內凹六邊形蜂窩力學性能研究

曾毅翀 曹中豪

（南昌航空大學 航空制造工程學院，江西 南昌 330063）

蜂窩是典型的多孔材料，具有平面內的二維單元陣列和平面外的平行堆疊，具有周期性拓撲分布的特征。蜂窩結構比其基體材料具有更高的孔隙率和更低的質量密度，因此具有很高的比吸能、比剛度、比強度等特性。重復單胞的拓撲結構可以顯著影響這些超輕材料的機械性能。因此，可以通過合理設計單胞結構使蜂窩具有前所未有的特性，如負泊松比、壓縮扭轉和負剛度等。這些違反直覺的性能都源于它們的微觀結構特征，而不是它們的基體材料。由于其在斷裂韌性、抗沖擊性、散熱、減振和降噪等方面的優異性能，蜂窩材料已廣泛應用于建筑、汽車、船舶、航空航天、軌道交通、電子通信、生物醫療等領域[1]。

過去的幾十年，針對蜂窩材料在拉伸、壓縮、剪切和疲勞載荷作用下的基本力學響應已經開展了大量的研究，蜂窩結構的力學響應可分為彈性和塑性響應、靜態和動態響應、面內和面外響應等。其中，負泊松比蜂窩結構是研究的熱點。與傳統的六邊形蜂窩相比，內凹六邊形蜂窩的優勢在于增強了許多物理性能，例如能量吸收能力、面內斷裂韌性以及在面外下形成向合曲率的能力[2]。

本文主要通過有限元數值仿真分析不同參數對內凹六邊形蜂窩力學性能的影響，以獲得優異的力學性能。

1 理論分析

根據Evans[3]和Masters[4]等人研究提出的六邊形蜂窩結構平面內特性的解析表達式。在大多數情況下，這些表達式是基于將蜂窩胞壁符合歐拉—伯努利梁理論。

設想蜂窩在平面中加載時通過蜂窩胞壁的彎曲和拉伸以及通過在蜂窩胞壁連接處鉸接而變形。因此需要考慮彎曲、拉伸、鉸接三種機制結合在一起，Masters[4]等人提出了三個有關的常數Kf（彎曲常數），Ks（拉伸常數），Kh（鉸接常數）。假設圖1 中橫斜胞壁長度分別為l 和h、厚度t 和深度b 的蜂窩的常規參數，而且組成蜂窩材料的彈性常數是已知的，包括泊松比vs、楊氏模量Es、剪切模量Gs。

圖1 常規六邊形蜂窩（a）和內凹六邊形蜂窩（b）

通過圖2、圖3 來展示不同的參數（h/l、θ）對于蜂窩的泊松比（vxy、vyx）和彈性模量（Ex、Ey）的影響，進而通過調整參數可以達到改善蜂窩的性能。

在 圖 2 中 已 知 定 值 b=4mm、t=2mm、s=0.3、Es=210GPa，變量h?（2，60）,l?（2，50）,取四個不同的角度θ（-30°、-20°、20°、30°），研究蜂窩的泊松比（vxy、vyx）和彈性模量（Ex、Ey）關于h/l 的函數關系。

由圖2 可知，蜂窩的泊松比隨h/l 的增加而增加，當h/l 相同時，角度θ 的絕對值越大，泊松比也越大；蜂窩的彈性模量隨h/l 的增加而減小，h/l 越大，彈性模量越趨近于0，h/l 越接近于1，彈性模量越大。

圖2 蜂窩的泊松比和彈性模量關于h/l 的分布曲線

在圖3 中已知定值b=4mm、h=30mm、t=2mm、s=0.3、Es=210GPa，變量θ?（-60°，60°）, 取三個不同的l（10、20、30），研究蜂窩的泊松比（vxy、vyx）和彈性模量（Ex、Ey）關于θ 的函數關系。

圖3 蜂窩的泊松比和彈性模量關于θ 的分布曲線

由圖3 可知，蜂窩的泊松比vxy和彈性模量Ex都隨θ 絕對值的增加而增加；泊松比vyx隨θ 的增加而先增加后減小，趨近于0；彈性模量Ey關于θ=0°類似于正態分布，角度越接近0°，彈性模量越大。

A陰性空白對照——25 μl去離子水+25 μl底物（37 ℃孵育 10 min）+50 μl去離子水（37 ℃下孵育60 min）+100 μl醋酸-醋酸鈉緩沖溶液。

2 模型仿真與分析

根據上面的理論分析，可以選取合適的蜂窩幾何參數進行參數化建模、有限元分析，進而完成蜂窩結構力學性能分析。

2.1 幾何參數對單胞結構的影響

2.1.1 長度h 對單胞結構的影響

以長度h 為變量，其余幾何參數為不變量，研究長度h 對單胞結構力學性能的影響。

b=6mm,t=3mm,l=10mm,θ=60°,h=20,30,40,50mm。

由圖4 圖5 可知，隨著h 增加，泊松比vxy的絕對值增加，彈性模量Ex增加，泊松比vyx的絕對值減少，彈性模量Ey減少。在合理誤差范圍內，理論值和仿真值趨于吻合。

圖4 泊松比隨h 的變化圖

圖5 彈性模量隨h 的變化圖

2.1.2 長度l 對單胞結構的影響

以長度l 為變量，其余幾何參數為不變量，研究長度l 對單胞結構力學性能的影響。b=6mm,t=3mm,h=50mm,θ=60°,l=10,20,30, 40mm。

圖6 泊松比隨l 的變化圖

圖7 彈性模量隨l 的變化圖

2.1.3 角度θ 對單胞結構的影響

以角度θ 為變量，其余幾何參數為不變量，研究角度θ 對單胞結構力學性能的影響。

b=6mm,t=3mm,h=50mm,l=20mm,θ=50°,60°,70°,80°。

由圖8 圖9 可知，隨著θ 增加，泊松比vxy的絕對值減少，彈性模量Ex減少，泊松比vyx的絕對值增加，彈性模量Ey增加。在合理誤差范圍內，理論值和仿真值趨于吻合。

圖8 泊松比隨的變化圖

圖9 彈性模量隨的變化

2.2 蜂窩結構的有限元分析

為了有限元仿真結果可以與實驗結果對比，故采用ZIED K[5]等人所提供的尺寸參數，b=8mm、t=2.86mm、h=42mm、l=42mm、θ=67°、vs=0.3、Es=210GPa。

在有限元軟件ANSYS APDL 中建立參數化模型，采用梁單元Beam188,并進行靜力學仿真，提取結構的位移變化量，并計算出泊松比和彈性模量。仿真效果見圖10，其力學性能結果見表1 所示。

圖10 仿真變形效果圖

表1 內凹六邊形蜂窩力學性能結果

由表1 可知，本論文的有限元分析結果比論文[5]中的實驗結果略高一些，在合理誤差范圍內比較吻合，驗證了理論公式的正確性。產生誤差的原因是有限元分析時，采用的梁單元在蜂窩的橫胞壁和斜胞壁交接處有重合現象，導致結果偏大，此外，在有限元后處理中的取值存在一定的誤差，也會導致結果偏大。

3 結論

通過理論值和有限元仿真值得對比分析，可以看出X 方向的等效彈性模量Ex受長度h、l 的影響較大，Y 方向的等效彈性模量Ey受長度h、角度θ 的影響較大，泊松比受這三種的幾何參數的影響都較大。這些規律可為負泊松比超材料設計提供一定的參考依據。