基于圖像處理方法的大變形測(cè)量系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)分析

王 昊，劉占芳

(重慶大學(xué)航空航天學(xué)院，重慶 400044)

0 引 言

大變形是一種常見(jiàn)現(xiàn)象，其復(fù)雜性使得人們無(wú)法應(yīng)用以往測(cè)量小變形的方法對(duì)大變形應(yīng)變場(chǎng)進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量。近年來(lái)，隨著越來(lái)越多的測(cè)量手段得到發(fā)展，利用非接觸式測(cè)量方法，在大變形情況下應(yīng)變的測(cè)量已不是問(wèn)題，其中基于數(shù)字圖像相關(guān)(DIC)的測(cè)量方法因其成本低，操作方便，測(cè)量精度高，可以測(cè)量全場(chǎng)位移等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛關(guān)注及大量使用[1]，其原理是通過(guò)對(duì)變形前后狀態(tài)跟蹤拍攝并進(jìn)行相關(guān)計(jì)算來(lái)獲得全場(chǎng)應(yīng)變。然而由于小變形理論的局限性，現(xiàn)有的DIC方法通常并未對(duì)變形中的轉(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)行描述[2-4]，根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，變形體內(nèi)一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)包括平動(dòng)變形和旋轉(zhuǎn)變形，而一方面應(yīng)變張量?jī)H僅描述了平動(dòng)變形，另一方面旋轉(zhuǎn)矢量本身還不足以描述變形體內(nèi)一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變形程度，為此需要引入曲率張量[5-6]。為描述大變形中的轉(zhuǎn)動(dòng)，本文受DIC方法的啟發(fā)開(kāi)發(fā)了一套大變形測(cè)量裝置，并使用橡膠材料進(jìn)行了平面拉伸實(shí)驗(yàn)，使用該系統(tǒng)測(cè)量橡膠材料，可以得到相應(yīng)的變形數(shù)據(jù)，最終將這組數(shù)據(jù)應(yīng)用到大變形分析中。

1 大變形描述

1.1 變形梯度及其分解

有限變形分析中的一個(gè)關(guān)鍵量是變形梯度F，它是描述變形和應(yīng)變的中心[7]，其張量表達(dá)的分量形式為：

FkK=xk,K

根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論可知，對(duì)于有限變形，變形梯度可進(jìn)一步分解成純變形部分和純旋轉(zhuǎn)部分。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，任一非奇異的張量F通過(guò)極分解可表示為正交張量R與對(duì)稱正定張量U的乘積，或是對(duì)稱正定張量V與正交張量R的乘積，分解的結(jié)果寫(xiě)成張量的分量形式如下：

FkK=RkMUMK=VkmRmK

其中第一個(gè)公式在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中表示先作純變形后作純轉(zhuǎn)動(dòng)，第二個(gè)公式則反之；U與V的主軸相差一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)。定義Cauchy-Green應(yīng)變張量C為：

C=FT·F=UT·RT·R·U

其中，R是正交張量，即有RTR=I，于是右伸長(zhǎng)張量U可以用C表示為：

U2=U·U=C

于是有：

左伸長(zhǎng)張量V同理可求。一旦求出右伸長(zhǎng)張量U，正交張量R可以由式R=FU-1求出。

1.2 應(yīng)變張量

描述有限變形時(shí)使用的應(yīng)變種類有很多種，包括Cauchy - Green應(yīng)變張量、Euler - Almansi應(yīng)變張量、Hencky應(yīng)變(對(duì)數(shù)應(yīng)變)等；在大變形情況下考慮選擇對(duì)數(shù)應(yīng)變作為應(yīng)變的度量，對(duì)數(shù)應(yīng)變不僅在理論上有其應(yīng)用價(jià)值[8-10]，目前有限元計(jì)算軟件Abaqus在涉及超彈性材料的計(jì)算時(shí)使用的也是對(duì)數(shù)應(yīng)變，因此本文不打算對(duì)對(duì)數(shù)應(yīng)變的合理性進(jìn)行闡述。當(dāng)分解出左右伸長(zhǎng)張量后，對(duì)二者取對(duì)數(shù)，得到兩個(gè)應(yīng)變張量：

其中，H與h的特征值相同。

1.3 曲率

若要計(jì)算曲率首先要計(jì)算轉(zhuǎn)角。計(jì)算出正交張量R后，對(duì)其取對(duì)數(shù)可以得到角張量A，進(jìn)而可以得到轉(zhuǎn)角α，其中角矢量α與角張量A的關(guān)系為：

式中，ε為置換符號(hào)。曲率張量由此可得：

χkK=αk,K

2 橡膠拉伸變形測(cè)量實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

2.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

模仿數(shù)字圖像相關(guān)系統(tǒng)，本文設(shè)計(jì)并建立了一套單目視覺(jué)數(shù)字圖像的大變形測(cè)量系統(tǒng)，包括測(cè)量裝置以及計(jì)算軟件。目前該系統(tǒng)可進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)類型僅包含單軸拉伸試驗(yàn)和純剪切試驗(yàn)，通過(guò)該系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)試件的非接觸式全場(chǎng)應(yīng)變測(cè)量。整體設(shè)計(jì)圖如圖1所示，主要包括力學(xué)加載模塊、數(shù)據(jù)采集模塊和數(shù)據(jù)處理模塊，其中力學(xué)加載模塊和數(shù)據(jù)采集模塊主要由臥式拉伸機(jī)、CCD相機(jī)、工業(yè)遠(yuǎn)心鏡頭以及若干燕尾式螺桿微調(diào)滑臺(tái)組成，數(shù)據(jù)處理模塊所涉及的軟件需要自行開(kāi)發(fā)。

