源于模型，變式拓展，實(shí)現(xiàn)教學(xué)價(jià)值最大化
——對(duì)一類含45°角幾何問題的探究實(shí)踐

■朱建良

羅增儒教授說過，數(shù)學(xué)解題有四步：記憶模仿、變式練習(xí)、自發(fā)領(lǐng)悟、自覺分析。其中，自發(fā)領(lǐng)悟?qū)哟蔚囊筝^高，它是對(duì)解題內(nèi)蘊(yùn)的深層結(jié)構(gòu)進(jìn)行剖析，是從感性層面到理性層面來認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)特征。而在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，將系列變式問題與課堂生成的問題進(jìn)行整合，巧妙穿插，能使學(xué)生達(dá)到較好的融會(huì)貫通、自發(fā)領(lǐng)悟的學(xué)習(xí)效果。

下面是對(duì)一類含45°角幾何問題的探究實(shí)踐，從模型出發(fā)，通過挖掘教材、一題多解、變式拓展，彰顯解題方法蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想以及每個(gè)環(huán)節(jié)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維價(jià)值，以期提高學(xué)生的思辨推理能力，實(shí)現(xiàn)教學(xué)價(jià)值的最大化。

一、品味模型，睿智追問

模型呈現(xiàn)：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、BC邊上，AB=9，F(xiàn)C=2BF，CE、AF交于點(diǎn)G，且∠AGE=45°，求CE的長(zhǎng)。

圖1

對(duì)問題進(jìn)行多樣化探究可以概括事物的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，教給學(xué)生獲取知識(shí)的方法，激發(fā)學(xué)生的思維。探究這類正方形背景下的含45°角的幾何問題時(shí)，教師可以適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想、分析，在類比中思考，避免思維定式。

師：正方形是個(gè)完美的特殊圖形，由題意可聯(lián)想到正方形的“半角模型”。如圖2所示，在正方形ABCD中，∠FAM=45°，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)N，使BN=DM，則有結(jié)論FM=BF+DM。那么，圖1與“半角模型”有什么關(guān)系呢？

圖2

生1：在圖1中可以構(gòu)造“半角模型”。過點(diǎn)A作EC的平行線，交CD于點(diǎn)M，連接FM，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)N，使BN=DM，利用“半角模型”以及勾股定理，可求出CE（圖略）。

師：很好，學(xué)會(huì)聯(lián)想模型，便水到渠成。能否另辟蹊徑，建構(gòu)直角三角形求解呢？

生2：可以，過點(diǎn)C作AF延長(zhǎng)線的垂線，并過點(diǎn)F作CE的垂線，利用線段比例可求出CE。

師：如果在圖1中連接AC，能證明嗎？

圖3

生3：可以。如圖3，過點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H?！?+∠2=∠3+∠4=∠2+∠3=45°，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴tan∠1=tan∠3=，F(xiàn)C=6，F(xiàn)H=HC=，AH，∴tan∠2=tan∠4=，∴BE=，∴EC=。

師（追問）：生3的研究框架是如何構(gòu)建的？順勢(shì)再研究，還有不同的求解方法嗎？

生4：有。如圖4，連接AC，過點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，tan∠1=tan∠3=（生3的解法）。設(shè)EH=x，則HC=3x，AC=4x=，∴x=，∴CE=。

圖4

師：很精彩，連老師都沒有發(fā)現(xiàn)這種方法。如圖5，過點(diǎn)A作AM∥EC交DC于點(diǎn)M，大家觀察圖形，可發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？

圖5

生5：有tan∠DAM=tan∠ECB，還有平行四邊形AECM，求出MC，就能得到EC。

此時(shí)，有學(xué)生提出，也可通過證明Rt△ADM≌Rt△CBE或過點(diǎn)A作CE延長(zhǎng)線的垂線來解決問題。生3構(gòu)造直角三角形，將角自然轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，由特殊位置建立邊的數(shù)量關(guān)系，為學(xué)生進(jìn)行深度思考添加了催化劑，引爆了學(xué)生的思路，令人意外又合情合理，突顯了數(shù)學(xué)思維，真正體現(xiàn)了“知識(shí)與技能”的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

