利用復擺測量重力加速度及對擺的位形參數的測量

隋林泓 劉利霜 趙鑫雨 曹彥煜 賈春碩 李喜彬

（內蒙古師范大學物理與電子信息學院 內蒙古 呼和浩特 010022）

重力加速度在工程物理的各個領域中都扮演著重要的角色，因此，精確地測量當地的重力加速度一直是工程物理實踐中的一項重要任務.對重力加速度的測量方法有很多，比如單擺法［1］，懸掛彈簧法［2］，當然最簡單的辦法是在小球上貼一個加速度傳感器.不過以上方法只能實現一次測量，無法給出不同物理量下的實驗數據，這就增大了實驗的偶然誤差.本實驗最大的亮點在于可以通過懸掛不同質量磁鐵的方法，獲得多組數據，并利用回歸分析的方法，有效地降低了偶然實驗誤差，從而提高了實驗精度.

1 實驗目的

對當地重力加速度進行精確地測量，以及對鋼尺不規則部分有效長度的測量.

2 實驗器材（含規格）及成本

硬件：鋼尺（5 cm）、釹鐵硼磁鐵10塊（40 m m×20 m m×5 m m）、游標卡尺、天平、長尾夾、MR63ZZ微型軸承（Dφ6 m m×dφ3 m m×B2.5 m m）、智能手機、計算機.

軟件：phyphox，M ATLAB R2019，Anaconda3，Adobe illustrator CC2019.

成本：10塊釹鐵硼磁鐵約40元，50 cm鋼尺10元，軸承1.5元，其余物品儀器均可在實驗室或者日常生活中找到，總成本約50元.

說明：這里沒有用到復擺支架，是因為實驗過程中要在鋼尺的一端吸附上磁鐵，而復擺的支架同樣為鐵質，會對實驗產生非常大的影響.

3 實驗原理

實驗裝置的原理圖如圖1所示，O點為旋轉中心.旋轉中心到下邊緣的距離為l1，其分布的質量為m1，剩余的質量為m2.鋼尺總質量M=m1+m2，下端磁鐵質量為m.由于上端的質量分布不是規則的，這里設有效長度為l2，即質量為m2的物質分布在長度l2上，而且這個長度可以通過本實驗測量得到.

圖1 實驗裝置原理示意圖

由上面的討論可以得到如下關系.

設系統轉動慣量為I，由剛體定軸轉動定律

得到系統的運動方程為

在小擺角條件下，式（3）可以近似為

可對上式中的角頻率作進一步的處理

這里用到了式（1）.在式（5）的分母上，雖然l2要比l1小很多，但為了保證實驗的精度，這里保留關于l2的一階項，但忽略l2的二階項，并定義有效質量

于是，式（5）中的角頻率就可以寫為

復擺往復運動的周期就可以寫為

在實驗原理上，本實驗有如下優勢.第一，對實驗裝置進行了盡可能詳細的理論計算，并分析了它對實驗結果帶來的影響.第二，通過在鋼尺末端吸附不同質量的磁鐵，即改變變量m來得到不同情況下的運動周期，從而排除了偶然誤差對實驗結果的影響.第三，所需測量的物理量，包括擺長l1、擺錘運動周期T以及懸掛磁鐵的質量m，都可以進行精確地測量，相對誤差均遠小于.最后，可以通過非線性回歸分析得到鋼尺的有效質量，從而確定有效位形參數l2.

4 實驗方法

原理圖圖1所對應的實物圖如圖2所示，前文已經明確說過，實驗中不應該使用復擺架，這里只需放在一個比較空曠的位置即可.

圖2 原理圖1所對應的實物圖

具體的實驗步驟如下.

（1）用游標卡尺測量50 cm處到圓孔上端的距離，如圖3所示，讀數為23.80 m m，鋼尺小孔直徑6.20 m m.則50 cm處到旋轉中心的距離l1為讀數減去軸承外直徑的一半，即l1=0.520 7 m.

圖3 鋼尺刻度50 cm處到小孔遠端的距離讀數

（2）取一個長尾夾的手柄并在末端反復纏繞透明膠帶，直到使得軸承恰好卡在上面不發生滑動.在軸承的外側纏上雙面夾帶，使得恰好嵌入在鋼尺的圓形切口處，并使之不發生相對滑動.用長尾夾將上面的裝置夾在空曠的位置，比如桌角處.

說明：使用軸承有以下幾個好處.第一，如果將鋼尺直接懸掛在懸針上，鋼尺會發生縱向滑動，這會嚴重地增加實驗誤差.第二，減小了摩擦力.第三，補償在鋼尺圓環處質量的缺失.

（3）用天平測量需要吸附在鋼尺上磁鐵的質量.

