分數階MAC 系統同步及其在保密通信中的應用

李賢麗，溫玉玉，朱金元，湯俊杰

（東北石油大學物理與電子工程學院，黑龍江大慶 163318）

近幾年來，隨著分數階系統表現出豐富的動力學性質，混沌理論的研究及應用在很多領域都引起了極大的關注。研究者發現了很多分數階混沌系統，如Duffing振子[1-2]、chua系統[3-5]、Liu 系統等[6-7]。為了豐富和發展分數階混沌研究，也基于混沌在現實中的應用，關于系統的同步控制以及在保密通信中的研究等逐步引起了大家的關注。

十九世紀末，Pecora 與Carroll 首次實現了混沌系統的同步，從此研究者們開始對混沌同步展開了深入的探索，并且出現了很多同步方式和同步方法，如完全同步[8-9]、滑膜同步[10-11]、自適應同步[12]、主從同步[13-14]、投影同步[15-16]等。這些方法與方式適用于整數階混沌系統的同時，對分數階系統仍然適用，且生活中大多實際模型都是分數階系統，因此，對分數階系統作進一步的研究是有必要的。

文中對分數階MAC 系統的混沌同步進行了探索和研究，并且將其應用在通信數據的保密傳輸中?；诶钛牌罩Z夫直接法對系統進行了混沌同步，實現了系統的同步控制[17]，基于線性系統穩定性定理[18]，成功實現了信號的加密與解密。

1 分數階MAC混沌系統

L.O.Chua 等提出了雙渦卷MAC 系統，該系統的分數階狀態方程如下:

式中，x、y、z、w是系統的狀態變量，q為系統分數階導數的階數，g(y-x)=m1(y-x)+0.5(m0-m1)[|y-x+x1|- |y-x-x1|]為3 個分段線性奇函數，α=2、β=20、γ=1.5、m0=-0.2、m1=3，x1是轉折點，可為任意值，選取x1=0.5，在該取值下，利用預估-校正算法計算出分數階MAC 系統隨分數階導數的階數q變化的分岔圖，如圖1 所示。

圖1 系統隨階數q 變化的分岔圖

從圖1 可以得出當階數q∈[0.93,1)時，系統處于混沌狀態。

圖2 為階數q取0.95 時的混沌吸引子。

圖2 階數q=0.95時的混沌吸引子

2 分數階系統的混沌同步

2.1 同步控制原理

若兩個n維分數階系統如下：

其中，x=(x1,x2,…,xn)∈Rn,y=(y1,y2,…,yn)∈Rn，u為系統同步設計的控制器。式（2）為驅動系統，式（3）為響應系統。定義誤差為：

要使驅動系統和響應系統達到同步，則需設計合適的控制器，使x(0)和y(0)在任意初始狀態都滿足下列條件，即：

其中，‖ ‖· 為Rn中的范數，則系統的同步研究就轉化為對系統誤差的分析。該文采用李雅普諾夫直接法構造出一個能量函數V，通過計算V對時間的全導數來判斷系統是否達到穩定狀態。選擇李雅普諾夫函數，計算該函數對時間的全導，若對誤差方程的解為負定的，則誤差系統在原點漸進穩定，即=0,i=1,2,…,n。故需選擇合適的控制器u使對誤差函數的解負定，從而使兩系統達到同步。

2.2 控制器的選擇

取式（1）作為驅動系統，響應系統如下：

2.3 同步數值仿真

利用預估-校正算法，對誤差系統進行Matlab數值仿真，設定驅動系統（1）的初始值為x(0)=0.2、y(0)=0.2、z(0)=0.2、w(0)=0.1，響應系統（6）的初始值為X(0)=5、Y(0)=6、Z(0)=4、W(0)=6，階數q=0.95。經過Matlab 軟件仿真，同步誤差曲線如圖3 所示。

圖3 系統（1）與（6）的同步誤差曲線

由圖可以看出，兩系統的同步誤差隨時間t的變化逐漸趨于零，且在同步過程中非常平滑，沒有反復震蕩的現象，表明驅動響應系統趨于同步狀態。

3 系統同步在保密通信中的應用

3.1 基于線性系統穩定性的混沌遮掩方案

考慮如下混沌系統：

再次構造一個新的系統作為響應系統：

其中，y=(y1,y2,…,yn)∈Rn，定義兩系統的同步誤差為e(t)=x(t)-y(t)，其解如下：

從式（13）可以得出，當矩陣A具有實部為負的特征值時，兩系統即可達到完全同步。

基于上述同步方法對消息信號進行混沌掩蓋，將要傳輸的消息信號i(t) 直接加到h(x(t))中的某一項，得到混沌信號與消息信號的疊加信號s(t)，混沌信號與數據信號經過混合傳輸到接收端。此時，輸出端輸出的信號即為同步后的混合信號h(y(t))，由于混沌系統已達到同步，所以在輸出信號減去原混沌信號即可恢復出數據信號。

接收端的混沌響應系統如下：

利用接收端的混沌信號減去h(x(t))，得到解密后的消息信號為：

根據上述分析，該方法能夠實現信號的加密和解密，也就實現了利用混沌信號對消息信號進行保密的目的。

3.2 數值仿真

將分數階MAC 系統寫成如下形式：

可以得到，當矩陣A具有實部為負的特征值時，兩系統即可達到完全同步，從而能夠成功恢復出消息信號。在數值仿真中，選取系統（17）和（18）的初始值為（0.2,0,0.1,0.1）和（1,2,1,3），圖4(a)為需要加密的消息信號，圖4(b)為消息信號與混沌信號疊加的掩蓋信號，圖4(c)為接收端恢復出來的消息信號，圖4(d)計算出了該信號與原始信號的誤差曲線圖，從圖中可以看出，在很短時間內，消息信號能夠成功恢復出來。

圖4 消息信號的加密與解密波形圖

4 結論

該文對分數階MAC 混沌系統進行了數值分析與計算，用Matlab 軟件仿真出了系統隨階數變化的分岔圖，從圖中可以得出系統在各個階數范圍下的運動狀態。用李雅普諾夫直接法實現了系統的同步控制[19-20]，從仿真出的誤差結果可以看出，驅動響應系統誤差值隨時間的變化趨于零，表明系統已達到同步。最后，通過同步控制實現了保密通信，經過數值仿真得到了數據信號的波形圖，并且繪制出原數據信號和恢復信號的誤差圖，經過短暫同步時間后，誤差逐漸趨于零，成功實現了信號的加密與解密。