基于能量法的浮置基礎減振系統解析模型

朱龍基，溫留漢·黑沙，劉彥輝

（1.廣州大學工程抗震研究中心，廣東 廣州 510405；2.廣州大學 廣東省地震工程與應用技術重點實驗室，廣東 廣州 510405；3.廣州大學工程抗震減震與結構安全教育部重點實驗室，廣東 廣州 510405）

引言

浮置基礎減振系統是一種高效的減振技術，常用于大型精密儀器的減振［1-3］。浮置基礎減振系統包含設備基礎與隔振器2部分，其中隔振器由帶有黏滯阻尼器的鋼彈簧［4］或帶有附加氣室的空氣彈簧［5］（以下簡稱空氣彈簧）組成，如圖1所示［6］。與鋼彈簧相比，空氣彈簧擁有更低的剛度［7-8］，能更好地滿足大型精密儀器在低頻微振動工作環境下的減振要求［9］。

圖1 浮置基礎減振系統的結構圖Fig.1 Structural diagram of floating foundation vibration reduction system

在設計浮置基礎減振系統時，需要確定的參數包括浮置基礎的尺寸、形狀、質量以及空氣彈簧的力學性能參數、個數及其布置形式等［10-11］。雖然以有限元方法建立的實體模型比解析模型更準確，但在沒有初始設計的情況下建立有限元模型確定設計參數所耗費的工作量過大，使得這項工作不現實［12］。相對而言，解析模型可以更快的幫助設計人員獲得較好的初始參數，為有限元建模提供依據［13］。解析模型中，這些參數可以通過以空間矩陣的形式建立浮置基礎減振系統的六自由度空間解析模型來確定［14］。

在對隔振系統動力分析的研究中，系統的剛體動力學特性采用平衡方程的矩陣形式［15］。Himelblau和Rubin［16］提出了牛頓-歐拉動態平衡方程，并對正交彈性支承情況下的平面對稱問題進行了研究。Angeles［17］給出了振動系統運動方程的矩陣形式，并通過位置矢量的矩陣形式獲得了平移、轉動、平移-轉動下的靜態剛度矩陣。Iwan［18］采用等效線性系統方法對隔離系統的非線性彈簧隔振器進行線性化。并在研究中使用了不同的平動自由度和轉動自由度，同時選取慣性主軸作為系統的轉動自由度，根據坐標系方向選取系統的平移方向。Ibrahim［19］通過解析模型研究了被動隔振系統因大變形、大剛度和幾何非線性引起的非線性行為。

以上研究并沒有考慮能量在減振系統中轉化所激發的動力學特性，文中基于能量法分析得到浮置基礎減振系統的動能、勢能及阻尼耗散能解析表達式。進一步通過建立運動平衡方程，推導了基于彈性軸向支撐剛體小位移的質量、剛度和阻尼矩陣。在推導質量、剛度和阻尼矩陣的基礎上，給出了動力平衡方程以及實模態和復模態的特征分析方程。最后在SAP2000有限元軟件中建立了電子束曝光機的浮置基礎減振系統的有限元模型，并將解析模型和有限元模型進行了對比分析，討論了模型求解結果的正確性。

1 浮置基礎減振系統的六自由度解析模型

浮置基礎減振系統由剛度較大的鋼筋混凝土“T”型基礎和彈性支撐組成，其中彈性支撐通常用空氣彈簧。該減振系統的第七階為“T”型基礎的變形模態，其頻率遠大于前六階模態頻率，因此可以假設“T”型基礎在減振系統工作時為剛體形態。本節利用能量法建立浮置基礎減振系統的剛體運動方程，以方便確定浮置基礎初始設計參數。計算簡圖如圖2所示，圖中k xi表示第i個空氣彈簧的x向等效剛度，c xi表示第i個空氣彈簧的x向等效阻尼，其他符號類似。首先，通過分析得到剛體的動能T，彈簧勢能V和阻尼耗散能Q。然后，假設qk為廣義坐標，并將各個能量表達式代入Lagrange運動方程，以矩陣形式表達的系統運動方程。

圖2 浮置基礎的六自由度解析模型計算簡圖Fig.2 Calculation diagram of analytical model of 6-DOF floating foundation

1.1 系統能量

系統動能：

式中：m表示浮置基礎質量；Ix、Iy和Iz表示浮置基礎繞x、y和z軸的轉動慣量；?、?和?表示浮置基礎沿x、y和z軸向運動速度?、和?表示浮置基礎繞x、y和z軸轉動角速度。

第i個彈簧的位移：

系統彈性變形勢能：

式中：xΔi、yΔi和zΔi表示第i個空氣彈簧x、y和z方向的位移；x0、y0和z0表示浮置基礎剛心坐標值；θx、θy和θz表示浮置基礎繞x、y和z軸轉動角度；nb表示隔振器數量。

系統阻尼耗散能：

將以上系統能量式（1）～式（6）代入以qk為廣義坐標的Lagrange運動方程：

得到各方向運動平衡方程。

1.2 減振系統的質量矩陣，剛度矩陣、阻尼矩陣和力向量

基于各方向運動平衡方程可以得到減振系統的質量矩陣，剛度矩陣、阻尼矩陣和力向量。

質量矩陣：

剛度矩陣：

阻尼矩陣：

j時刻的力向量：

式中，a x j、a yj和a zj分別表示第j時刻x、y和z方向的浮置基礎加速度。

2 特征頻率分析

2.1 實模態分析

在工程結構的模態分析中，通常僅由剛度矩陣和質量矩陣構成無阻尼的自由振動的動力方程，由此得到的控制方程為：

采用分離變量法，令u=Qe-iωt，則自由振動特征分析方程為：

式中，QT=[U x,U y,U z,Θx,Θy,Θz,]為模態位移矢量；ω為特征頻率。這是減振系統的特征分析方程，對該方程進行求解得到減振系統的6個特征頻率。如果質量和剛度均為對稱分布時，質量和剛度矩陣變為對稱和對角分布，從而得到了6個獨立的特征分析方程。

