形式三角矩陣環(huán)上的Gorenstein FP-內(nèi)射模及維數(shù)

吳德軍, 周 慧

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

本文用pdRM,G-FP-idRM分別表示左R-模M的投射維數(shù)和Gorenstein FP-內(nèi)射維數(shù).pdRM<∞表示左R-模M的投射維數(shù)有限,HomR(X,Y)表示R-模X到Y(jié)的同態(tài)集.Maurice等[1]給出了形式三角矩陣環(huán)T的一些性質(zhì),例如:

1)T是左 Artin環(huán)當且僅當A,B是左Artin環(huán)且U是有限生成的B-模;

2)T是右 Artin環(huán)當且僅當A,B是右Artin環(huán)且U是有限生成的A-模;

3)T是Artin代數(shù)當且僅當存在交換環(huán)R,使得A,B是ArtinR-代數(shù)且U是有限生成的R-模.Mao等[2]介紹和研究了Gorenstein FP-內(nèi)射模,并將Gorenstein同調(diào)性質(zhì)從左諾特環(huán)擴充到了左凝聚環(huán)上.Zeng等[3]討論了Gorenstein FP-內(nèi)射模的性質(zhì),并且證明了若環(huán)R是左諾特環(huán)當且僅當每個Gorenstein FP-內(nèi)射左R-模是Gorenstein內(nèi)射左R-模.Gao等[4]給出了Gorenstein FP-內(nèi)射模的新定義并且從Gorenstein FP-內(nèi)射模的角度研究了自FP-內(nèi)射凝聚環(huán).2014年,Enochs等[5]研究了三角矩陣環(huán)上的Gorenstein投射模和Gorenstein內(nèi)射模及Gorenstein正則環(huán).楊燕妮等[6]證明了當環(huán)R是右凝聚環(huán)且是右GFPI-封閉環(huán)時,Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模是內(nèi)射可解類,并且給出了Gorenstein FP-內(nèi)射維數(shù)的若干等價刻畫.Mao[7]研究了形式三角矩陣環(huán)上的對偶對和FP-內(nèi)射模及維數(shù).吳德軍等[8]介紹和研究了投射余分解 Gorenstein平坦復(fù)形.受以上文獻的啟發(fā),本文討論了形式三角矩陣環(huán)上的Gorenstein FP-內(nèi)射模及維數(shù).

定義1[4]稱左R-模M為Gorenstein FP-內(nèi)射模,如果存在FP-內(nèi)射左R-模的正合列

Ε∶…→E1→E0→E0→E1→…

使得M?ker(E0→E1),并且對任意投射維數(shù)有限的有限表示左R-模P,HomR(P,Ε)正合.

引理1[4]設(shè)R是左凝聚環(huán),M是左R-模,則M是Gorenstein FP-內(nèi)射左R-模當且僅當存在FP-內(nèi)射左R-模的正合列

Ε∶…→E1→E0→E0→E1→…

使得M?ker(E0→E1).

定義2[6]稱環(huán)R為左GFPI-封閉環(huán),如果Gorenstein FP-內(nèi)射左R-模類對擴張封閉.

定義3[6]左R-模M的Gorenstein FP-內(nèi)射維數(shù),G-FP-idRM,定義為G-FP-idRM=inf{n|存在左R-模的正合列0→M→E0→E1→…→En→0,其中每個Ei是Gorenstein FP-內(nèi)射模}.

G-FP-idRM≤n當且僅當存在左R-模的正合列0→M→E0→E1→…→En→0,其中每個Ei是Gorenstein FP-內(nèi)射模.

引理5[7]設(shè)A,B是左凝聚環(huán),UA是平坦模,BU是有限表示模.若G是FP-內(nèi)射……