半輪型柔性鉸鏈的結構設計和分析

胡金鑫，劉昌儒，趙陽，韓哈斯敖其爾

（中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，長春130033）

0 引言

高速高加速度雙側驅動系統(tǒng)在直線運動方向上具有高剛度，以保證高動態(tài)特性下的高控制帶寬。同時，在扭轉方向上必須具有相對低剛度，以防止雙側驅動力不一致造成同步誤差或扭轉而影響運動系統(tǒng)的穩(wěn)定性。柔性鉸鏈通常僅由一個部件構成，按特殊需求對零件形狀進行設計，使零件的某些特定區(qū)域特別薄弱，而在一些運動自由度上應力應變集中。再通過自身的柔性變形，來傳遞輸入端驅動力和位移，從而獲得在固定坐標系下的運動位移關系。正是由于這樣的特性，使得柔性鉸鏈適合應用于高速運動系統(tǒng)中[1-3]。

國內外很多學者已對柔性鉸鏈作了大量研究，并取得了一定的成果。Smith等[4]設計了橢圓型柔性鉸鏈，推導出橢圓型柔性鉸鏈柔度封閉方程，并利用有限元法和實驗加以驗證。Lobontiu等[5]對各類缺口類型（包括角圓型、直圓型、橢圓型、拋物線型、雙曲線型、雙軸型、三段式、徑向對稱型）做了廣泛研究，建立了各種鉸鏈的閉環(huán)柔度方程，并分析了其精度和應力等性能。Schot?borgh等[6]根據(jù)有限元仿真分析結果，并采用數(shù)值擬合法求得直圓型、直梁型和交叉型柔性鉸鏈的剛度及應力的無量綱設計圖，從而幫助設計者在最初設計階段選擇柔性鉸鏈的類型和設計幾何參數(shù)。沈意平等[7]基于力插值的有限元法，建立了圓弧柔性鉸鏈的有限元分析模型，并推導出其一致質量矩陣表達式。劉浪等[8]通過增加交叉簧片型柔性鉸鏈中的簧片數(shù)量，設計了一種一般化具有大運動行程的柔性鉸鏈。

本文針對上述問題提出了一種應用于雙側驅動系統(tǒng)的半輪型柔性鉸鏈設計方法。并基于旋量變換理論，建立了單個柔性鉸鏈和組合鉸鏈的剛度矩陣模型，以整體平動高剛度和扭轉低剛度為設計約束條件，綜合分析了各項設計幾何參數(shù)對鉸鏈的各向剛度、相對剛度以及轉動誤差3個性能指標的影響。通過有限元仿真分析，驗證模型的有效性。

1 半輪型柔性鉸鏈設計

為了滿足雙側驅動系統(tǒng)自由度的剛度需求，本文采用一種半輪型柔性鉸鏈如圖1所示，可實現(xiàn)系統(tǒng)在X、Y自由度具有高剛度以及Rz自由度具有相對較低剛度。其中，L為梁的長度，b為梁的寬度，t為梁的厚度，θ為兩側子柔性單元與整個鉸鏈端面法線間夾角。該半輪型柔性鉸鏈兩側對稱設有兩個均勻直梁型子柔性單元結構，實現(xiàn)吸收運動件在Rz自由度上產生的順時針或逆時針方向的扭轉。

圖1 半輪型柔性鉸鏈模型

2 鉸鏈剛度矩陣模型的建立

半輪型柔性鉸鏈上設有橫截面積為矩形的均勻直梁型柔性單元，使其一端固定，在自由端建立如圖2所示坐標系。

圖2 均勻直梁型柔性單元

柔性鉸鏈在自由端上承受力旋量F=[FX,FY,FZ,MX,MY,MZ]T，對應方向產生的微小形變旋量為ζ=[δX,δY,δZ,θX,θY,θZ]T，其中{FX,FY,FZ}T為沿對應坐標軸的力，{MX,MY,MZ}T為繞對應坐標軸的力矩，{δX,δY,δZ}T為沿對應坐標軸的伸縮形變量，{θX,θY,θZ}T為繞對應坐標軸的扭轉和彎曲角度。

根據(jù)胡克定理，F(xiàn)=Kζ，梁的六自由度剛度矩陣可表示為[9]：

根據(jù)Timoshenko梁理論模型[10]，剛度矩陣K中元素方程可表示為：

式中：E為楊氏模量；G為剪切模量；k1為剪切修正系數(shù)，對于矩形截面k1=6/5；k2為矩形截面自由扭轉時的抗扭截面系數(shù)的因數(shù)，其取值為“橫截面長/寬”相關的因數(shù)[11]。

