基于NURBS曲線的輪胎胎面纏繞仿真算法①

石 樂,沈精虎,彭 婷

(青島大學 機電工程學院,青島 266071)

隨著輪胎行業的競爭愈演愈烈,提高生產效率,降低生產成本是企業發展的必經之路,因此引進計算機開環控制系統對簡化胎面生產過程、縮短研發周期、提高胎面質量具有重要意義.其中,胎面纏繞仿真是計算機開環控制輪胎胎面纏繞生產的核心,由于目前的纏繞仿真軟件內置的算法使用直線與圓弧對纏繞過程中的曲線進行仿形,仿真結果與實際纏繞結果偏差較大,得到的仿形結果很難應用到生產中去,故目前生產中的輪胎胎面纏繞多根據工程師的生產經驗來調整,因此以設計一種能夠精準擬合纏繞過程中的曲線、精確控制膠條位置的算法用于纏繞仿真軟件具有重要意義[1].

2018年,楊瑞林提出了輪胎胎面纏繞機組及纏繞控制方法.在胎面纏繞生產線上,經過冷卻裝置降溫后的膠條有可能發生微小的形變,通過在輪胎纏繞機上安裝帶有按壓輪的氣缸,對膠條進行再次處理即可保證膠條質量與形狀穩定,提高輪胎胎面對稱性,延長輪胎的使用壽命[2].

2020年,天津賽象科技股份有限公司介紹了一種工程機械子午線輪胎成型機組胎面纏繞機的數學模型及其結構,設計了一套新算法,該算法通過預先計算纏繞機頭的運行軌跡函數來確定膠條的準確位置.該算法通過分析工程機械子午線輪胎外型參數,根據空氣動力學原理,計算最大充型體積.根據最大充型體積得到截面數據設立方程,通過變分學中的等周問題計算出曲線軌跡方程,計算曲線軌跡方程的斜率來控制纏繞機頭軸線和纏繞曲線法線的夾角,再根據輪胎具體參數得出纏繞機頭運行軌跡函數,從而控制纏繞過程[3].

2020年張鵬[4]運用B 樣條曲線對輪胎胎面進行仿形,得到較為精確的仿形結果并且運用到生產中去,但B 樣條曲線存在無法擬合除拋物線外的二次曲線、對曲線控制不靈活且纏繞效率較低的問題,故在此基礎上選用NURBS曲線對輪胎胎面纏繞算法進行改進.

NURBS曲線是近些年計算機用來處理幾何圖形、設計以及數據交換的工業標準曲線.相比于B 樣條曲線[5-7],NURBS曲線解決了B 樣條曲線無法擬合除拋物線外的二次曲線問題,同時通過增加權重因子來靈活的控制各控制點對曲線整體形狀的影響,可以更好的擬合不同情況下的曲線,因此本文提出運用NURBS曲線對胎面輪廓線和膠條輪廓線進行精準仿形,使用基于粒子群優化的仿生學算法確定膠條起點從而合理排布膠條位置的算法,并選取胎面工藝參數對算法進行驗證.

1 輪胎胎面纏繞仿真原理

輪胎胎面由纏繞系統聯動控制纏繞機與纏繞鼓,將膠條纏繞貼合到輪胎胎胚上而成,纏繞鼓承載輪胎胎胚做角速度為ω的自轉運動,纏繞機沿x軸移動將膠條貼到輪胎胎胚上,纏繞原理如圖1所示[8].

圖1 纏繞原理圖

輪胎胎面斷面圖如圖2所示.

圖2 輪胎胎面斷面圖

2 NURBS曲線

給定控制點Pi,整數p,單調不減的節點矢量u,即可確定一條p次的NURBS曲線,其數學表達式為:

式中,C(u)為曲線上位置向量;ωi為權因子;Ni,p(u)為基函數.

取胎面截面數據點進行NURBS曲線擬合時,NURBS曲線的權因子ωi取1,此時NURBS曲線的求導公式為:

式中,ui為節點矢量值.

此時,NURBS曲線上任一點(xa,ya)的法線方程為:

(1)NURBS曲線擬合

計算出輪胎胎面輪廓線和膠條輪廓線上的數據點后,采用全局插值法擬合出上述曲線[9-11].全局插值法通過向心參數化計算各數據的參數值uk,并采用取平均值的方法計算出節點矢量U,建立式(5)所示線性方程組,求解該方程組得出NURBS曲線的控制點從而擬合出NURBS曲線.

