3-UPS/UR 并聯機構運動學與控制分析

郭忠峰，趙啟航

并聯機構具有剛度大，累計誤差小，承載能力高和運行平穩等特點[1～4]，目前已經廣泛應用于許多領域[5]。利用計算機仿真軟件對并聯機構的運動特性和控制方法進行仿真可以快速精準得到并聯機構各項參數，縮短機構的設計周期，通過仿真也可以快速找到并改正設計錯誤，提高工作效率。

本文通過ADAMS 和Matlab 及其仿真模塊，對并聯機構進行運動學分析；通過SIMULINK 仿真模塊對機構系統進行控制仿真。

1 并聯機構模型建立及運動學分析

3-UPS/UR 并聯機構由上、下平臺，三根驅動支鏈和一根恰約束支鏈組成，其中約束支鏈包含3個球副（S），3 個移動副（P） 和3 個虎克鉸（U），恰約束支鏈包含和一個轉動副（R） 和一個虎克鉸（見圖1）。令上平臺的幾何中心為m，下平臺幾何中心為M，由M 指向m 方向為Z 軸方向，兩點間距離為360 mm。分別以上、下平臺的幾何中心為原點建立兩個坐標系m-xyz 和M-XYZ，下平臺中的3 個虎克鉸按圓周布置，任意2 個虎克鉸中心點與下平臺中間連線夾角為120°，幾何中心到虎克鉸的距離為300 mm，上平臺中的球副同下平臺布置方式一致，幾何中心與球副中心點距離為200 mm（見圖2）。

圖1 3-UPS/UR 并聯機構三維模型

圖2 3-UPS/UR 并聯機構簡圖

可以得到下平臺中3 個虎克鉸在坐標系MXYZ 下的坐標和上平臺中3 個球副在坐標系m-xyz下的坐標。

將上平臺坐標系與下平臺坐標系統一，通過式（2） 進行變換：

2 并聯機構ADAMS 運動學正解仿真

將上面建立的并聯機構三維模型導入ADAMS中，添加約束，在上平臺的中心點建立驅動，本機構為空間三自由度機構，方向為上平臺分別繞著X軸，Y 軸和Z 軸轉動，所以只需要對三個轉動驅動設置參數（見圖3）。令上平臺的運動規律如式（5） 所示，并聯機構繞X 軸的最大轉動范圍為±20°，繞Y 軸轉動最大范圍為±5°。運行ADAMS，設置仿真時間為24 s，運動步長為0.01，得到并聯機構的運動學正解。

圖3 ADAMS 仿真驅動模塊參數設置

通過仿真，驅動支鏈L1和L2的位移變化可近似看作三角函數，曲線變化平滑（見圖4），并聯機構的最大速度約為30 mm/s，曲線整體平緩，無突出點，便于控制（見圖5）。

圖4 并聯機構ADAMS 仿真所得桿長位移變化曲線

圖5 并聯機構ADAMS 仿真所得桿長速度變化曲線

3 并聯機構控制系統搭建

3-UPS/UR 并聯機構通過對三個驅動支鏈上的移動副運動，可以達到改變上平臺位姿的效果。本機構的移動副采用直線電動推桿結構，采用無刷直流電機（BLDCM） 驅動推桿。直線電動推桿結構包括無刷電機，同步輪，軸承，活塞，導向套及活塞桿等（見圖6）。

圖6 直線電動推桿結構截面圖

直線電動推桿系統通過輸入電壓U，經過無刷電機將其轉化為電機系統的電刷電流I，框圖中的ra為繞組線電阻，La為等效線電感，Kτ為電機系統的轉矩系數，J 為電機系統的轉動慣量，Bv為粘性摩擦系數，Ke為反電勢系數，經過運算得到電機的轉動角速度，并將轉動角速度轉換得到的伸長量為直線電機系統的輸出值X（見圖7）。由此框圖可以寫出其傳遞函數式（6）。本文無刷直流電機型號為EC-4pole-100W，相關參數可見文獻[6]

圖7 直線電動推桿系統框圖

直線電動推桿系統采用雙閉環PID 控制（見圖8）。其中ASR 為系統的速度調節器，ACR 為系統的電流調節器，通過PWM 進行調速。將每次的反饋電流和反饋速度輸入PWM 調速系統中對直線電機系統進行調速，以達到控制要求。其中ASR調節器的PID 參數值分別為10，2，0.2，ACR 調節器的PID 參數值分別為10，0.5，0.01。將轉速圖中的各個數據點輸入雙閉環系統，最后輸出轉速為電動推桿系統中活塞桿的軸向位移速度和轉速誤差（見圖9～圖10）。

圖8 直線電動推桿系統雙閉環PID 控制框圖

圖9 經過PID 轉換后的直線電動推桿系統速度

圖10 轉速跟蹤誤差

可知，經過雙閉環PID 變換后，直線電動推桿系統的輸出速度與輸入值基本一致，誤差在0.3 mm/s 之內，滿足控制要求。

將ADAMS 仿真軟件與SIMULINK 模塊對接，在SIMULINK 模塊中導出ADAMS_sub 模塊，建立聯合仿真框圖（見圖11）。其中，signial 模塊為速度信號輸入模塊，motor1-3 為電機控制模塊，adams_sub 為ADAMS 聯合仿真模塊。

圖11 ADAMS-SIMULINK 聯合仿真框圖

SIMULINK 模塊設置仿真時間為24 s，仿真步長為0.000 1 s，預期結果為并聯機構的上平臺會繞著X 軸以12 s 為周期呈近似正弦運動，Y 軸和Z軸不轉動。最后得到并聯機構上平臺的角度變化（見圖12～13），由于Y、Z 兩軸不轉動且變化量小于0.000 01 mm，所以本文不做討論，只分析并聯機構繞X 軸的轉動情況。

圖12 聯合仿真中上平臺繞X 軸轉動角度曲線

由圖可知，聯合仿真中并聯機構的上平臺繞X軸轉動與預期結果基本一致，周期內誤差均小于0.06°，滿足控制要求。

4 結 語

圖13 聯合仿真中上平臺繞X 轉動角度誤差曲線

本文對3-UPS/UR 并聯機構的運動學部分進行分析，建立并聯機構的桿長方程，通過ADAMS 對并聯機構的運動學正解仿真繪制桿長的運動學曲線，利用SIMULINK 模塊搭建并聯機構的控制系統，以及并聯機構驅動支鏈的傳遞函數模型，通過PID 控制方法對驅動支鏈進行仿真控制，得到轉速和轉速誤差曲線，最后通過聯合仿真得到并聯機構上平臺的轉動規律。通過運動學分析和控制仿真得到并聯機構的運動學特性曲線及控制參數，仿真結果表明并聯機構PID 控制效果較好，所得到的參數為后續控制系統優化提供依據。