基于殘余應力模擬的高速鐵路路基動力安定分析算法

畢宗琦 葉陽升 蔡德鉤 安再展

1.北京鐵科特種工程技術有限公司，北京 100081；2.中國鐵道科學研究院集團有限公司鐵道建筑研究所，北京 100081；3.中國鐵道科學研究院集團有限公司高速鐵路軌道技術國家重點實驗室，北京 100081

建立科學有效的路基結構耐久性評估方法，是實現(xiàn)高速鐵路路基高精度變形控制和長久服役須攻克的基礎性理論難題。考慮到試驗數(shù)據(jù)量巨大、計算的累積誤差以及參數(shù)獲取困難，傳統(tǒng)方法很難直接評估預測路基長時間尺度下的耐久穩(wěn)定狀態(tài)。

作為一種有別于常規(guī)彈塑性增量分析的臨界狀態(tài)方法，安定理論方法為預測結構的安全性、評估其長期變形趨勢和穩(wěn)定性提供了有效的分析途徑。安定理論相關定理和算法最早是由Melan等［1］提出，并由Maier、Ceradini、Polizzotto等［2-4］進一步發(fā)展。與傳統(tǒng)方法相比，安定性分析不需要精確的荷載歷史和時間歷程，只需要對外部荷載的邊界包絡進行確定。因此，可以有效地確定承受大量荷載循環(huán)的給定路基結構是否會產生塑性應變的逐漸累積和最終失穩(wěn)破壞，從而給出高速鐵路路基長期服役耐久性的合理判斷。近年來，安定理論在巖土工程中的應用越來越廣泛，如路面車轍變形［5］、海洋平臺地基承載能力［6］、邊坡穩(wěn)定性［7］以及無砟軌道結構［8］的相關評估和分析。目前安定荷載已逐漸成為近代工程強度設計規(guī)范中塑性失效準則的重要理論判斷依據(jù)，為臨界動應力的選取、結構安全性評估等提供了有力的分析工具。

在安定分析算法方面，國內外學者分別針對其研究的應用場景和假定條件，給出了相應的分析格式與求解流程。Yu等［9］提出了三維移動交通荷載下黏性摩擦材料安定性的嚴格下限解，并通過優(yōu)化程序計算下限安定極限。Qian、Dai等［10-11］通過計算車輪和路面之間滾動和滑動接觸引起的彈性應力響應，擴展了柔性路面的安定性分析。Alves等［12］針對板式無砟軌道相關的土體安定分析提供了一種基于2.5D數(shù)值模型的方法，分析了列車速度與安定極限載荷的關系。Connolly等［13］通過使用混合模型研究了高速鐵路的動力學和安定問題，給出了彈性安定極限用于確定導致軌道破壞的最小荷載。Connolly等［14］將下限安定理論與基于強度的模擬方法相結合，實現(xiàn)了彈性應力生成和安定計算之間的解耦。

在列車反復荷載作用下的路基安定分析中，動力效應的影響對應力應變響應和累積滯回耗能起著重要作用，因此分析中應適當考慮振動頻率和阻尼特性的影響。然而，目前大多數(shù)安定分析算法都使用了假設準靜態(tài)載荷條件，動力安定分析算法的相關研究與應用還有待進一步完善。本文基于動力安定分析理論框架，提出一種基于殘余應力模擬的動力安定分析算法，并通過典型多層鐵路路基數(shù)值算例驗證該方法的有效性，為路基結構的耐久性評估以及維修養(yǎng)護提供理論支撐。

1 基本格式

根據(jù)動力安定定理［15］，結構安定的充要條件是，對于所有初值條件∈ΩI泛函空間和動力作用∈ΩL泛函空間作用下的虛擬彈性動力響應，可以找到一個與時間無關的殘余應力分布和時間t*，使結構內部各處均不違反屈服條件，則真實結構將安定于該殘余應力狀態(tài)。具體而言，在獲取結構在特定初始條件和外載荷下產生的彈性動力響應后，需在時域內搜索獲取任何有可能使結構達到臨界安定的應力狀態(tài)進行安定性檢驗。據(jù)此給出以下動力安定分析格式

式中：λsd為安定荷載乘子；λ為荷載乘子為結構內的應力關于位置坐標求偏導；nj為方向余弦。

該問題最終歸結為一個最優(yōu)化求解的數(shù)學規(guī)劃格式，式中s.t.表示約束條件。其目標函數(shù)為荷載乘子λ，對應于結構所受外荷載的大小。求解時從數(shù)學規(guī)劃問題的可行域內部開始搜索最優(yōu)值。通過構建自平衡殘余應力場，對應于載荷域ΩL的相關彈性域ΩE隨著載荷的增加而擴展。最終，當λ達到最大值、即安定荷載乘子λsd時，可以確定安定荷載域的極限，并完成動力安定分析。

