柔順停歇機構偽剛體模型的運動學和動力學分析

獨亞平，趙春花，郭嘉輝，周 川，張立強

（上海工程技術大學機械與汽車工程學院，上海 201620）

柔順機構是一種利用自身柔性構件的變形來轉換運動、力和能量的新型機構［1-2］。與傳統剛性機構相比，它免去了運動副間的裝配、摩擦和磨損，在很多特殊場合得到應用，近年來成為機構學領域的一個研究熱點。雖然柔順機構具有獨特的性能和廣泛的應用，但由于柔性構件在運動過程中會產生大變形行為，這種幾何非線性行為增大了柔順機構分析和設計的困難［3-4］，阻礙了其更深入的發展。為了較簡便地分析柔順機構，Ling等［5］提出了偽剛體模型法，用具有等效的力與變形關系的剛體構件來模擬柔性構件的變形，目的是將柔順機構的非線性問題轉化為等效剛性機構的線性問題來求解，這為柔順機構的進一步研究奠定了基礎。由于最初提出的1R偽剛體模型對大變形柔順桿的模擬精度不高［6］，研究者通過增加模型中轉動副的個數或考慮軸向變形的影響陸續提出了2R、3R、PR以及PRR等偽剛體模型以提高模擬精度［7-10］。

為了滿足高效生產和多種工藝規范的要求，在許多機械自動生產線中，經常須將主動件的等速連續轉動轉變為從動件周期性的間歇運動，來進行加工、換位、分度、進給、換向、供料、計數和檢測等工藝操作。含有該類從動件的機構稱為停歇機構［11］，其主要應用在紡織、食品、印刷等輕工業的機械中。由于該類機構須長時間作周期性運動，其中的剛性桿件會因為相互摩擦而受到累積的損傷，最終導致機構發生疲勞失效。針對剛性停歇機構的缺點［12-13］，研究者在停歇機構中引入柔順構件（如柔性桿、柔順鉸鏈等），以降低或者消除構件之間的摩擦、磨損，改善機構的運動性能［14］。此外，剛性機構實現間歇運動一般需要6～8根桿，而柔順機構只需5根桿甚至更少，凸顯了柔順停歇機構的優勢。Sonmez［15］在2000年和2007年分別設計了2種柔順長停歇機構：一種由滑塊、機械止動器、彈簧和扣梁組成；另一種由銷接扣梁、滑塊、曲柄和柔性弧組成。他研究了這2種機構的動態模型，提出了實現所需停留時間的設計步驟。2010年肯尼索州立大學機械工程系的Tekes等［16］設計了一種旋轉停歇機構，采用了一種柔性折疊臂梁，并在滑動質量塊上附加了曲柄從動件，利用狀態反饋線性化和 PID（proportion-integration-differentiation，比例-積分-微分）控制器，通過滑塊的運動來控制曲柄角。2019年Tekes等［17］又設計了一種部分柔順的新型平移停歇機構，基于彈性理論研究了依賴于機構幾何形狀和載荷的彈性構件的運動學行為，通過實驗測量和ADAMS（automatic dynamic analysis of mechanical systems，機械系統動力學自動分析）仿真驗證了動力學分析結果的正確性。

隨著柔順停歇機構的不斷設計和改進，其逐漸替代剛性停歇機構而廣泛應用于自動化機械設備，例如包裝機的送料機構、印刷機的進紙機構和裝配機器人等［18］，對其性能的要求也越來越高。相比于傳統的平面剛性連桿停歇機構，柔順停歇機構雖然有很多優點，但也存在一些力學問題。譬如：如果長時間承受交變應力或者工作溫度升高，其柔性構件會出現蠕變或者應力松弛等現象［19］。此外，柔性構件的固有頻率不僅是反映機構動力特性的一個重要指標，也是影響機構動態性能的重要因素［20］。目前對柔順停歇機構力學特性方面的研究較少。準確地對柔順停歇機構進行建模并深入分析，將對柔順停歇機構的優化及應用起到重要的作用。

基于此，筆者采用偽剛體模型法對一柔順停歇機構進行建模，并進行相應的運動學和動力學分析。首先，基于大撓度理論對大變形柔性梁進行屈曲分析，擬合得到其載荷與位移的關系式，并根據柔性梁的受力特性及結合邊界條件得到其對應的非線性彈簧偽剛體模型；其次，通過建立的機構偽剛體模型，運用牛頓定律建立機構的運動學方程，求解滑塊位移隨時間及曲柄轉角的變化曲線，以此分析機構的運動特性；最后，推導機構的動力學方程，求解機構的固有頻率，揭示機構固有頻率與構件結構幾何參數及材料性能參數之間的關系。