師：我們要學(xué)會(huì)觀察，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。這個(gè)案例隱藏了豐富的內(nèi)涵，這幾位同學(xué)的解法背后蘊(yùn)藏了什么樣的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)或數(shù)學(xué)思想？

通過解法剖析，挖掘正方形中45°角問題的橫向聯(lián)系，體現(xiàn)了基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系性；由基本的模型出發(fā)，添加輔助線，變換圖形位置，發(fā)展了學(xué)生的多向思維方式；由數(shù)到形，對(duì)幾何題的條件進(jìn)行變式，對(duì)問題進(jìn)行深度探究，既體現(xiàn)了研究問題的方法多樣性，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，逐步完善了學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)了學(xué)生舉一反三的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

二、變式模型，意義建構(gòu)

變式：如圖6，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)F在BC上，且BF=AC。點(diǎn)E在AC上，且AE=CF，AF與BE相交于點(diǎn)P，求證：∠BPF=45°。

圖6

師：請(qǐng)大家思考，如何在Rt△ABC中構(gòu)造數(shù)學(xué)模型？

生6：如圖7過點(diǎn)B作BC的垂線，取BD=FC，連接DF、AD，即可證明。

圖7

生7：過點(diǎn)F作BC的垂線，取FD=FC，連接BD、DE，利用全等三角形（圖略），也能證明。

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)原模型做變換，把問題情境放置在三角形中，延續(xù)了對(duì)之前問題的研究，化未知為已知，發(fā)散了學(xué)生的思維，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

三、深化問題，一般化結(jié)論

拓展：如圖8，梯形OABC，OA∥BC，OA=4，OC=，BC=1，AB=，∠COD=45°，求AD。

圖8

師：?jiǎn)栴}情境變化為梯形中的45°角問題，與變式問題的圖形相比，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生8類比生6的解法，延長(zhǎng)線段OC、AB至相交，由構(gòu)造三角形全等轉(zhuǎn)化為構(gòu)造三角形相似來解決問題

師（追問）：大家看看從形的角度能否尋找到思路。如果連接OB，有相似三角形嗎？

生9：有，△BCO∽△ADO，再算出BO，由線段之比即可得到AD。

構(gòu)造相似三角形，構(gòu)圖簡(jiǎn)潔，計(jì)算量小，這些解法自然也是一種更優(yōu)化的解法。本拓展突出了問題變式中圖形本質(zhì)屬性的一致性，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解基本圖形關(guān)鍵屬性的變化，加深學(xué)生對(duì)圖形相似的理解。

生10：如圖9，延長(zhǎng)線段AO至F，使OF=1，連接CF，過點(diǎn)C作CE⊥AF于點(diǎn)E。構(gòu)造等腰直角三角形CEF，∴∠CFO=45°，∴∠COD=∠CFO=45°，∴∠FCO=∠DOA。

圖9

師：為什么截取OF=1？構(gòu)造Rt△CEF有類似方法嗎？為什么要構(gòu)造Rt△CEF？

生11：連接OB，△OBA為等腰直角三角形，截取OF=BC=1，可構(gòu)造出等腰Rt△CFE。

生12：也可直接作∠CFE=45°。

生13：證明△COF∽△ODA，然后求出AD。

學(xué)生思維活躍，研究氛圍濃郁。設(shè)計(jì)系列變式問題，不斷變換知識(shí)的非本質(zhì)特性，讓新知識(shí)和學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)建立有意義的關(guān)聯(lián)；合理轉(zhuǎn)化梯形中的45°角問題，在拓展變化的過程中突出知識(shí)的關(guān)鍵屬性，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，構(gòu)造相似三角形或直角三角形，展現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程，有助于學(xué)生掌握一般化的方法。

至此，探究完成。在教學(xué)中，教師如果嘗試由基本圖形出發(fā)，變式拓展問題，一題多解，一題多變，類比探究，不僅能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還能豐富解題方法，使學(xué)生舉一反三，觸類旁通，認(rèn)清問題本質(zhì)，深化對(duì)問題本質(zhì)的理解，收到事半功倍的效果，有效提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。