2 算法構建

2.1 殘余應力場的模擬

動力安定分析求解的核心是尋找一個與時間無關的自平衡殘余應力場采用應力模擬法，通過構造虛設的自平衡溫度參數(shù)應力場對高速鐵路路基結構的殘余應力場進行模擬［16］。以此為基礎，構造以節(jié)點溫度T為變量的殘余應力場

設物體的熱膨脹系數(shù)為α，由溫度載荷作用產生的熱應變?yōu)棣?=αT。對于物體中存在初應變的情況下，引入彈性矩陣D，并利用幾何矩陣B及結構位移矩陣U表示應變ε=BU，應力應變關系表示為

結構應變能表示為

式中：K為剛度矩陣，K=BDB；R為常數(shù)項，R=為溫度應變引起的載荷項，Q=

根據(jù)最小勢能原理，對式（3）進行變分，并引入應力矩陣S、關系矩陣G和H，可得以節(jié)點溫度T為自變量表示的溫度參數(shù)殘余應力場為

將式（4）代入式（1）可得

2.2 屈服條件的線性化處理

在動力安定分析格式中，將非線性屈服函數(shù)f進行線性化處理，從而將大規(guī)模非線性規(guī)劃問題轉化為線性規(guī)劃問題，降低問題求解難度。采用包含土體摩擦強度參數(shù)的Mohr-Coulomb屈服準則進行模型的安定性判別。在2τxy-（σx-σy）應力空間坐標系中將一點的屈服條件轉化為l個線性方程，屈服條件不等式表示為

式中：σx、σy、τxy分別為x、y方向的正應力以及剪應力；Ak、Bk、Ck、Dk為系數(shù)，Ak=cos（2πk/l）+sinφcos（π/l），Bk=sinφcos（π/l）-cos（2πk/l），Ck=2sin（2πk/l），Dk=2ccosφcos（π/l）。

令

式中：N為線性化矩陣，由各線性屈服面的外法線向量組成；r為線性化后各屈服面至坐標原點的距離。

屈服條件轉化為

代入（5），并考慮與變載對應的彈性應力σde（t）、與恒載對應的彈性應力σse，得

2.3 變量數(shù)目的控制

變量數(shù)目對求解的效率有關鍵性影響。對于利用大量節(jié)點參數(shù)描述殘余應力的場變量，適當減少優(yōu)化變量的個數(shù)、縮減規(guī)劃問題的規(guī)模將有效提升計算速度。本算法考慮在模型中利用非均勻有理B樣條插值手段，合理選取若干控制點賦予其新的變量，表征整個模型的殘余應力場，從而減少變量數(shù)目，提高算法的運行效率。具體實施步驟如下：

1）給定n×r維控制點Pi，j，Pi，j定義在笛卡爾坐標系中，并給出對應于Pi，j的二維權系數(shù)wi，j。

2）給定在兩個維度各自的插值次數(shù)p和q，依據(jù)定義，控制點Pi，j在兩個維度的向量長度分別為n+1和r+1，按歸一化B樣條插值基函數(shù)的性質可知兩個維度上節(jié)點向量最大編號分別為m1=n+p+1和m2=r+q+1，節(jié)點向量長度分別為m1+1和m2+1。

3）根據(jù)兩個維度給出節(jié)點向量U=｛α，…，α，up+1，…，um1-p-1，β，…，β｝、V=｛α，…，α，vq+1，…，vm2-q-1，β，…，β｝，其中α和β的重復度分別為p+1和q+1。

4）給出NURBS有理多分式矢函數(shù)S(u，v)=其中u、v為坐標系中兩個方向的參變量，Ni，p（u）、Nj，q（v）分別為u、v方向上的歸一化B樣條插值基函數(shù)。插值基函數(shù)通常可利用Cox-de Boor遞歸公式獲取。

5）在矢函數(shù)S（u，v）的基礎上，構建坐標參數(shù)與擬合目標參數(shù)的關系。每個控制點Pi，j對應一個變量Ti，j，分量形式表示為P（x，y，T）=（Px，Py，PT），相應的矢函數(shù)S（u，v）=［Sx（u，v），Sy（u，v），ST（u，v）］。生成擬合場后，利用反距離加權IDW法獲取模型網(wǎng)格節(jié)點的具體變量值。