式中,Pi為未知的曲線控制點.

以擬合輪胎基線為例,仿真效果如圖3所示.

圖3 輪胎基線擬合圖

(2)NURBS曲線拼接算法

膠條下底曲線是由前一根膠條部分上底曲線和部分輪胎基線拼接獲得,現有的NURBS曲線拼接算法需要處理連接點的連續性問題,計算較為繁雜,因此提出了一種基于等弧長原則離散NURBS曲線算法的NURBS曲線拼接算法,該算法首先將兩端曲線等弧長離散成一系列離散點,隨后將離散點擬合為一條NURBS曲線,計算示意圖如圖4所示.算法步驟如下:

圖4 NURBS曲線離散節點u 求解示意圖

步驟1.計算NURBS曲線離散段弧長,需要先使用式(6)計算曲線總弧長L:

式中,L為總弧長;lj為節點矢量u∈(uj,uj+1)段對應弧長.

得到總弧長L之后,按照指定的離散點個數N,將NURBS曲線劃分為每段弧長為Ln=L/N的曲線段.

步驟2.根據曲線離散段弧長得出每一個離散點的節點矢量值u所在范圍.在上述步驟1 可以得到節點矢量每個區間對應的弧長lj,第n+1 個離散點對應的弧長為Σla,通過迭代計算,當Σla大于Σlm小于Σlm+1時,說明第n+1 個離散點的節點矢量在(um,um+1)范圍內.

步驟3.確定離散點的節點矢量所在區間,計算離散點的節點矢量u值.

步驟4.將得出的節點矢量u值帶入NURBS曲線公式(1)得出離散點坐標.

步驟5.利用全局插值擬合算法將離散點擬合為一條NURBS曲線.

以擬合第二根膠條下底為例,該算法的仿真結果如圖5所示.從圖中可以看出,將兩段曲線離散后可擬合為一條較好曲線.

圖5 擬合第二根膠條下底曲線

(3)基于PSO 算法的NURBS曲線求交

粒子群優化算法(PSO)是基于群體智能理論的優化算法[12,13].使用PSO 算法計算曲線交點相比于迭代法和遺傳算法求交點規則簡單,不需要“交叉”和“變異”操作,編程簡單,計算效率高.PSO 算法從隨機解出發,通過迭代尋找最優解.初始時(k=0),隨機地確定每個粒子的位置和速度,隨后按下列公式對粒子的速度和位置進行更新:

式中,ω為慣性權重;rand()為[0,1]之間均勻分布的隨機數;c1和c2為學習因子;V為粒子的速度;X為粒子的位移;P為粒子的位置.

合理排布膠條的核心是確定膠條的起點位置,通過觀察可知,膠條的起點位置始終是前一根膠條的上底曲線與胎面分層曲線的交點.本文選用基于PSO 算法求此交點,取兩條NURBS曲線C1(u)和C2(v)上點和的距離為第i個粒子k時刻的適應度函數,即式(8):

當迭代次數達到最大且滿足篩選條件時,所得出的全局最優位置看作兩條曲線的交點.

3 基于NURBS 和PSO 的胎面纏繞仿真算法

基于NURBS 和PSO 的胎面纏繞仿真算法實現流程如圖6所示.

圖6 算法實現流程

(1)繪制胎面輪廓曲線

胎面輪廓曲線由輪胎基線和理想胎面曲線組成.其中輪胎基線由測量的輪胎基線數據點結合全局插值擬合算法擬合得出;理想胎面曲線根據輸入的工藝參數設計算法計算得出.

理想胎面曲線的工藝參數為基線上不同弧長處到理想胎面曲線的高度.計算理想胎面曲線分為兩步:

①計算理想胎面曲線的數據點.首先利用式(6)和式(7)求出工藝參數表上各弧長處對應的基線上的節點矢量值并得到坐標值.其次使用式(5)計算出各點對應的法線方程,最后使用直線上兩點的距離公式計算出相應的理想胎面曲線數據點.

②利用得出的理想胎面曲線的數據點,通過全局插值法求出控制點,得出理想胎面曲線,理想胎面曲線仿真結果如圖7所示.

圖7 理想胎面曲線仿真圖

(2)分層設置

在實際的纏繞過程中,理想胎面曲線太高時,在纏繞過程中膠條會出現膠條堆疊現象,膠條堆疊會使膠條與輪胎胎胚粘連部分太少造成膠條脫空.因此需要設置分層曲線,其中分層數目根據工藝要求,且通過每一層纏繞后的胎面曲線即為下一層的纏繞基線,以分兩層為例如圖8所示.