1 柔性梁等效偽剛體模型

柔順機構的運動過程往往伴隨著柔性構件的非線性大變形，因此采用便于分析的偽剛體模型法對柔順停歇機構的柔性梁建模，并基于大撓度理論進行屈曲分析，為接下來機構的運動學和動力學分析打下基礎。

柔順停歇機構如圖1所示。機構由兩端鉸接的初始狀態為直梁的柔性長梁、預加載的柔性短梁、剛性曲柄、滑軌系統和驅動電機組成。圖中：XB為電機支架與滑塊中心之間的水平距離；XC為電機支架與短梁支架之間的水平距離；H為滑塊中心與短梁支架之間的垂直距離。該機構其余的相關參數如表1所示。該機構主要利用柔性梁的屈曲行為獲得間歇運動，其工作原理如下：當曲柄開始旋轉時，滑塊由于短梁的預加載不會移動；當短梁的預加載達到初始直柔性長梁的臨界屈曲載荷時，滑塊會快速到達右極限位置；滑塊在返回過程中，因為短梁的翹曲，也會產生短暫停頓。

表1 柔順停歇機構相關參數Table 1 Relevant parameters of compliant dwell mechanism

柔順停歇機構柔性長梁的受力如圖2所示。

圖2 柔性長梁的受力Fig.2 Stress of flexible long beam

分別求柔性長梁上水平和豎直方向上的力Px、Py，并對A點取矩，得到：

式中：PxA、PxB分別為柔性長梁左端和右端的水平分力；PyA、PyB分別為柔性長梁左端和右端的豎直分力。

通過以上靜力分析可知，柔性長梁只受沿鉸鏈相連方向的作用力，且其端點的變形也沿著與鉸鏈相連的方向，如圖3所示，這與彈簧的變形一致。

圖3 柔性長梁的變形Fig.3 Deformation of flexible long beam

對于兩端鉸接、軸心受壓的柔性長梁而言，其線性臨界載荷Fcr3為：

式中：E為長梁的彈性模量，I3為長梁的慣性矩。

因為長梁在剛度最小的平面內彎曲，所以I3取橫截面的最小慣性矩I3min：

將相關參數值代入式（4），可以求得：

同理，可求得柔性短梁的臨界線性載荷Fcr5為：

由于該柔順停歇機構的柔性梁經歷的是大變形，存在幾何非線性，所以要根據大撓度理論求解其非線性臨界載荷。由文獻［21］可知大撓度柔性長梁基本微分方程是：

式中：θ為柔性長梁上任意一點處的轉角；P為柔性長梁受到的軸向載荷。

對式（8）兩邊進行積分，得：

對式（9）取平方根，分離變量后得：

式中：ds為梁的長度微元；梁向上屈曲時取“-”，向下屈曲時取“+”。

如圖3所示梁向上屈曲，則對式（10）取“-”，得：

式中：φ為撓曲線轉角，取值為（）。

對公式（11）從梁的一端（s=0mm，）到梁的中點（，θ=φ=0°）進行積分，得：

該積分稱為第一類完全橢圓積分，表示橫向載荷P與θ0之間的關系。

柔性長梁的初始軸向距離為x，現計算撓度v和變形后柔性長梁的軸向距離x′。針對梁的向上屈曲，根據式（10），可得：

從φ=0°到進行積分，得到柔性梁上任一點關于s和θ的函數v和x′為：

式（14）為第二類完全橢圓積分。

由圖3可知，最大撓度位于柔性長梁的中點，因此該梁的最大撓度vmax和x′的精確解為：

由于本文中柔順停歇機構柔性梁鉸接兩端不承受任何力矩，所以可基于彈性理論來求得載荷-位移曲線。根據以上對柔性梁的屈曲變形分析，并結合柔性構件的實際受力情況，則采用第一類和第二類橢圓積分的高度隱式控制微分方程［21］可以定義為：