2.2 復模態分析

在實際工程中，浮置基礎減振系統為非經典阻尼體系，其阻尼不滿足正交條件。因此，文中利用狀態空間的方法描述該體系的振動問題［20］，以此進行復模態分析。

式中：I為N維單位向量。為了把系統方程轉化為一般特征值問題，引入下面的輔助方程：

則對應式（17）的特征問題為：

由此可得到復特征向量值矩陣為：

3 浮置基礎減振系統分析案例

本節以量子芯片實驗室中的電子束曝光機的浮置基礎減振系統設計案例為例，對比分析其六自由度解析模型及有限元模型的模態計算結果。該系統的工作環境要求在1.6～16 Hz頻域內振動的有效速度小于0.8μm/s，16 Hz及以上頻域的有效振動速度小于1 μm/s。所以，減振系統的固有頻率需低于該頻率值才有減振效果。為了使質心低于空氣彈簧平動面以下，以及縮小質心和剛心的距離，將設備基礎設計為“T”型截面的鋼筋混凝土浮置基礎。圖3為浮置基礎減振系統的示意圖，其長11 m，高3 m，質量為293 t。為了減小浮置基礎前六階模態的耦合作用，支撐浮置基礎的12個空氣彈簧沿著浮置基礎長度方向對稱布置在兩側的翼緣。

圖3 大型精密儀器的浮置基礎減振系統Fig.3 Floating foundation vibration reduction system for large precision instrument

3.1 空氣彈簧選型

本案例選用的帶附加氣室空氣彈簧物理參數如表1所示。

表1 空氣彈簧物理參數Table 1 Physical parameters of air spring

文獻［21］中給出空氣彈簧剛度和阻尼的計算公式：

式中：A為主氣室在平衡位置處的有效面積；Az為有效面積變化率由dA/dz計算得到；Av為主氣室體積變化率；VA為主氣室體積；VB為附加氣室體積；P0為初始氣壓；Pat為大氣壓；ρ0初始氣體密度；Rβ為阻尼系數；κ為多變指數，λ=V B/(V A+V B)。

由式（20）～式（22）計算空氣彈簧的豎向和水平剛度以及阻尼值如表2所示。

表2 空氣彈簧剛度及阻尼Table 2 Stiffness and damping of air spring

3.2 六自由度特征頻率分析

由式（8）、式（10）和式（11）形成質量、剛度以及阻尼矩陣：

根據式（14）和式（19），計算模態頻率如表3所示。

表3 解析模型計算模態及頻率Table 3 Modes and frequencies calculated by analytical models

3.3 有限元模型分析

為了驗證文中提出的數值解析模型的準確性，本節利用SAP2000有限元分析軟件，對同一浮置基礎減振系統建模分析。有限元模型中的隔振單元采用線性彈簧單元，并輸入空氣彈簧的等效剛度和等效阻尼比。有限元模型如圖4所示，有限元模型參數如表4所示，計算頻率如表5所示。

圖4 浮置基礎減振系統有限元模型Fig.4 Finite element model of floating foundation vibration reduction systems

表4 浮置基礎減振系統有限元模型參數Table 4 Finite element model parameters of floating foundation vibration reduction system

表5 SAP2000計算浮置基礎模態頻率Table 5 Modal frequency of floating foundation calculated by SAP2000

對比有限元模型和分析計算所得模態及其頻率如表6所示。

表6 SAP2000與解析模型計算模態對比Table 6 Comparison of calculated modes between SAP2000 and analytical model

由表3及表6可以看出，從解析模型計算所得到的浮置基礎振動模態和由SAP2000計算得到的振動模態一致，均由沿3個軸的剛體平動模態和繞3個軸的剛體轉動模態組成。SAP2000計算的前六階模態沒有出現浮置基礎變形，進一步說明解析模型的六自由度剛體小變形力學的假設是合理的。由表6可以看出，SAP2000與實模態解析模型計算的模態頻率相差最小為1%，出現在繞z軸轉動和沿z軸平移的第3和第4階模態，差值最大為5%出現在沿y軸平動和繞x軸轉動的第五和第六階模態。SAP2000與復模態解析模型計算的模態頻率相差最小為1%，出現在繞y軸轉動、沿x軸平動以及繞z軸轉動模態，相差最大6%為沿y軸平動和繞x軸轉動模態。由于SAP2000分析模態時采用的是實模態方法，因此解析模型的實模態計算結果比復模態計算結果更接近SAP2000計算結果。

4 結論

文中基于能量法并結合六自由度剛體小變形力學，通過Lagrange運動方程建立了由彈性構件支撐的浮置基礎減振系統動力學解析模型，并推導了系統的質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣。以一個大型精密儀器的浮置基礎減振系統案例，對比分析了其六自由度解析模型及有限元模型的模態計算結果。得到以下結論：

（1）采用文中提出的解析模型和SAP2000有限元模型計算的模態一致，模態頻率相對誤差在6%以內，驗證了文中提出的解析模型的可靠性。

（2）解析模型的實模態計算浮置基礎模態頻率相對有限元方法計算最大誤差為5%，復模態計算的浮置基礎模態頻率相對誤差最大為6%，實模態計算結果更接近有限元方法計算的結果。

（3）文中得到的解析模型可以更快的獲得較好的初始參數，為浮置基礎減振系統的優化設計提供依據。

附錄：

各方向運動平衡方程

x方向：

y方向：

z方向：

θx方向：

θy方向：

θz方向：