“活潑”的追擊問題
——對第33屆全國物理競賽預賽題的思考

駱興高

（杭州第十四中學 浙江 杭州 310006）

倪國富

（浙江省柯橋中學 浙江 紹興 312030）

【題目】一足球運動員甲自A點向球門的B點踢出球，已知A和B之間的距離為s，球自A向B的運動可視為水平地面上的勻速直線運動，速率為u.另一足球運動員乙到AB連線的距離為l，到A，B兩點的距離相等.運動員甲踢出球后，運動員乙以勻速v沿直線去攔截該球.設運動員乙開始出發去攔截球的時刻與球被運動員甲踢出的時刻相同.

（1）如果運動員乙能攔截到球，求運動員乙開始出發去攔截球直至攔截到球的時間間隔、球被攔截時球到A點的距離、球到運動員乙出發點的距離和運動員乙運動的方向與A和B連線的夾角；

（2）求為了使運動員乙能攔截到球，u，v，s和l應當滿足的條件.

評卷時競賽委員會提供的參考答案如下：

（1）記運動員甲踢出球的時刻為零時刻.設運動員乙沿著與A和B連線夾角為θ的方向運動，球在時刻t被運動員乙攔截.令球被攔截時球到A點和運動員乙到出發點的距離分別為s1和s2，則

由幾何關系有

從式（3）、（4）消去θ，并利用式（1）、（2）得

這是關于t的一元二次方程.解為

由式（1）、（2）、（7）得

由式（4）、（9）得

（2）方程（6）有實數解的條件是

它是自動滿足的.綜上所述，式（12）、（14）、（15）即運動員乙攔截到球的條件.

當式（12）中大于號成立時，運動員乙可在兩處攔截到球；當式（12）中等號成立時

運動員乙只能在一處攔截到球.

參考答案流程看下來類似于代數運算，并且解答過程不僅不完整且有誤區，題目的本身是開放的，球運動速率u和足球運動員追擊速率v之間的大小關系題中并沒有明確，應考慮各種可能性，事實上筆者閱卷時發現參賽學生幾乎沒有按以上解題思路，閱卷老師對參考答案也提出了不少質疑，筆者認為完整的解答應按如下幾種情形討論：

如果以球為參考系，那么球是靜止的，運動員乙在向球運動，乙在球的參考系中，既有向左的速度u，又有對地參考系中的速度v，u和v的合速度v21指向A.

如圖1所示，圖中α為運動員乙在初始位置時與運動員甲連線和AB之間的夾角，θ為運動員乙運動方向與運動員乙在初始位置時與運動員甲連線之間的夾角.

圖1 以球為參考系時，運動員乙的運動

第1種情形如圖2所示，當v＞u時，usinα=vsinθ，sinθ=，令球被攔截所需時間為t，則

圖2 v＞u時情形

題中明確要求運動員乙運動方向和AB之間的夾角，即圖中的β.因此原參考解答中僅用θ表示方向值得商榷的，應表述為

第2種情形如圖3所示，當v=u時，θ=α

圖3 v=u時情形

第3種情形如圖4所示，當usinα＜v＜u時

圖4 u sinα＜v＜u時情形

第4種情形如圖5所示.

圖5 v=u sinα時情形

當v=usinα時，即

第5種情形v＜usinα，如圖6所示，無解.

圖6 v＜u sinα時情形

分類討論是一種重要的物理思想，如果面臨的問題不能以統一的同一種方法處理或同一種形式表述、概括，那么就需要把一個復雜的問題按一定的標準分割成若干個簡單的問題（本文中的標準能攔截到球），再逐一分析解決，得出每一類的相應結果，再綜合各結果，得到最終答案的一種思想方法，也是近幾年物理競賽考題的一大熱點［1，2］.