從矛盾到統一 應用力學3種觀點綜合分析“提繩”模型*

余 潘 葉晟波

（浙江省慈溪中學 浙江 寧波 315300）

【原題】如圖1所示，一長為L密度均勻的柔軟繩，其單位長度的密度為λ.將其卷成一堆放在地面上.若手握繩的一端，以勻速v將其上提.當繩端提離地面的高度為x時，求手的提力F.

圖1 原題題圖

學生在處理分析問題時通常采用沖量與動量變化觀點和做功與能量轉化觀點，卻得到不一樣的結果.

1 沖量與動量變化觀點I=Δp

如圖2所示，將物體看作兩部分進行研究，第一部分：在空中長為x的繩做勻速運動；第二部分：長為Δx微元上端與第一部分下端發生作用，Δx微元下端恰好未與桌面上的繩子發生作用，經Δt時間第二部分微元Δx與第一部分共速.分別對第一、第二部分列式.因空中部分受力平衡有

圖2 兩部分繩受力示意圖

對微元部分由動量定理

由于作用力與反作用力

兩部分的重力分別為

由于Δxλg為小量［1，2］，可忽略

2 做功與能量轉化觀點W=ΔE

如圖3所示，同樣將研究對象分成兩部分，同上.在提力F作用下繩子向上勻速提升了一微元Δx，在此過程中可認為F為恒力.從能量變化的角度，整體重力勢能增加量等效為底部的第二部分微元Δx移至頂部所增加的重力勢能，整體的動能增加量為第二部分微元Δx增加的動能.

圖3 功能轉化等效圖

結果不一樣，問題出在哪？

分析比較兩種不同觀點得到的結果發現，應用做功與能量轉化觀點計算得到的提力F比應用沖量與動量變化得到的力要小一些.

我們的猜想：是否有機械能的損失沒有計入，而導致計算結果偏小？

類比的思路：一個質量為xλ的物體速度為v，與另一個靜止的質量為Δxλ的物體發生碰撞，達到共同速度，在此過程中存在機械能損失［3］，“提繩”模型是否正是因為該部分的機械能損失而導致計算結果的不一致？

驗證猜想：將“提繩”過程分成3個狀態.狀態1，空中x長段繩有速度v，受力平衡；狀態2，x+Δx長段繩有速度v共；狀態3，x+Δx長段繩有速度v.

從狀態1到狀態2過程中，x長段繩與Δx長段繩發生完全非彈性碰撞，速度變為v共，存在機械能損失E損.

狀態1到狀態2動量守恒

狀態1到狀態2損失的機械能

從狀態2到狀態3過程中，x+Δx長段繩在外力作用下速度從v共變化到v，考慮整個過程：從狀態1到狀態3，根據功能轉化的關系

與沖量與動量變化觀點得到的結果一致，驗證了猜想.

3 力與運動觀點F=ma

前面兩種模型都是將研究對象分成兩部分：空中x長段繩與將要與之發生作用的微元Δx長段繩，需要考慮兩部分之間的作用.現把整根繩子作為一個整體，不需要考慮內力，從受外力與質心運動的角度分析“提繩”模型［3］.如圖4建立一維坐標，空中x段繩質心坐標yC1=，桌面L-x段繩質心坐標yC2=0，整根繩子的質心坐標為yC，有

圖4 整體受力示意圖

質心位置坐標對時間求二階導數為質心加速度aC

發現質心沿豎直方向做勻加速運動［4］.

在豎直方向以整體為研究對象，根據

其中空中部分段繩子重力

對于靜止在桌面上的L-x段繩子

得F=xλg+λv2，與前兩種觀點得到的結果一致，再次驗證結果的自洽.

教學反思：力學3種觀點是力學體系中的核心組成部分，平時教學中應引導學生多角度綜合分析問題，經歷從矛盾到統一的探究過程，激發學生的質疑與探索精神，使學生對知識的理解更深刻，對方法的選擇與應用更嫻熟與合理.