運用Geogeb ra軟件模擬水中月亮像的大小和位置*

吳彬彬

（蘇州市相城區(qū)春申中學 江蘇 蘇州 215101）

在初中物理教學中，教科書及其相關的教輔資料均將平靜的水面視為平面鏡.由平面鏡成像特點“像與物大小相等、像與物到鏡面的距離相等”可知，在平靜的水面上方飛翔的小鳥，它的像和它本身大小相等，離水面的距離也相等.這一點毋庸置疑，因為在我們生活范圍內物體的線度比較小，水面看起來真的是“平”的.

同理，也有大量針對水中月亮和天上月亮大小比較的試題出現(xiàn).那么水中月亮和天上月亮真的一樣大還是看起來一樣大？

為了方便研究，我們運用Geogeb ra軟件通過作圖進行分析.

1 月亮半徑、地球半徑和月地距離的大小關系

通過查閱資料，已知月亮半徑r=1 737 km，地球半徑R=6 400 km，月地距離S=384 000 km.為了方便作圖，我們將月亮半徑作為1，而地球半徑近似為4，月地距離近似為240.如果將地球上的水面比作一個曲率半徑為4 m的廣角鏡，那么月亮便是240 m外的物體，此時水面的彎曲程度相當可觀，不能作為平面鏡看待，而應該作為凸面鏡.那么月亮通過地球水面上成像應該是一個縮小的像.

2 用Geogeb ra軟件作出月亮通過地球水面成的像

2.1 用兩條特殊光線作出月亮的像

首先在坐標（0，0）位置畫出一個半徑為1的月亮，在坐標（6，0）位置畫一個半徑為4的地球，過A點作兩條光線（一條為指向地球球心，這樣可以原路返回，另一條平行于月心和地心連線），兩條反射光線的反向延長線交于A′點，則相應的月球圓心A1的像在A′1的位置，如圖1所示.我們用月亮的半徑和它的像的比較來表示月亮和其像的大小關系.

圖1 地很近時，月亮半徑的像A′A′1

從圖上可以看出月亮的像比月亮小，像到地面的距離比月亮到地面的距離小.當然，此時的地球并不在其真實的位置上，我們需要將地球向右移到距離月亮240的刻度上.

保持月亮的位置不變，將地球移到（240，0）的位置上，此時月亮的像已經小得看不見了，如圖2所示.

放大圖像得到如圖3所示的像A′A′1，使用軟件進行數(shù)據(jù)分析，A′的坐標為（237.919，0.008 68），即當月亮的半徑大小為1時，像A′A′1的大小為0.008 68，像到地球表面的距離為S′=237.919-236=1.919，顯然像比月亮小得多，像到水面的距離比月亮到水面的距離也小得多.

圖3 放大后月亮半徑的像A′A′1

當然，我們知道此時的像是在BC范圍內觀察到的，這個范圍實在是太大，我們的眼睛沒有這么大，所以此時得到的像不是我們人類實際觀察到的大小和位置，沒有參考價值和意義.

2.2 模擬出人眼能夠觀察到的像的情況

由于人眼的瞳距在7 cm左右，而月亮的直徑在3.5×106m，即人眼瞳距是月亮直徑的2×10-8倍.如圖4所示，將作圖環(huán)境放大到原來的108倍，這樣我們可以選擇兩條非常接近的入射光線，這樣它們經過地球水面的反射后可以同時進入人眼（B和C兩點為實際上相距為1 cm左右的兩個入射點，且B點在月心和地心的連線上），此時兩條反射光線的反向延長線的交點就是人實際觀察到的像.如圖5所示，此時A′的坐標為（237.983 16，0.008 4），即像的大小為0.008 4，可得像到地球表面的距離為S′=237.983 16-236=1.983 16.此時的像相對于前一次更小了，這也足以說明水中的月亮比天上月亮不但小而且小得多.

圖4 兩個入射點距離接近瞳孔距離

圖5 A′的坐標

3 為什么水中月亮和天上月亮看起來一樣大

“又疑瑤臺鏡，呼作白玉盤”.月亮實際很大，但是我們總覺得它只有盤子這么大，究其原因是它離我們實在太遠，所以看起來比較小.我們判斷物體的大小取決于物體發(fā)出或者反射的光線進入眼睛的夾角大小，此夾角稱作視角，視角越大，物體看起來就越大.

如圖6所示，人在B點看月亮時的視角為2α，已知A1點坐標為（0，0），B點坐標為（236，0），則tanα==0.004 237.如圖7所示，人在B點看水中月亮時的視角為2β，已知A′的坐標為（237.983 16，0.008 4），則tanβ==0.004 236，可以發(fā)現(xiàn)雖然水中月亮比天上月亮小得多，但是我們觀察它們的視角幾乎相同，這就是水中的月亮和天上的月亮看起來一樣大的原因了.

圖6 人在B點看天上的月亮

圖7 人在B點看水中的月亮

4 結束語

在教學的過程中有些現(xiàn)象由于某種巧合，用一定的知識、原理也能解釋得通，但是并不符合物理原理.如本文中水中的月亮和天上的月亮看起來一樣大，所以就聯(lián)想到了平面鏡成像原理.通過Geogeb ra軟件的模擬可知，水中的像相對于天上的月亮小得多，只是離我們近而已.物理教學應該抓住事物的本質，而不能將現(xiàn)象和原理硬湊在一起，以致貽笑大方.