“獵犬追狐貍”的大學(xué)物理解法

李開瑋 李振華 劉順彭

（廣東理工學(xué)院智能制造學(xué)院 廣東 肇慶 526100）

1 問題描述

獵犬追狐貍是一個十分有趣的問題，深入研究可以延伸到如何攔截來襲導(dǎo)彈的問題，具有一定的啟發(fā)意義.獵犬的初始加速度可以通過觀察獵犬經(jīng)過極短時間后，對速度求導(dǎo)得到［1］.更感興趣的應(yīng)該是獵犬追上狐貍需要的時間，以及軌跡問題.文獻［2］通過構(gòu)造矢量的乘積并求導(dǎo)，使時間微分前面的系數(shù)為常數(shù)，再求積分的方法巧妙地求出了追上所需的時間；而文獻［3］另辟蹊徑通過構(gòu)造虛力作功的方法，使虛力的功率恒定，虛力的功又能簡潔地求出來，這樣來得到追擊的時間.各有千秋.本文從大學(xué)物理的角度，利用運動分解結(jié)合定積分的知識探討獵犬追擊時間和軌跡.

如圖1所示，一只狐貍以不變速度u沿直線AB逃跑，一只獵犬以不變速率v追擊狐貍，運動方向始終對準狐貍，某時刻狐貍在F點，獵犬在D點，相距L，且FD⊥AB，問獵犬追上狐貍需要多長時間？

圖1 獵犬追狐貍示意圖

2 問題分析

如圖2所示，為獵犬運動的大致軌跡圖，運動中某時刻，獵犬運動方向與AB夾角為θ，根據(jù)圖像可知，獵犬與狐貍靠近的速度為v-ucosθ，初始時獵犬與狐貍相距L，當獵犬追上狐貍時，距離為零，設(shè)獵犬用時T，因此

圖2 獵犬運動軌跡

初始時獵犬與狐貍水平方向距離為零，獵犬追上狐貍時水平方向距離仍為零，獵犬水平方向分速度為vcosθ，因此可得

將式（1）兩邊乘以v，式（2）兩邊乘以u，相加可得

只要獵犬速率大于狐貍，就一定能追上狐貍.因此獵犬運動路程為

關(guān)于獵犬的運動軌跡，建立直角坐標系如圖3所示.

圖3 坐標系示意圖

根據(jù)幾何圖像可得

為方便處理，令cotθ=p，由式（5）可得

式（6）兩邊對x求導(dǎo)得

3 結(jié)束語

通過分析獵犬和狐貍的徑向和水平方向的相對速度、距離變化，作定積分，消去角度變量，能夠簡潔地求出獵犬追擊時間，與文獻［2，3］結(jié)果一致.該問題的中學(xué)和大學(xué)解法對比可以使學(xué)生對大學(xué)物理有一個更加深刻的認識，從中學(xué)過渡到大學(xué)學(xué)習(xí)階段.