基于四元數的橋梁短線節段誤差分析方法

李光泉

(中鐵十四局集團有限公司 山東濟南 250101)

1 引言

短線法預制拼裝技術，目前在中等跨徑預應力混凝土箱梁施工中得到了廣泛應用，其關鍵技術在于線形控制和姿態調整相關的幾何計算方法。

短線法采用分段預制拼裝的方法，利用已建造的節段與相鄰將要澆筑節段匹配。在施工過程中，不僅會有測量儀器產生的測量誤差、匹配段定位誤差等，還會有施工中振搗、混凝土收縮等原因產生的預制誤差，包括:梁長誤差、轉角誤差、扭轉誤差、錯臺誤差等。這些誤差會導致已澆筑的節段偏離設計線形，并且由于已澆筑節段無法更改，從而使得誤差不斷積累。此時需要識別出已有的誤差，在已澆筑節段作為匹配段時，通過調整其位置和姿態參數，使后續節段修正該誤差。識別和修正預制誤差的幾何計算，存在多種不同的方法。

王侃、李國平[1]以階段接縫和橫坡為基準建立坐標系，采用6個控制點形成水平控制線和高程控制線，來分別識別和修正誤差。侍剛[2]等建立三維整體坐標系和節段局部坐標系，通過二者間的坐標變換研究其幾何關系，并引入非線性最小二乘法，根據測量點坐標結果來建立方程組并求解。劉海東[3]等研究了在三維坐標系中考慮所有誤差的誤差修正方法。周凌宇[4]等對三維空間整體和局部坐標系間的空間位置不重合進行了分析。時學軍[5]研究了適合于任意旋轉角度的坐標變換方法，并通過非線性最小二乘法來識別誤差。

從以上研究成果可見，誤差分析和修正的方法是通過三維坐標變換，把整體坐標系和節段局部坐標系進行匹配，對節段測點的澆筑階段和匹配階段測量結果進行分析比對，通過非線性最小二乘法來建立方程組計算出已產生的預制誤差[6]，然后通過整體坐標系的拼裝坐標來確定誤差調整方法[7]。但目前的方法仍存在一些弱點，幾種誤差仍是分別識別和修正，沒有統一起來。三維變換方法使用的是旋轉矩陣方法，使用歐拉角來作為誤差調整目標，這就使調整的方式與旋轉角的順序有關，在非線性最小二乘法進行誤差分析時用旋轉角作為計算目標，計算過程較為復雜[8]。目前誤差修正采用的大多為直接調整法[9]，如用分步調整法，目前的方法實現起來難度較大。

采用四元數進行三維幾何計算，同樣可以完成三維坐標變換[10]，并且可以把位置和姿態定義、空間的狀態和變換、誤差識別與調整統一起來。

2 四元數和坐標旋轉

2.1 四元數的定義

定義四元數:

式中:a、b、c、d均為實數。 同時有:

四元數也可以表達為:

式中:v為向量，即任意向量可表示為d等于0的四元數[11]。

四元數的模:

q對應的單元四元數為。

q的共軛四元數q*，對于單位四元數，其共軛四元數也是其逆四元數q－1。

四元數乘法公式，可依據規則由式(1)推導:

2.2 坐標旋轉

單位四元數可用于定義任意空間旋轉，對于如下單位四元數:

q1＝pqp－1，表示對向量q繞軸v旋轉2t角度后得到q1。對于坐標系的旋轉，可以通過對其x、y、z軸單位向量的旋轉通過計算得到。

坐標系的旋轉變換可以通過旋轉矩陣來定義。單位四元數可以與旋轉矩陣互相轉換，轉換公式較為復雜不再列出。

定義旋轉的另外一個方法是歐拉角，通過定義順序施加的三個旋轉角來定義空間旋轉。歐拉角可以有多種不同定義方法，視實際工程應用需要來使用。本文所用旋轉角與標準歐拉角正好相反，即對于坐標系D1，其坐標軸為三個單位向量(x1，y1，z1)，本文定義旋轉規則:先繞z1軸旋轉ψ，再繞旋轉后y1軸旋轉θ，最后繞x1軸旋轉φ，最終與坐標系D2(x2，y2，z2)重合。

旋轉角轉換為四元數:

四元數轉換為旋轉角:

