變系數(shù)耦合拋物方程邊界能控性的必要條件

謝偉松， 張青青

(天津大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 天津 300350)

近年來，關(guān)于耦合拋物型偏微分方程能控性的研究已成為一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的工作，備受眾多學(xué)者的關(guān)注[1-7].這些控制問題一般分為標(biāo)量拋物型問題和非標(biāo)量拋物型問題.

對于標(biāo)量拋物型問題，能控性的研究已經(jīng)相對成熟.例如，F(xiàn)attorini等[8]用矩量法證明了一維熱方程的零邊界能控性的第一個(gè)結(jié)論.對于一般拋物型方程，Lebeau等[9]和Fursikov等[10]通過局部Carlmeman估計(jì)證明了其零能控性.結(jié)合Caroline等[11]的不動點(diǎn)方法，Enrique等[12]對于具有全局Lipschitz非線性的半線性熱方程、甚至非線性方程以超線性方式增長但增長速度緩慢時(shí)，也得到了類似的結(jié)果.

對于非標(biāo)量拋物型問題，研究工作大多集中在系統(tǒng)的內(nèi)部能控性上，并且得到了系統(tǒng)能控的充分必要條件或者充分條件.Khodja等[13]主要研究了非自治拋物線性系統(tǒng)內(nèi)部近似能控的一個(gè)充要條件.Manuel等[14]分析了m-方程線性耦合拋物系統(tǒng)在施加唯一分布式控制時(shí)的能控性.Dupaix等[15]證明了卡爾曼秩條件是獲得n-耦合拋物型方程相對于跡精確能控性的充分條件而不是必要條件.杜潤梅[16]考慮了兩類耦合退化系統(tǒng)，證明了問題的零能控性，并利用Manuel等[17]的方法研究了“雙”線性耦合退化系統(tǒng)的零能控性.Enrique等[18]研究了一類線性和半線性不可對角化拋物型偏微分方程組的內(nèi)部能控性.Zhu等[19]通過共軛問題構(gòu)造控制，證明了一類由耦合退化方程控制的系統(tǒng)是近似能控的.Du[20]考慮了一類帶梯度項(xiàng)的耦合退化拋物型方程的……