如圖3所示，建立兩個子柔性單元1、2的局部坐標系，使兩個局部坐標系的原點分別與其對應單元橫截面的形心重合。

圖3 半輪型柔性鉸鏈柔性單元坐標系位置

在該半輪型柔性鉸鏈中，子柔性單元1、2形成并聯(lián)結構。在同一坐標系中，其末端剛度為各并聯(lián)單元的剛度之和。為計算半輪型柔性鉸鏈對雙側驅動系統(tǒng)在各方向的支撐剛度，各單元的剛度矩陣應整合至坐標系{O3,X3,Y3,Z3}中。

本文設置各子柔性單元的尺寸參數(shù)如表1所示，其中已知參數(shù)由具體功能、材料（兩側的均勻直梁型子柔性單元結構均采用彈簧鋼60Si2Mn）所確定，未知參數(shù)為本文所研究的影響鉸鏈性能的相關參數(shù)。

表1 各子柔性單元結構和材料參數(shù)

將上述數(shù)值和參數(shù)代入剛度矩陣（1）、（2），并計算可得到各子柔性單元（1、2）關于其各自局部坐標系的剛度矩陣K1（1）、K2（2）分別為：

根據(jù)余靖軍[12]提出的理論，剛度矩陣和柔度矩陣的旋量坐標變換式為：

式中：A、B為旋量伴隨變換矩陣，滿足上述式中A-1=BT；j(i)為坐標系{oi}中的剛度矩陣關于坐標系{oj}的表達。

式中：R j(i)為坐標系{oi}關于{oj}的方向余弦矩陣，其變量為繞Z坐標軸的旋轉角度γj(i)；t?j(i)為坐標系{oi}關于{oj}的反對稱移動矩陣，其變量為沿X、Y和Z坐標軸的平動量，即（xj（i）,yj（i）,zj（i））：

綜上，半輪型柔性鉸鏈中各子柔性單元剛度矩陣在末端坐標系{O3,X3,Y3,Z3}中的整合總剛度矩陣為：

3 鉸鏈性能分析

柔性鉸鏈是一種利用自身材料的柔性變形傳遞作用力和形變的機械連接部件。本文針對該半輪型柔性鉸鏈的性能分析，選擇鉸鏈的各向剛度、相對剛度以及轉動誤差3項指標進行研究。以未知參數(shù)包括鉸鏈兩側對稱設置的子柔性單元的長度L1、厚度t1以及其設置位置與端面法線夾角θ為控制變量，通過數(shù)值仿真可以得到這些參數(shù)（L1,t1,θ）對半輪型柔性鉸鏈各項性能的影響，為半輪型柔性鉸鏈最優(yōu)結構參數(shù)選取提供指導。

3.1 各向剛度

剛度表示柔性鉸鏈在受力時不同方向上抵抗彈性變形的能力，從數(shù)值上體現(xiàn)柔性鉸鏈彈性變形的難易程度。半輪型柔型鉸鏈變形發(fā)生在繞Z軸轉動的Rz方向上。然而在對于雙側驅動系統(tǒng)，柔性鉸鏈通常會在多個方向受力導致發(fā)生形變。因此，為了滿足雙側驅動系統(tǒng)的X、Y方向高剛度要求以及Rz方向的低剛度要求，有必要綜合研究半輪型柔性鉸鏈在X、Y和Rz自由度上的剛度。

控制參數(shù)點坐標（L1,t1）與子柔性單元位置角度θ對半輪型柔性鉸鏈X、Y和Rz自由度的剛度影響如圖4所示。由圖可以看出，在位置角度θ一定的情況下，變量L1越小，即梁的長度越短，半輪型柔性鉸鏈3個自由度上的剛度越大；變量t1越大，即梁的厚度越厚，半輪型柔性鉸鏈各自由度的剛度越大。當位置角度由15°變化到75°的過程中，半輪型柔性鉸鏈X自由度剛度與Y自由度剛度受梁的厚度及長度的影響情況呈現(xiàn)對調趨勢，且在θ=45°時其X自由度剛度等于Y自由度剛度。另外，在θ=45°的情況下，梁的厚度及長度對半輪型柔性鉸鏈Rz自由度剛度影響最明顯。

圖4 半輪型柔性鉸鏈X、Y、Rz自由度剛度

3.2 相對剛度

期望所設計柔性鉸鏈在一定方向上產生變形，這一變形方向稱之為工作方向，則其他方向就是非工作方向。由于非工作方向上的剛度并非無窮大，因此柔性鉸鏈在一定載荷下工作時，非工作方向會產生一定程度的變形位移，稱之為寄生位移。因此，定義相對剛度為工作方向上剛度與非工作方向上剛度的比值。