3 求解流程

求解時，首先利用動力響應分析模塊，分別求出外荷載各基準荷載分量P（x，t）作用下的彈性動應力場σ*（x，t）；隨后在模型空間內部設置控制點，其節(jié)點溫度參數(shù)變化Tc作為自變量，生成整個模型區(qū)域的自平衡殘余應力場σt（x）；將路基結構各點位動力、殘余應力場疊加后，根據(jù)屈服函數(shù)設置約束條件，構建最優(yōu)化問題分析格式并迭代求解，最終獲取安定荷載乘子的最大值λsd，完成高速鐵路路基結構安定分析。

圖1 動力安定分析算法求解流程

4 算例應用

鐵路路基動力安定分析的數(shù)值模型是根據(jù)文獻［17］的試驗斷面建立，如圖2所示。路基總高度為6.86 m。模型中的構件主要采用4節(jié)點平面應變單元離散化，如圖3所示，同時給出了基于NURBS的殘余應力場的控制點的分布。圖4給出了在迭代中不斷更新對的殘余應力場插值曲面，其形態(tài)由各節(jié)點的參數(shù)變量和材料性質決定，反映了自重和外部列車荷載加卸載后土體中殘余應力的可能分布形式。

圖2 一高速鐵路路基結構斷面（單位：m）

圖3 高鐵路基結構模型與控制點設置

圖4 殘余應力場模擬插值曲面

安定分析中模型材料參數(shù)見表1，其中Ed為動彈性模量；ρ為密度；μ為泊松比；ξ為阻尼比；c為材料的黏聚力；φ為材料內摩擦角。假設路基本體為各向同性、均質材料。混凝土板視為線彈性材料。

表1 高速鐵路路基安定分析模型材料參數(shù)

動力分析得到的路基動應力衰減變化曲線以及現(xiàn)場試驗得到的實測數(shù)據(jù)見圖5。可知，模型中的動應力衰減與試驗結果吻合較好，驗證了模型得到的動態(tài)響應基本規(guī)律的可靠性。

圖5 動力響應分析結果

通過本文給出的算法流程，路基結構的安定極限可通過計算無量綱參數(shù)λsd獲得。動力安定分析迭代收斂曲線見圖6。可知，經(jīng)過迭代分析，獲取了最優(yōu)值λsd=1.47。根據(jù)現(xiàn)場試驗的測量值，結構表面所受列車荷載實測值P0約為92 kPa，將其視為基準荷載參考值，其與λsd的乘積表示外部荷載在參考值的不同倍數(shù)下的振幅。當λ=λsd時，外載荷幅值Psd=λsdP0=135.24 kPa，即為算法獲取的路基的安定閾值。

圖6 動力安定分析迭代收斂曲線

安定閾值與路基結構的變形累積發(fā)展趨勢有密切的關聯(lián)。根據(jù)λsd的預測值選擇一系列荷載乘數(shù)λ1，施加振幅P1=λP0執(zhí)行荷載循環(huán)，提取等效塑性應變的發(fā)展，對不同外荷載循環(huán)下的高速鐵路路基塑性應變發(fā)展情況進行研究，見圖7。可知：根據(jù)等效塑性應變隨時間的不同發(fā)展趨勢，主要分安定和連續(xù)累積兩組。載荷振幅低于安定閾值時（P1=92、120、130 kPa），等效塑性應變的值在初始階段后不再增加，材料的應變-應力行為最終趨于線性響應，這意味著模型達到安定狀態(tài)。相反，當荷載超過安定閾值時（P1=133、135、140、150 kPa），等效塑性應變在每個循環(huán)中繼續(xù)累積。因此，將外荷載作用下的路基動力響應控制在安定閾值內，是控制路基結構不發(fā)生無限制變形累積，維持耐久穩(wěn)定狀態(tài)的重要前提。

圖7 路基結構塑性區(qū)等效塑性應變發(fā)展趨勢及安定狀態(tài)判別

5 結語

本文提出了一種基于殘余應力模擬的高速鐵路路基動力安定分析算法和數(shù)值求解程序，用于研究鐵路路基的安定極限。通過在結構中使用控制點并結合NURBS插值，構建了與時間無關的自平衡殘余應力場和相應的算法格式。通過應力模擬、屈服面線性化處理以及變量數(shù)目優(yōu)化，實現(xiàn)了算法求解效率的提升。

高速鐵路路基的動力安定極限無量綱參數(shù)λsd=1.47，與現(xiàn)場試驗荷載基準值92 kPa對應的安定閾值為135.24 kPa。等效塑性應變的發(fā)展曲線給出了路基是否能夠達到穩(wěn)定狀態(tài)或變形持續(xù)累積狀態(tài)的分類標準，給出了安定和連續(xù)累積兩大類累積趨勢。

本文方法可以進一步擴展到考慮材料硬化的影響、使用不同的應力-應變屈服函數(shù)，或更復雜精細的路基結構形式。