一類行列式的求導計算法

石定琴 江新河

摘要：行列式的計算是線性代數(shù)中非常重要的問題，利用行列式的定義、性質(zhì)和展開定理可以對行列式進行化簡，從而算出它的值。還有一些行列式可用數(shù)學歸納法來計算，比如范德蒙行列式。范德蒙行列式在某些行列式的計算中起著非常重要的作用，缺了一行的范德蒙行列式可利用加邊法來計算。該文給出了一類行列式，在范德蒙行列式的性質(zhì)基礎(chǔ)上，利用求導法和加邊法，計算這類行列式。

關(guān)鍵詞： 行列式 范德蒙行列式 求導法 加邊法

中圖分類號：O151.22文獻標識碼： A? ?文章編號：1672-3791（2021）03（a）-0000-00

A Kind of Derivation Calculation Method of a Certain Determinant

SHI Dingqin? JIANG Xinhe

（College of Science， Jiujiang University， JiuJiang， Jiangxi Province，332005 China）

Abstract： Determinant calculation is very important in the field of linear algebra，Using the definition，properties and expansion theorem of determinant， the determinant can be simplified and calculated. There are some determinants that can be calculated by mathematical induction， such as Vandermonde determinants. Vandermonde determinant plays a very important role in the calculation of some determinants， the Vandermonde determinant without one line can be calculated the bordered method. This essay introduces the calculation method of a certain type of determinant mainly through bordered method ，the derivation method， on the basis of the Vandermonde determinant's nature.

Key Words： Determinant; Vandermonde determinant; Derivation method;Bordered method.

1預備知識

在數(shù)學與應用數(shù)學課程體系中，高等代數(shù)課程安排在大學的第一學期，學生學習了一學期的高等代數(shù)和數(shù)學分析之后，理論上學習高等代數(shù)應該不存在太大的問題，但從教學實踐看，學生從一開始接觸高等代數(shù)時，就感到比較困難，甚至比數(shù)學分析更難理解、掌握。

為什么學生認為高等代數(shù)比數(shù)學分析更困難？ 首先，數(shù)學分析涉及的極限、導數(shù)等知識學生在高中階段已有一定的基礎(chǔ)。而高等代數(shù)研討線性方程組及高斯消元法等學生雖很熟悉，但高等代數(shù)中引入了一些較抽象的數(shù)學概念、數(shù)學符號，尤其是行列式、矩陣、向量等抽象概念都是中學階段沒有接觸過的，而且其中運算方式也與之前學過的運算很不相同; 其次，學生在中學的數(shù)學學習中只重視解題能力，對數(shù)學概念及其相關(guān)背景基本不太理解。如何讓學生適應高等代數(shù)課程的學習是很值得思考的問題。高等代數(shù)是建立在很多抽象概念基礎(chǔ)之上的，這些抽象概念看似遠離實際生活，但本質(zhì)上是數(shù)學家將數(shù)學問題或?qū)嶋H問題抽象出來，經(jīng)過思辨、邏輯演繹推理得到的自然產(chǎn)物。因此 ，在給出一個概念之前，應詳細理清其問題背景、數(shù)學研究過程、數(shù)學思想方法及其實現(xiàn)的數(shù)學途徑。比如 ：行列式的引入源于解方程組，數(shù)學家在研究二元線性方程組時發(fā)現(xiàn)，如果引入二階行列式的概念，那么二元線性方程組就可以用二階行列式給出公式解，此公式解可以避免用消元法，結(jié)論非常有意義。進一步，就會思考三元線性方程組是不是也可以用三元線性方程組來解，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)答案是肯定的。那么n元線性方程組呢？為了解決n元方程組的公式解問題，引入了n階行列式的概念，進一步給出了行列式的性質(zhì)定理及計算方法，形成了一套完整的知識體系。這就是數(shù)學的思維方法的一個很好的展示。當然，行列式概念引入后，它的作用不只是解線性方程組，行列式理論在矩陣論、坐標變換、多重積分的變量替換、微分方程組、二次型等都有重要應用，現(xiàn)已是非常有用的數(shù)學工具。

行列式的計算 是線性代數(shù)中非常重要的問題，也是高等代數(shù)教學中的重點內(nèi)容，一開始學生對于行列式的計算會感到害怕，主要是由于計算量很大容易出錯，還有就是抽象行列式的計算如果方法不對就算不出來 。根據(jù)多年的教學經(jīng)驗，在課堂上我會有意識的對行列式的類型進行分類，并針對不同類型行列式的主要計算技巧進行反復強調(diào)。也讓學生課后進行整理，比如：對具體的數(shù)字矩陣通常利用行列式的定義和性質(zhì)對行列式進行化簡，化成上三角形行列式，從而算出它的值;或者利用行列式的按行 （列）展開定理對行列式進行降階，降到2階行列式就可以算出它的值。對于抽象的行列式，往往根據(jù)不同類型的行列式，運算時采用相應的方法，會使計算相對簡潔 。再比如 ：零元素很多的行列式可以直接用行列式的定義進行計算;對于行和相等的行列式可以采取各列加到第一列，再用第一行的相應倍數(shù)加到其余各行，把它化成上三角形，對列和相等的行列式完全可類似的做 。而三線形行列式則利用行列式的性質(zhì)化成上三角形行列式;關(guān)于主對角線對稱的行列式可利用逐行相加化成三線形行列式，再利用三線形行列式的計算方法算出其值 ，還有一些行列式可用數(shù)學歸納法來計算，比如：范德蒙行列式，就是用數(shù)學歸納法得出它的值。而范德蒙行列式本身也是非常重要的行列式，范德蒙行列式在某些行列式的計算中起著非常重要的作用 。對行列式的計算方法有意識的進行整理后，學生的收獲就會不一樣，同時針對一些存在的問題引導學上進行思考，就可以進一步鍛煉學生的數(shù)學思維能力。比如：在講范德蒙行列式時，對于缺了一行的范德蒙行列式，采用了加邊法可以很方便的求出其值?？梢赃M一步提出問題：如果是缺了兩行的范德蒙行列式，又如何求其值呢？接下來將利用范德蒙行列式的性質(zhì)結(jié)合求導法計算缺兩行的范德蒙行列式。