對于半輪型柔性鉸鏈，工作方向為繞Z軸轉動的Rz方向，X、Y方向則為非工作方向。施加的載荷主要為繞Z軸的轉矩Mz和xOy平面內的力，所以半輪柔性鉸鏈發(fā)生的變形和寄生位移均發(fā)生在xOy平面內，因此本節(jié)只需考慮xOy平面內的相對剛度。將剛度矩陣（10）中可得半輪型柔性鉸鏈相對剛度Ratio1、Ratio2為：

θ對Ratio1、Ratio2的影響如圖5所示。由圖可以看出，Ratio1的值隨θ的增大而增大且在階段變化顯著；相反地，Ratio2的值隨θ的增大而減小且在變化顯著，但兩條變化曲線是非對稱的。且在θ=45°的情況下，Ratio1=Ratio2。

圖5 相對剛度Ratio隨控制參數(shù)θ變化曲線

3.3 轉動誤差

高精度是柔性鉸鏈與傳統(tǒng)剛性鉸鏈相比的一個顯著優(yōu)點。理想的剛性鉸鏈假設存在一個理想的轉動軸或基點，鉸鏈的運動部分圍繞轉動軸或基點轉動。然而在實際應用中剛性鉸鏈存在裝配間隙，實際的轉動軸或基點與理想位置存在一定偏差。柔性鉸鏈由于僅由一個部件加工而成，不存在裝配間隙，但是柔性鉸鏈在一定載荷作用下發(fā)現(xiàn)變形時，其自由端理想情況下會產生一個圓弧彎曲，并且這個圓弧的圓心相對于鉸鏈應該是固定不變的。然而在實際應用中，圓弧的曲率和圓心的位置都會與理想情況產生一定程度的偏差。

柔性鉸鏈的轉動誤差定義為變形后的基點位置p'與初始位置之間的距離。轉動誤差定量描述柔性鉸鏈變形時虛擬轉動軸或基點的移動情況，轉動誤差越小，柔性鉸鏈的精度越高。因此，根據(jù)等效柔性鉸鏈模型中初始基點位置，以端面中心為原點建立三維坐標系，分析其轉動誤差，如圖6所示。從而等效分析半輪型柔性鉸鏈的精度。

圖6 柔性鉸鏈模型轉動誤差示意圖

整體半輪型柔性鉸鏈的長度為Lh，在力矩MZ的作用下，通過幾何關系計算轉動誤差e可表示為：

提取半輪型柔性鉸鏈總剛度矩陣（8）中對應位置剛度，并代入式（10），得到控制參數(shù)點坐標（L1,t1）與子柔性單元位置狀態(tài)量角度θ對半輪型柔性鉸鏈轉動誤差影響如圖7所示。從圖中可以看出，在位置角度θ一定的情況下，變量L1越大，即梁的長度越長，半輪型柔性鉸鏈轉動誤差e越大；變量t1越小，即梁的厚度越薄，半輪型柔性鉸鏈轉動誤差e越大。軸轉動誤差e隨θ的增大而減小，并且在15°～30°變化明顯，在45°～75°變化將不再明顯。

圖7 轉動誤差e隨控制參數(shù)變化

通過上述分析，為了滿足半輪型柔性鉸鏈X方向和Y方向高剛度需求需選取合適的L1和t1，但兩相對剛度呈現(xiàn)對調趨勢，即實現(xiàn)一個方向的高剛度而另一方向卻呈現(xiàn)低剛度。同樣地，兩相對剛度Ratio1、Ratio2隨θ的增大也呈現(xiàn)相反變化趨勢。所以針對位置角度θ的選取，選取θ=45°，即兩側子柔性單元與整個鉸鏈端面法線間夾角為45°。此時，半輪型柔性鉸鏈的X自由度剛度和Y自由度剛度變化趨勢相同，可方便通過選取合適的L1和t1實現(xiàn)兩方向高剛度的要求，且轉動誤差也相對很小。

4 結束語

本文針對雙側驅動系統(tǒng)的整體高剛度和局部相對低剛度特性，研究了一種半輪型柔性鉸鏈結構的設計方法。基于旋量變換理論，以半輪型柔性鉸鏈中子柔性單元的長度L1、厚度t1以及位置角度θ作為參數(shù)，建立半輪型柔性鉸鏈的剛度矩陣模型。提取剛度矩陣中X、Y、Rz自由度剛度對應的元素，通過分析半輪型柔性鉸鏈的各向剛度和相對剛度，表明在設計計算時應優(yōu)先考慮θ，這樣鉸鏈的剛度性能分析就轉換為選取合適的L1和t1實現(xiàn)兩方向高剛度的要求，為柔性鉸鏈的結構設計提供理論依據(jù)。