基于四元數傅里葉變換的低照度彩色圖像增強算法

天津理工大學中環信息學院 喬兆亮 蓋琦

針對低照度條件下彩色圖像的細節丟失與視覺效果不佳等問題，提出了一種基于四元數傅里葉變換的彩色圖像增強算法。把彩色圖像表示為一個四元數矩陣，整體做傅里葉變換，設計頻域濾波器，對圖像做濾波處理。實驗結果表明，該算法能夠明顯提升低照度彩色圖像的視覺效果。

隨著計算機和網絡技術的發展，圖像已經成為信息表達的一種重要方式，圖像作為一種載體，是信息的最直觀的表示。但圖像在拍攝過程中會由于光照不足、噪聲等因素影響，使得圖像的視覺質量無法令人滿意，需要做增強處理。圖像增強的方法按照作用域的不同，可分為空間域和頻率域，其中頻率域濾波需要對圖像做傅里葉變換，在變換域實現濾波處理[1-4]。

彩色圖像由三個獨立分量組成，如在RGB空間，由R、G、B三個分量組成，一般對于彩色圖像的處理方法，是各個分量單獨進行處理，如果在頻率域濾波，需要針對三個分量做三次傅里葉變換，這樣就忽略了彩色圖像各個分量之間的內在聯系。應用四元數理論，可以把彩色圖像的像素作為一個矢量整體進行處理，只需要做一次四元數傅里葉變換即可，體現了圖像的色彩關聯[5-7]。

1 頻域濾波器設計

圖像頻域濾波原理框圖如圖1所示。

圖1 頻域濾波原理框圖Fig.1 Principle block diagram of frequency domain filtering

圖中f(x,y)表示原始圖像，g(x,y)表示處理后的圖像，DFT代表離散傅里葉變換，DFT-1代表離散逆傅里葉變換，F(u,v)表示f(x,y)的頻譜，H(u,v)代表濾波器。只要設計一個合適的濾波器H(u,v)，即可消除低頻或高頻成分，得到增強后的圖像。本文選擇的H(u,v)三維立體圖如圖2所示。

圖2 H(u,v)三維立體圖Fig.2 Three dimensional stereogram of H(u,v)

濾波函數可由公式（1）表示為[8]：

其中，D0代表截止頻率，rl和rh的取值決定了濾波器對低頻和高頻分量的影響，c用來控制濾波函數斜面的銳化程度，若選擇rl<1，rh>1，將同時實現抑制低頻和增強高頻的目的，可以使圖像在壓縮動態范圍的同時增強圖像的對比度[8]。

2 彩色圖像的四元數傅里葉變換

一幅彩色圖像可以表示為一個四元數矩陣，數學表示式如公式（2）所示[5]：

對于彩色圖像，fr(x,y)=0。

彩色圖像f(x,y)的離散四元數傅里葉變換定義如公式（3）所示[5]：

對應的逆變換定義見如公式(4)所示[5]：

式中(x,y)和(u,v)分別為空間域和頻率域的坐標。μ是一個單位純四元數，即μ的實部為0，模為1，且μ2=-1。F(u,v)也是一四元數，可表示如公式(5)所示：F(u,v)=Fr(u,v)+Fi(u,v)i+Fj(u,v)j+Fk(u,v)k（5）包含4個分量，即Fr(u,v)、Fi(u,v)、Fj(u,v)、Fk(u,v)。

3 算法實現步驟

本算法實現步驟如下：

(1)讀取原始彩色圖像f(x,y)，并做四元數傅里葉變換，得到F(u,v)的4個分量；

(2)選擇不同的參數，設計4個濾波器H1(u,v)、H2(u,v)、H3(u,v)、H4(u,v)；

(3)對F(u,v)的4個分量分別做濾波處理，得到濾波后的結果F'(u,v)；

(4)對F'(u,v)做四元數逆傅里葉變換，得到濾波后的圖像。

4 實驗結果

本實驗應用MATLAB 2019a軟件編程實現，原始圖像選擇MATLAB圖像庫中自帶的低照度圖像，實驗結果如圖3所示。

圖3 實驗結果Fig.3 Experimental results

5 結語

本文利用四元數理論，把彩色圖像表示為一個四元數矩陣，整體做傅里葉變換，并設計頻域濾波器，對圖像做濾波處理。實驗結果表明，此算法原理簡單，實現方便，增強效果較好。