4-SPS/UPU 并聯機構運動學分析

朱東升，郭忠峰，趙文增

與六自由度并聯機構相比，少自由度機構包含的元件較少，結構簡單且緊湊，同時具備運動平穩、承載能力大和可控性能好等優點。因此，其發展前景相當好，從事這方面研究的人數也逐年增多[1～2]，如今被廣泛應用在機床、醫療機器人、航天、微型操作等領域[3]。

少自由度并聯機構中包括一種五自由度并聯機構，該機構可分為兩種運動情況，分別為三平移兩轉動和三轉動兩平移。唐衛星等[4]基于拓撲結構理論，全面系統地分析三平移兩轉動構型模型，并借助仿真軟件證明模型的正確性。王勁松等[5]基于零位形兩步法研究4-SPS-RRTR 并聯機構用作實時位置控制的運動學反解，這種機構可應用在推拿機器人方面。王庚祥[6]等研究了五自由度的構型模型，分析了運動學的正反解，得到Jacobian 和Hessian 矩陣。陳修龍等[7]研究了 構型，通過引用平方平均靈巧度系數，對其運動性能進行全方位探討后，得出最優的構型參數。O.Piccin 等[8]提出一個可應用在醫療手術定位方面的并聯機器人模型，并推導出該模型的正逆運動學，以及符合實際的裝配方式。鄭魁敬等[9]研究5 自由度并聯機床運動控制算法，編制系統控制軟件，實現了對機床刀具位置姿態的控制。曹毅等[10]基于螺旋理論研究了3R2T 構型的運動狀況并提出一種解耦方案，并驗證其正確性。

基于以上研究背景，本文對一種五自由度的4-SPS/UPU 并聯機構模型進行研究。

1 4-SPS/UPU 并聯機構結構特點

4-SPS/UPU 并聯機構的構型搭配結構的驅動支鏈由4 個分支SPS 組成，恰約束主動支鏈由UPU組成[11]（見圖1）。4 個驅動分支中每一個都含有1 個移動副與2 個球副，其中各個分支都從上平臺開始，第一運動副、第二運動副和第三運動副依次分別為球面副（S）、移動副（P） 和球面副；約束支鏈依次為萬向鉸（U）、移動副和萬向鉸，其中兩個萬向鉸中心分別處在上、下平臺的原點位置。在定平臺上建立定系和動平臺上建立動系。其中O 點位于下平臺中心，P 點位于上平臺中心，上、下平臺是正方形分布，正方形邊長分別為2a 和2b。與上平臺連接在一起的驅動分支S 副質點為Ai，與下平臺連接的S 副質心坐標為Bi；X 軸和Y 軸分別平行于B2B3與B3B4，Z 軸與下平臺是垂直關系；動系的x 軸和y 軸分別平行于A2A3與A3A4，z 軸與上平臺為垂直關系（見圖1）。

圖1 4-SPS/UPU 并聯機構結構簡圖

2 并聯機構自由度分析計算

筆者采用螺旋理論求解4-SPS/UPU 機構的自由度。

首先對驅動支鏈進行分析，由于四條驅動分支結構相同，只需分析其中的一條支鏈即可得到四條支鏈的特點。下面挑選出一條支鏈進行旋量討論（見圖2）。

圖2 SPS 支鏈旋量圖

四條支鏈運動旋量表示為

由互易積：$ij·$r=0 可知，該線性方程組無解，即$r不存在，進而得知該螺旋系對運動平臺沒有出現任一方面的限制。所以該支鏈分支的自由度為6，也沒有任何公共約束，即d=6。

由以上分析可知，該機構僅限制繞Z 軸方向的轉動，所以該并聯機構自由度為5。即動平臺具有三移動和繞X 軸和Y 軸的兩轉動。

3 4-SPS/UPU 并聯機構運動學分析

3.1 4-SPS/UPU 并聯機構位置分析

圖3 4-SPS/UPU 并聯機構鳥瞰簡圖

位置反解與正解是對立關系，位置反解是已知動平臺的運動參數（x，y，z，α，β） 進而去求驅動桿的桿長范圍；而位置正解是已得到構型基本參數和驅動桿（l1，l2，l3，l4，l5） 的變化范圍，求解動平臺的位姿（x，y，z，α，β）。

3.2 4-SPS/UPU 并聯機構的速度分析

3.3 4-SPS/UPU 并聯機構的加速度分析

借助式（10） 和（11），就能求出4-SPS/UPU 機構的加速度正解及逆解。

4 工作空間分析

并聯機構的工作空間是指機構動平臺末端執行器可運行到的所有工作范圍；工作空間所構成的體積大小作為其性能的一個重要考慮內容，也從某一方面反應該機構的執行能力。

工作空間可劃分為位置和姿態工作空間，對于超過3 自由度的并聯機構，由于借助編程軟件無法將全部參數在坐標系中表示，所以采取降維處理方式使得位姿可視化。

另外，關于工作空間約束除了上面算出的位置方程之外，還包括桿長、運動副角度和干涉約束。

筆者將驅動支鏈li（i=1，2，3，4） 單位向量分別定義為φ1，φ2，φ3，φ4，φ5，向量npi為動平臺運動副基座在動系{p} 的姿態，向量nsi為靜平臺運動副基座在靜系{O} 的姿態。得到并聯機構具體的約束（見圖4）。

圖4 4-SPS/UPU 關節的轉角約束

（1） 桿長限制

由于并聯機構中與上、下平臺連接的各個桿分布比較分散，如果桿不發生干涉就不予考慮。

通過聯立式（10） ～（17） 與位置約束式（7），滿足所有符合約束條件的全部點所組成的體積就是這個機構的工作空間。

機構的結構參數如下：a=0.18 m，b=0.3 m；分別取：limin=0.4 m，limax=0.6，θsmax=35°，θumax=35°。當給定位置α=0°和β=0°時，即可求出工作空間（見圖5）。由圖可知，該位置空間分布規則且沒有空洞，整體呈球柱體形狀，符合該機構的特性。

圖5 4-SPS/UPU 并聯機構工作空間

5 結 語

（1） 采用螺旋理論分析驗證4-SPS/UPU 構型的自由度。通過運動學分析，構建出位置方程，研究4-SPS/UPU 并聯機器人模型的速度和加速度的求解方法，得到了Jacobian 矩陣。

（2） 根據機構的逆運動求解方程及關節約束條件，計算定姿態下機構的工作空間，為其后續動力學、運動控制及應用提供參考。