（4）將安裝有phyphox應用程序的智能手機放在裝置下方約10 cm處，將需要進行實驗的磁鐵吸附在鋼尺末端，并調整位置，使得磁鐵的上邊緣恰好和鋼尺上的1 cm刻度重合，這樣磁鐵重心剛好落在了鋼尺的末端.

（5）給鋼尺一個合適的初始擺角（小于5°）并無初速度釋放.運行phyphox應用程序的磁力計并記錄數據，一組記錄時長約65 s，保存數據并導入計算機.同樣的方法共記錄11組數據.

（6）數據分析.

5 數據處理與分析

5.1 數據處理

數據顯示，復擺的運動具有很好的周期性，phyphox應用程序記錄的周期性磁場如圖4所示.

將保存好的Excel文件由M ATLAB讀取、畫圖.打開圖片，找到圖像相對穩定的一段（一般在25 s之后），選擇一個峰并放大直到可以看清最大值所在的位置，單擊該點，此時會顯示最大值處的坐標，橫坐標即為該峰頂點所在的時間坐標.再縮小，選擇和此峰間隔數為10的另外一個峰.重復上面的放大操作，得到這個峰的坐標.那么復擺的運動周期就是

圖5是懸掛質量為26.0 g的數據獲取示意圖，數據可以精確到10-5s.

圖5 獲取復擺周期的方法示意圖

重復這個步驟，可獲得其他10組實驗的數據，其詳細的結果展示在表1中.

表1 懸掛磁鐵質量與周期的實驗數據

5.2 非線性回歸分析

針對表1獲得的測量數據，采用式（8）定義的回歸函數，計算過程中利用M ATLAB軟件自帶的Non Linear Model.fit函數，最終得到最佳擬合結果是：重力加速度估計的中心值為g=9.803 9 m／s2，置信度為0.95的置信區間為（9.803 9±0.023 006）m／s2，誤差為0.054%（當地標準重力加速度為g標準=9.798 64 m／s2），有效質量估計的中心值為M*=114.79 g，0.95的置信區間為（114.79±3.617 9）g.同樣利用方差傳遞公式，得到有效位形參數的中心值為=6.760 6 m m（M=116.3 g），置信區間為（6.760 6±0.0162 4）m m.利用python軟件繪制出T2-m的數據點及擬合函數并帶有誤差棒，如圖6所示.

圖6 實驗數據的回歸分析圖

6 誤差分析

在之前的討論中可知，為了確定重力加速度需要測量如下幾個物理量：旋轉中心到鋼尺零刻度的距離，這是誤差最大的來源，首先旋轉中心到50 cm刻度處的距離測量誤差會比較大，但不會超過1 m m；磁鐵的寬度并沒有達到20 m m，事實上只有約19.6 m m，因此在磁鐵上端與鋼尺的10 m m處重合的同時，磁鐵的重心并未與鋼尺的零刻度處重合，但誤差不會超過0.3 m m，總體而言旋轉中心到鋼尺的零刻度的距離誤差大約在1 m m左右.利用天平測量釹鐵硼磁鐵的質量時，系統誤差為0.1 g，但隨著磁鐵數量的增加，這個相對誤差會越來越小.振動周期利用相關軟件獲得，精度為10-4s，雖然有人為的誤差，但只要做到精細，這個誤差可以維持在10-4s.利用前面的計算，重力加速度可以寫為

利用誤差傳遞公式，重力加速度g的絕對誤差為

實驗的絕對誤差與相對誤差如表2所示.

表2 實驗數據誤差分析

7 結論

本實驗利用智能手機上的應用程序phyphox，利用手機自帶的磁傳感器測量復擺末端規則磁鐵運動的周期，并付諸以其他計算機軟件，比較廉價但準確地測量出了呼和浩特市當地的重力加速度，值為g=9.803 9 m／s2，相對準確的測量值誤差僅為萬分之五.這個實驗還成功地測量出了鋼尺頂端不規則部分的有效位形尺寸.利用復擺測量加速度有如下優勢：

第一，末端懸掛物為規則的條形磁鐵，磁鐵的中心剛好可以和鋼尺的末端重合，這就有效的減少了實驗中的誤差.

第二，不同于單擺實驗，復擺的運動周期依賴于擺錘的質量，可以通過懸掛多塊磁鐵獲得不同質量情況下的擺動周期，再利用回歸分析的方法，減小了實驗的偶然誤差，從而有效地提高了實驗的精度.

第三，結合智能手機上的應用程序，簡化了實驗流程但提高了實驗精度，通過手機傳感器采集數據，成本更加低廉，操作上更加簡易，而且數據獲取更加靈活.

此外，該實驗很好地展示了剛體旋轉與非剛體旋轉的區別，不論是在高中階段的教學中，還是在本科階段力學課程的教學中，乃至在計算物理相關課程的教學中，都具有重要的啟發意義.