圖1 大變形測(cè)量系統(tǒng)硬件部分

2.2 試件選取

橡膠作為現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見(jiàn)的材料，同時(shí)具備幾何非線性和材料非線性，作為本文研究非線性大變形問(wèn)題的實(shí)驗(yàn)材料屬實(shí)最佳，本文以硅橡膠作為實(shí)驗(yàn)材料。對(duì)試件進(jìn)行平面拉伸實(shí)驗(yàn)，因此采用長(zhǎng)方形試件，長(zhǎng)寬比要大于 5∶1 才能保證試件中部為純剪切受力[11]，本文采用長(zhǎng)寬比為10∶1，厚度為 2 mm。

2.3 試件制斑

數(shù)字圖像相關(guān)方法的應(yīng)用依賴試件表面的散斑，本次實(shí)驗(yàn)采用平板印刷法制取人工散斑，選擇尺寸相同，布局呈網(wǎng)格狀分布的均勻散斑，下文統(tǒng)稱標(biāo)志點(diǎn)作以區(qū)分，本文選擇僅在試件的半側(cè)制斑，標(biāo)志點(diǎn)效果及拍攝所得圖像的前五行如圖2所示。

圖2 試件的選擇與標(biāo)志點(diǎn)整體分布

2.4 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

本實(shí)驗(yàn)使用行程加載進(jìn)行控制，加載行程為15 mm，圖3為橡膠加載示意圖；之后調(diào)節(jié)鏡頭位置使成像最清晰。

圖3 橡膠加載示意圖

將試件離散化處理，標(biāo)志點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)于各個(gè)離散的點(diǎn)，由于個(gè)中緣由本文中的標(biāo)志點(diǎn)尺寸略有些大，實(shí)際越小越密集越好，當(dāng)標(biāo)志點(diǎn)足夠小足夠密集時(shí)，假設(shè)每一個(gè)標(biāo)志點(diǎn)處的變形是線性的，因此每一點(diǎn)的變形梯度都是由常數(shù)組成；在試件

表面布好標(biāo)志點(diǎn)后，通過(guò)圖像方法識(shí)別出每個(gè)點(diǎn)的形心坐標(biāo)，作為所對(duì)應(yīng)的離散點(diǎn)的坐標(biāo)；使用有限差分方法計(jì)算變形梯度，本文選擇向前差分，只有在不能向前差分時(shí)選擇向后差分，計(jì)算某一點(diǎn)的參數(shù)時(shí)還需要其相鄰兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值，三個(gè)點(diǎn)的分布如圖4所示。

圖4 標(biāo)志點(diǎn)局部分布

將識(shí)別得到的坐標(biāo)數(shù)據(jù)帶入上述公式中，即可得到變形梯度、對(duì)數(shù)應(yīng)變以及曲率等變形數(shù)據(jù)。

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與分析

對(duì)試件施加載荷，并將變形前后的狀態(tài)拍攝下來(lái)，如圖5所示。

圖5 簡(jiǎn)單剪切實(shí)驗(yàn)圖像

適當(dāng)處理圖像，使之利于識(shí)別出感興趣的部分，之后將圖片導(dǎo)入編寫(xiě)好的程序中，計(jì)算變形梯度等參數(shù)；

計(jì)算得到的數(shù)據(jù)見(jiàn)表1，由于半場(chǎng)標(biāo)志點(diǎn)數(shù)量過(guò)多，故本文只選取圖2中所示的前五行數(shù)據(jù)進(jìn)行展示。

表2 應(yīng)變數(shù)據(jù)

續(xù)表2

表3 轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)

變形趨勢(shì)圖如6所示。

圖6 半場(chǎng)變形趨勢(shì)圖

從圖中可以看出半場(chǎng)內(nèi)大致變形趨勢(shì)，轉(zhuǎn)角值的大小隨縱坐標(biāo)增加而增加，1/4場(chǎng)內(nèi)隨橫坐標(biāo)增加而增加；將轉(zhuǎn)角的單位轉(zhuǎn)換成角度制，并取其絕對(duì)值，對(duì)其進(jìn)行插值處理，得到半場(chǎng)變形轉(zhuǎn)角分布圖如圖7所示。

圖7 半場(chǎng)轉(zhuǎn)角云圖(角度制)

由此可以得到轉(zhuǎn)角分布規(guī)律，從圖7中可以發(fā)現(xiàn)第一象限區(qū)域的轉(zhuǎn)角值隨著X、Y方向逐漸增大，且隨著Y坐標(biāo)值的增大，轉(zhuǎn)角值增大的速度也隨之增大；由于夾持不均勻等原因，試件左右兩側(cè)的轉(zhuǎn)角值不完全相等，但大致趨勢(shì)一致，觀察第二象限區(qū)域可發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)角值最大約為8°，且在2/3處就已經(jīng)減小了1/2。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文開(kāi)發(fā)了一套基于 CCD 圖像處理的大變形測(cè)量系統(tǒng)，可以對(duì)發(fā)生大變形時(shí)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)行測(cè)量。此系統(tǒng)使用橡膠作為試件進(jìn)行了平面拉伸實(shí)驗(yàn)，展示了變形梯度、對(duì)數(shù)應(yīng)變以及轉(zhuǎn)角的測(cè)量數(shù)據(jù)，并對(duì)轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)進(jìn)行插值處理，繪制出半場(chǎng)的對(duì)數(shù)應(yīng)變?cè)茍D及轉(zhuǎn)角云圖，從而進(jìn)一步對(duì)橡膠等超彈性材料的大變形進(jìn)行了描述，為預(yù)測(cè)大變形規(guī)律以及計(jì)算偶應(yīng)力提供了支撐。