圖8 分層實例示意圖

分層時從第一跟膠條起始點纏繞開始,保存每一根膠條上底和分層曲線的交點之間的曲線如P1P2.將曲線上所有的上底型值點坐標進行記錄保存,第一場纏繞結束后,將所有記錄的型值點通過NURBS曲線反求控制點的方法,求得分層后的曲線方程,以該方程與最終的理想胎面方程為基準,即可完成全部纏繞過程.

(3)繪制膠條

繪制膠條首先要確定膠條的起點.第一根膠條的起點是輪胎基線的起點,計算后續膠條的起點采用基于PSO 的NURBS曲線算法求交前一根膠條上底曲線與分層曲線的交點.當交點個數較多時,設置篩選條件選出合適的交點做為膠條起點.

其次繪制膠條下底曲線.計算示意圖如圖9所示,d 點為第二根膠條的起點,b 點為前一根膠條上底曲線終點,當db 弧段長度小于膠條下底弧長時,截取基線上bc 弧長,dbc 弧長即為膠條下底.利用NURBS曲線拼接算法擬合出膠條下底,最后根據膠條工藝參數值計算得到膠條上底曲線.

圖9 后續膠條曲線計算示意圖

4 實例分析

為測試本文提出算法的有效性和可行性,選取某型號胎面工藝參數和膠條工藝參數對算法進行測試,膠條型號如圖10所示.通過纏繞后胎面與理想胎面曲線對比,判斷算法準確性,通過左右胎肩高度對比,判斷胎面對稱性.

圖10 膠條截面

(1)實例1

如表1、表2所示,給定的進給膠條速度為16 m/min,給定的膠條膠料密度為0.94 g/cm3.

表1 輪胎基線坐標值

表2 理想胎面曲線工藝參數表

基于本文提出的算法,采用上述工藝參數,得到的胎面纏繞仿真結果如圖11所示.

圖11 纏繞仿真結果圖

纏繞完成后的胎面效果如圖11所示,紅色輪廓為理想胎面曲線,黑色邊界即為實際纏繞胎面.根據胎面所用膠條總長度和膠條截面面積計算出輪胎的總重量為37.71 kg,在HG/T 4958-2016 行業標準與國內某合作企業要求37.31±0.56 kg 的范圍內.纏繞完成后,根據計算胎肩兩側的高度分別為左側141.1 mm,右側為141.5 mm,右胎肩高度比左胎肩高度高0.2%,對稱性滿足要求.生產時長根據胎面纏繞所需膠條的總長度以及進給膠條速度計算得到大約為10 min.

(2)實例2

如表3、表4所示,給定的進給膠條速度為16 m/min,給定的膠條膠料密度為0.94 g/cm3.

表3 輪胎基線坐標值

表4 理想胎面曲線工藝參數表

基于本文提出的算法,采用上述工藝參數,得到的胎面纏繞仿真結果如圖12所示.

圖12 纏繞仿真結果圖

纏繞完成后的胎面效果如圖12所示,紅色輪廓為理想胎面曲線,黑色邊界即為實際纏繞胎面.根據胎面所用膠條總長度和膠條截面面積計算出輪胎的總重量為30.10 kg,在HG/T 4958-2016 行業標準與國內某合作企業要求30.00±0.31 kg 的范圍內.纏繞完成后,根據計算胎肩兩側的高度分別為左側53.9 mm,右側為54.1 mm,右胎肩高度比左胎肩高度高0.3%,對稱性滿足要求.生產時長根據胎面纏繞所需膠條的總長度以及進給膠條速度計算得到大約為8 min.

5 結論

針對計算開環控制的胎面纏繞生產系統中配置的胎面纏繞系統算法性能差的問題,本文提出了一種基于NURBS曲線的胎面纏繞仿真算法.該算法對胎面纏繞過程中的曲線仿形效果較好,其中基于PSO 的NURBS曲線求交算法能快速穩定的計算出合理的膠條起點,具有編程簡單、計算效率高的優點.相比與以往的胎面纏繞,本算法不再側重于纏繞精度的問題,而在保證纏繞精度的基礎上大幅提高了纏繞的效率.通過兩次實例實驗結果圖表明,纏繞后的胎面形狀較好,滿足胎面的對稱性要求,輪胎重量符合行業要求,生產總時長大幅降低,能有效的提高生產效率.