定義1.1? ?：行列式

則稱為n階 范德蒙行列式，并且V_n=∏_（1≤i<j≤n）?〖（x_（j-） x_i）〗。當且僅當x_j=x_i （1≤i<j≤n）時V_n=0。

定義1.2：設(shè)有行列式函數(shù)

）@α_2 （x）@?）@α_n （x））|

其中，α_i （x）=（f_i1 （x），f_i2 （x），…，f_in （x） ），i=1，2，…，n，則行列式函數(shù)的導數(shù)為：

其中，α_i^' （x）=（f_i1^' （x），f_i2^' （x），…，f_in^' （x） ），〖i=1，2，…，n〗^（[6]）。

2行列式的求導計算法

利用范德蒙行列式的性質(zhì)，對缺了一行的范德蒙行列式可以采用加邊法，把它變成范德蒙行列式，從而算出其值，比如

解：將行列式D加上一行一列，變成范德蒙行列式，記

由范德蒙行列式的定義有：

V=（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）（d-a）（d-b）（d-c）（c-a）（c-b）（b-a）

而行列式D就等于上式中x的系數(shù)的相反數(shù)，其中x的系數(shù)為：

-（abc+abd+acd+bcd）（d-a）（d-b）（d-c）（c-a）（c-b）（b-a）

所以有：

文獻[7]中，給出了求導法計算缺了一行的范德蒙行列式，下面我們結(jié)合上述加邊法和求導法，計算缺兩行的范德蒙行列式，舉例如下：

=e^（x/a^2 ） e^（x/b^2 ） e^（x/c^2 ） e^（x/d^2 ） （d-a）（d-b）（d-c）（c-a）（c-b）（b-a）

求導得S^' （x）=（1/a^2 +1/b^2 +1/c^2 +1/d^2 ）e^（x/a^2 ） e^（x/b^2 ） e^（x/c^2 ） e^（x/d^2 ） （d-a）（d-b）（d-c）（c-a）（c-b）（b-a）。又由行列式的求導法則有：

下面用加邊法求D_1的值：給D_1加上一行一列使其成為一個范德蒙行列式，

記為

利用范德蒙行列式的定義可得：

T=（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）（d-a）（d-b）（d-c）（c-a）（c-b）（b-a），

而行列式D_1就等于上式中x^2的系數(shù)，其中x^2的系數(shù)為：

（ab+ac+ad+bc+bd+cd）（d-a）（d-b）（d-c）（c-a）（c-b）（b-a），

所以有：

從而有：

S^' （x）=（1/a^2 +1/b^2 +1/c^2 +1/d^2 ）e^（x/a^2 ） e^（x/b^2 ） e^（x/c^2 ） e^（x/d^2 ） （d-a）（d-b）（d-c）（c-a）（c-b）（b-a）

= e^（x/a^2 ） e^（x/b^2 ） e^（x/c^2 ） e^（x/d^2 ） （1/a^2? ?1/b^2? ?1/c^2? ?1/d^2? D-1/a? 1/b? 1/c? 1/d D_1 ）

□（?┬ ） （1/a^2 +1/b^2 +1/c^2 +1/d^2 ）（d-a）（d-b）（d-c）（c-a）（c-b）（b-a）

=（1/a^2? ?1/b^2? ?1/c^2? ?1/d^2? D-1/a? 1/b? 1/c? 1/d D_1 ）

□（?┬ ） D=abcdD_1+〖（abcd）〗^2 （1/a^2 +1/b^2 +1/c^2 +1/d^2 ）（d-a）（d-b）（d-c）（c-a）（c-b）（b-a），

故

整個教學過程不僅體現(xiàn)和展示了數(shù)學研究的艱辛復雜，也能讓學生體驗了解決問題的樂趣：在解決實際問題過程中引入的新的數(shù)學工具、數(shù)學思想方法、數(shù)學理論、數(shù)學概念等，常常會成為數(shù)學研究新的研究領(lǐng)域的源頭，開啟新的數(shù)學研究。而且可提高學生的學習興趣和探索熱情，唯有如此學生才能對抽象的數(shù)學概念有較深刻的理解，形成較好的數(shù)學思維能力。

參考文獻

[1] 王建紅.行列式的計算方法研究[J].黃山學院學報，2021，23（3）：11-14.

[2] 過美林.幾類特殊矩陣的奇異值，行列式和廣義逆[D]贛州：江西理工大學，2020.

[3]劉俊同，李龍.2類重要行列式的推廣[J].高師理科學刊，2021，41（ 5）：5-8.

[4]姜小夏，王海揚，田應信， 等.淺析高階行列式的幾種計算方法[J].科技資訊，2021，19（1）：225-227.

[5] 劉海霞.廣義Cauchy行列式的計算與應用[D]大連：大連交通大學，2016.

[6] HUCHT A. The Square Lattice Ising Model on the Rectangle Ⅲ： Hankel and Toeplitz Determinants[J].Journal of Physics A： Mathematical and Theoretical，2021，54（37）：1-29.

[7] 于榮娟，陳紅紅，楊海波.淺談某類行列式的計算方法[J].內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學學報：自然科學版，2013，34（2）：161-164.