式中：Q為柔性長梁的垂直加載力；和是第一類和第二類完全橢圓積分，其詳細定義可以參考文獻［1］，為：

聯立上述方程進行求解，當柔性梁對稱變形并且當柔性短梁的初始角度為45°時，可以將高階多項式擬合為圖4所示的柔性長梁的載荷—位移曲線。

圖4 柔性長梁的載荷—位移曲線Fig.4 Load-displacement curve of flexible long beam

同理可得柔性短梁的載荷—位移曲線。經過整理得到2根梁載荷—位移關系的表達式分別為：

式中：u和f分別為歸一化無量綱的位移和載荷：

式中：Δx=x-x′，為柔性梁在水平方向的變形量。

由于機構鉸接的柔性梁以彈簧的形式儲存和釋放能量，所以2個柔性梁的運動模型都可以用具有相同載荷—位移特性的彈簧來代替，如圖5所示。

圖5 柔性梁的偽剛體模型Fig.5 Pseudo-rigid body model of flexible beam

公式（22）和（23）給出了2根柔性梁的載荷—位移關系式，則整理化簡成等效非線性彈簧的軸向載荷FNL與位移x1的關系，得到：

2 柔順停歇機構運動學分析

2.1 柔順停歇機構的偽剛體模型

假設滑塊總保持與機架接觸，其運動時的摩擦阻力可以忽略不計，且柔性片段在不變形時是直的。隨著曲柄的旋轉，曲柄的質心沿著預定的路徑變化。根據上述分析可知，該柔順停歇機構中2根柔性梁精確的運動學模型都可以等效為非線性平移彈簧，因此該柔順停歇機構的整體偽剛體模型如圖6所示。其中：θ3為偽剛體等效轉角，即柔性長梁與水平方向的夾角；θ2為曲柄轉角，曲柄與水平方向的夾角；θ5為短梁與水平方向的夾角。

圖6 柔順停歇機構偽剛體模型Fig.6 Pseudo-rigid body model of compliant dwell mechanism

2.2 滑塊的運動學方程

在整個運動過程中滑塊的位置如圖7所示。由于短梁的預加載作用，滑塊只存在初始位置和右極限位置。滑塊在初始位置時，設定θ2=180°，且順時針旋轉為正值，θ3=180°，θ5=45°，XC=350 mm，H=80 mm，且滑塊的初始位置與電機支架的距離XB0=130 mm。

圖7 滑塊的位置Fig.7 Position analysis of the slider

運動過程中滑塊的受力如圖8所示。通過分析可知：

圖8 滑塊的受力Fig.8 Stress of the slider

滑塊運動的位移xs為：

采用牛頓運動定律，由滑塊的受力可知滑塊的運動方程為：

式中：c0為阻尼，在計算中取為0 N/（m/s）。

2.3 基于MATLAB/Simulink的求解與ADAMS驗證

根據式（22）至式（32），建立以曲柄角為輸入、滑塊位移為輸出的機構運動的數學模型，如圖9所示。

圖9 以曲柄角為輸入、滑塊位移為輸出的機構運動的數學模型Fig.9 Mathematical model of mechanism motion with crank angle as input and slider displacement as output

采用MATLAB/Simulink軟件對該模型進行求解，來獲得在任何給定曲柄轉角下滑塊的位移。該機構的停歇可以通過3個運動函數來表示：上升（向前運動）、停留（保持位置）和返回（向后運動）。采用四階Runge Kutta微分求解器，以0.02 s的固定步長求解系統方程，持續12 s。輸入表1所示的的機構參數，并以3 rad/s的角速度驅動曲柄，求解滑塊位移隨時間以及曲柄轉角的變化曲線。

基于MATLAB/Simulink求解和ADAMS仿真得到的滑塊位移隨時間的變化曲線如圖10所示。通過對比可以看到，ADAMS仿真結果與基于MATLAB/Simulink的求解結果基本吻合，證明機構運動的數學模型是正確的。由圖可知，滑塊最初保持靜止，當短梁的預加載力達到長梁的臨界屈曲載荷時，滑塊快速運動直至右極限位置。在曲柄返回過程中，被壓縮的短梁逐漸得到釋放，其屈曲載荷逐漸減小到不再對長梁產生阻礙作用。在這個過程中，短梁由于釋放前的翹曲，還會使滑塊產生1次停頓，繼而回到初始位置。該機構中，第2次停頓是瞬時的，因為水平力的微小變化會在后屈曲區域引起柔性梁相當大的位移。綜上可知，該機構具有雙停歇特性，在曲柄整個運動周期中存在1次精準停頓和1次瞬時停頓。

圖10 滑塊位移隨時間的變化曲線Fig.10 Variation curve of slider displacement with time

滑塊位移隨曲柄轉角的變化曲線如圖11所示。由圖可知，在曲柄整個運動周期中存在主要停歇區和次要停歇區兩個不同的停歇區，主要停歇區是精準停歇區，次要停歇區是瞬時停歇區。機構的主要停頓出現在曲柄角為540°～630°之時，次要停頓出現在曲柄角為360°～400°之時，因此在曲柄一周360°的旋轉中，機構停頓的對應角度約為130°，滑塊停頓時間約為曲柄旋轉1周所用時間的。