3 短線法幾何計算流程

對于任何一個坐標系，可以用原點位置坐標和姿態四元數來定義其坐標系參數。為此可以做如下約定:以大地坐標系作為整體坐標系，記為G0，以固定端模頂面為基準的坐標系為U0，對于每個節段，其局部坐標系為G1，見圖1。以其前端接縫線為y軸，中點為原點，x軸在頂面內且與y軸垂直，z軸與xy平面垂直，注意這種定義方法是為了適應曲線梁和有橫坡的情況，此時節段前后端中心線不與前后端中心連線重合。當階段n作為匹配段時，節段局部坐標系記為U1，此時其父坐標系為U0，各測點的測量坐標中包含了節段誤差，因此階段n＋1會偏離設計坐標。計算的目標就是識別節段n的U1坐標系參數即其位置坐標和姿態四元數，并通過計算節段n＋1測點的整體坐標系，再變換回U0坐標系，計算作為匹配段的U1坐標系參數來修正之前的誤差。

圖1 節段局部坐標系

首先根據設計線形，可計算出節段各關鍵點的大地坐標，即全局坐標系G0參數和節段局部坐標系G1參數。

首節段澆筑完成，測量各測點U0下的坐標，通過坐標變換可得到其全局坐標。

對任意已經澆筑完成的梁段n，假定其已完成澆筑且得到各測點U0坐標并計算出實際全局坐標。依照梁段n＋1的G1坐標系，可根據全局到局部坐標的變換計算梁段n匹配段的坐標系參數，開始澆筑梁段n＋1。梁段n＋1澆筑完成后，測量梁段n＋1的各測點坐標和梁段n各測點坐標，顯然后者包含了預制誤差，根據本文算法識別出U1坐標參數和誤差四元數，可根據局部坐標系到全局坐標系的變換計算出梁段n＋1的全局坐標。此坐標已經偏離了設計全局坐標，需要根據梁段n＋2的G1坐標系參數來計算需要修正的梁段n＋1匹配段參數，這樣可以繼續下一段的施工和計算。

4 節段預制誤差四元數的識別

梁段n作為匹配段在n＋1段澆筑后，其前端局部坐標系U1的位置和姿態可以用表示位置的四元數p(x，y，z，0)和表示姿態的單位四元數q(a，b，c，d)來表示，共計7個參數，應采用其6個測點的U0坐標系下的澆筑后坐標v1(x1，x2，x3，0)和作為匹配段的測量坐標v2(x2，y2，z2，0)來進行識別。 由此我們可以得到如下方程:

利用四元數乘法可以得到:

同時引入約束條件:

利用式(3)可以定義:

這樣利用式(2)就可以建立18個方程，加上式(4)，根據非線性最小二乘法，可以得到最優化目標函數:

由于目標函數是4次多項式函數，可以使用梯度下降法求解[12]。求解需要對7個參數求導，得到梯度函數:

而f函數對a、b、c、d的偏導如下:

5 實例驗證

某3×40 m曲線連續梁，采用短線法拼裝7個節段，每個節段長2.9 m。為了能有效驗證本文方法的正確性，以橋梁實際數據為基礎，發生的預制誤差預先隨機產生，為匹配段偏離原位置x、y、z，姿態誤差旋轉角轉為四元數，同時引入正負0.3 mm的隨機測量誤差，然后用每一個施工步驟的測量數據來做輸入，產生的計算結果與預設誤差對比。對比結構見表1、表2。表1為位置誤差對比，單位mm；表2為計算結果的四元數轉換為旋轉角后的對比結果，單位10－3弧度。

表1 位置誤差對比結果

表2 姿態誤差對比結果 10－3rad

從對比結果來看，位置誤差小于0.2 mm，姿態誤差小于10－4弧度。

6 結論與展望

(1)使用四元數，不僅可以完成三維坐標變換，結合非線性最小二乘法，可以正確、可靠地分析出帶有測量誤差的預制誤差。

(2)基于四元數的非線性最小二乘法，由于目標函數為多項式函數，可以直接求導得出梯度函數向量，迭代算法更容易收斂。

(3)采用四元數的誤差分析方法，對測點位置、數量，旋轉角度都沒有嚴格的限制，可更加方便推廣到其他裝配式橋梁施工方法中。

(4)三維仿真已經成為短線法軟件的必要部分，能夠很好地避免使用過程中的人為錯誤，而四元數結果可以直接用于三維建模和動畫。

(5)四元數可以同時用于表示坐標、對象姿態、對象姿態的變換，可以很方便地進行插值，因此可用于分步調整法，這是后續應展開研究的方面。

(6)本文方法未考慮混凝土收縮的梁長誤差，這需要多引入一個縮放因子作為參數，并重新推導目標函數，這是后續需研究的工作。