基于觀測器的非脆弱控制研究及其在混沌系統中的應用*

張學勝 吉明明 章 偉

（上海工程技術大學 上海 201620）

1 引言

狀態觀測器又被稱為“軟傳感器”，隨著觀測器理論的發展，基于觀測器的控制近年來成為了控制領域的研究熱點之一。在傳統的狀態反饋控制中，在傳統的狀態反饋控制中，通常需要假設系統的全部狀態都是可獲得的。然而，受制于經濟與物理上的限制，在實際系統中常常無法量測到全部的系統狀態。為了解決這一問題，觀測器常被用來估計系統的狀態值［1～6］。近年來，基于觀測器的控制在許多領域都得到了應用。例如，在文獻［7］中觀測器被用在了柔性機械臂中，在文獻［8］中觀測器被用在了故障診斷中，在文獻［9］中觀測器被用在了輸出反饋控制中，在文獻［10～11］中基于觀測器的控制被用在了機器人的反饋控制中，在文獻［12～13］中基于觀測器的控制被用在了無人機的飛行姿態控制中。

在實際控制中，許多物理系統本質上都是非線性的［14～16］。近年來，非線性系統觀測器設計問題受到了廣泛關注。例如，在文獻［17～18］中，研究了Lipschitz非線性系統的觀測器設計問題，作為Lipschitz觀測器的推廣，文獻［19］研究了單邊Lipschitz非線性系統的觀測器。近年來，遞增二次限制條件被引入到系統的狀態估計研究之中，該條件包含經典的Lipschitz條件，扇形條件，單邊Lipschitz條件等作為特例。文獻［20～21］中研究了一類滿足遞增二次限制條件的非線性系統中的觀測器設計問題。

另一方面，實際的系統控制中常常面臨著各種不確定因素的干擾，這些干擾會導致系統原本設計好的控制律出現脆弱性［25］。為了解決這一問題，通常會在基于觀測器的控制器的設計過程中引入非脆弱控制［22～24］。在文獻［25］中，Keel等論述了非脆弱控制的必要性，他們舉例說明了當干擾導致控制率律出現微小波動時，控制結果可能會出現很大的偏差，甚至導致系統的不穩定。在此基礎上，Gao等在文獻［26］中研究了不確定系統中的基于觀測器的非脆弱控制問題。需要指出的是，針對遞增二次限制非線性系統中的基于觀測器的非脆弱控制的研究仍尚未有很好的研究結果。

本文考慮了遞增二次限制非線性系統中基于觀測器的非脆弱控制問題。首先，結合遞增二次限制條件，設計了一類基于觀測器的非脆弱控制器。然后，建立了確保閉環系統漸近穩定的一類線性矩陣不等式型的充分條件。最后，通過一類Lorenz型混沌系統仿真驗證了本文結論的有效性。

2 系統描述及觀測器設計

考慮一類不確定非線性系統：

其中x(t)∈?n為系統狀態，q=Hx(t)，u(t)∈?m為控制輸入，y(t)∈?p為可測輸出，A∈Rn×n，B∈?n×m，C∈?q×n，D∈?q×m，G∈?n×l，H∈?l×n為已知矩陣，f(q)為滿足遞增二次限制條件的非線性向量值函數，如定義1所示。

定義1（遞增二次限制條件［20］）針對非線性向量值函數f(q)，若存在某個已知的適當維數的對稱矩陣Mδ，使得對任意的q1，q2，下面的不等式

成立，則稱f(q)滿足遞增二次限制條件，其中對稱矩陣Mδ被稱為遞增乘數矩陣。

針對非線性系統（1），可設計如下形式的基于觀測器的非脆弱控制器：

其中∈?n為系統狀態的估計，∈?p為系統輸出的估計，K∈?m×n為控制器增益，L∈?n×p為觀測器增益，ΔK∈?m×n和ΔL∈?n×p為擾動矩陣。

假設擾動矩陣ΔK(t)和ΔL(t)滿足：

由式（1）～（3）可得，系統狀態方程和誤差表達式為

接下來，需要討論閉環系統（4）的穩定性問題。為此，類似于文獻［37］中的定理1，本文給出了使系統（1）趨于漸近穩定的充分條件和求解控制器增益和觀測器增益的方法，如定理1所示。

那么系統（1）在基于觀測器的非脆弱控制器（2）的控制下是漸近穩定的。通過求解不等式（5）可得到控制器增益觀測器增益

3 在混沌系統中的仿真

混沌系統是一種典型的非線性系統，近年來在混沌保密通信領域有著許多的應用。本節中將使用文獻［21］中的Lorenz型混沌系統進行仿真，該混沌系統的參數如下：

其中a(t)=cos(3t)，b(t)=1-0.3 sin(2t)，且滿足a(t)≤am，b(t)≤bm。

將上述數據代入不等式（5）中，通過Matlab解線性矩陣不等式（6）可得，系統的控制器增益和觀測器增益為

將數據代入系統（1）和基于觀測器的控制器（2）中，通過Matlab數值軟件進行仿真，可得到如圖1～圖4的系統狀態估計與誤差的仿真結果。

圖1 系統狀態x1的真實值與估計值

圖2 系統狀態x2的真實值與估計值

圖3 系統狀態x3的真實值與估計值

圖4 系統狀態的估計誤差

由圖1-圖4可看出，隨著時間的推移，系統的估計值逐漸趨近于真實值，系統狀態的估計誤差逐漸趨于零。仿真結果說明了系統（1）在基于觀測器的非脆弱控制器（2）的控制下能逐漸趨于穩定。

4 結語

本文研究了一類遞增二次限制類非線性系統基于觀測器的非脆弱控制器的設計方法，并建立了在該控制器下閉環系統趨于漸近穩定的充分條件。最后，通過Matlab仿真將基于觀測器的非脆弱控制器用在了Lorenz型混沌系統中，驗證了本文提出的基于觀測器的非脆弱控制器設計的有效性。