings of the VLDB Endowment . 2012

[2]劉宗鶴等譯.概率與統計入門.北京：農業出版社，1986

[3] 周富臣等.機械制造計量檢測技術手冊[J].北京：機槭工業出版社. 2000.10