圖11 滑塊位移隨曲柄轉角的變化曲線Fig.11 Variation curve of slider displacement with crank angle

3 柔順停歇機構頻率特性分析

3.1 柔順停歇機構的動力學方程

固有頻率是評價機構內在特性的重要指標。下面通過推導柔順停歇機構偽剛體模型的動力學方程來研究機構的固有頻率特性。

3.1.1 動能分析

1）曲柄動能。

曲柄只存在繞支架的轉動，所以只有轉動動能。其轉動動能T2可以表示為：

式中：J2為繞質心軸的的轉動慣量，。

2）滑塊的動能。

滑塊動能T4為：

3.1.2 勢能分析

柔性長梁的變形量Δx3為：

柔性短梁的變形量Δx5為：

假設機構位于垂直于重力的平面內，則機構的勢能為等效的彈簧勢能。非線性彈簧的勢能Ui（i=3，5）求解如下：

柔性長梁和短梁的軸向載荷可由式（25）和（26）求出，然后代入式（37）即可求得等其效非線性彈簧勢能。

3.1.3 動力學方程

用Lagrange方程描述機構的數學模型為：

式中：T為機構總勢能；U為機構總動能；Q為機構外在施加載荷。

由上述計算可知：

將式（39）代入式（38），可得：

進一步整理式（42），得到只含有未知量θ2的表達式為：

3.2 固有頻率求解及分析

可以得出：

據此可以得到該柔順停歇機構的固有頻率特性為：

2）當機構的材料性能參數和柔性梁的長度固定時，ω∝h3，即固有頻率與柔性長梁的截面厚度成正比。

4 柔順停歇機構頻率特性仿真

為了更直觀、清晰地展現機構固有頻率與各參數之間的關系，通過MATLAB軟件進行仿真研究。

4.1 機構固有頻率與柔性長梁截面參數的關系

機構共有2根柔性梁，根據式（43）可知機構固有頻率只與柔性長梁的最小慣性矩有關，所以只改變柔性長梁的截面厚度h3，保持其他參數不變進行仿真。當h3=1.06，1.50，1.94，2.38，2.82，3.26 mm時，機構的固有頻率如圖12所示。由圖可知，ω隨著h3的增大而線性提高，表明ω與h3成正比的推論是正確的。

圖12 柔性長梁截面厚度對機構固有頻率的影響Fig.12 Influence of section thickness of flexible long beam on natural frequency of mechanism

只改變柔性長梁的截面寬度b3，保持其他參數不變。當b3的變化范圍為20～30 mm時，機構的固有頻率如圖13所示。由圖可知，ω隨著b3的增大略有提高，但是提升的幅度非常小，說明ω基本不會隨著b3的變化而變化。

圖13 柔性長梁截面寬度對機構固有頻率的影響Fig.13 Influence of section width of flexible rod on natural frequency of mechanism

4.2 機構固有頻率與柔性梁長度的關系

首先，只改變柔性長梁的長度l3，當l3的變化范圍為200～300 mm時，機構的固有頻率如圖14所示。其次，只改變柔性短梁的長度l5，當l5的變化范圍為110～220 mm時，機構的固有頻率如圖15所示。

圖14 柔性長梁長度對機構固有頻率的影響Fig.14 Influence of length of flexible long beam on natural frequency of mechanism

圖15 柔性短梁長度對機構固有頻率的影響Fig.15 Influence of the length of flexible short beam on natural frequency of mechanism

由圖14、圖15可知，系統固有頻率隨著梁長度的增大而迅速下降。因此，可以認為柔性梁越長，機構的柔度越大，而剛度的降低會造成梁的振動加大，這對機構控制及其對抗外部干擾很不利。

4.3 系統固有頻率與材料性能參數的關系

表2 選用不同柔性梁材料時機構的固有頻率Table 2 Natural frequency of mechanism with different flexible beam materials

4.4 小結

不同的參數對機構固有頻率的影響各不相同，因此，在柔順停歇機構設計時要綜合考慮各參數對機構力學特性的影響。

5 結論

1）通過屈曲分析將兩端鉸接的柔性梁等效為非線性彈簧，并求出其載荷—位移關系式，得到便于分析的機構運動學模型。采用MATLAB/Simulink軟件求解得到滑塊位移隨時間及曲柄轉角的變化曲線，并通過ADAMS仿真驗證了理論計算的正確性。得到該停歇機構的運動特性：由于短梁預加載以及在運動過程中柔性梁的大變形，機構存在2次停頓?；瑝K停頓時間約為曲柄旋轉1周所用時間的1/3，滑塊位移達到最大值后存在短暫停頓。

2）基于機構偽剛體模型，建立了以柔性梁大變形為主要特征的柔順停歇機構動力學模型，推導了只含變量θ2的變系數二階系統動力學方程。求解并研究了柔順停歇機構的固有頻率特性，通過MATLAB仿真更直觀地揭示了柔性長梁的截面參數、柔性梁長度和材料性能參數對機構固有頻率的影響規律。不同的參數對機構固有頻率的影響是不同的，因此，在柔順停歇機構設計時要綜合考慮各參數對機構力學特性的影響。這對柔順停歇機構的設計及其進一步的動力學研究具有一定的指導意義。

3）將來須對平面連桿型柔順停歇機構的工作性能進行進一步改善，使得停歇機構的結構更為緊湊、生產效率更高以及使用壽命更長，努力設計出結構簡單、性能優良、方便分析的柔順停歇機構，以減少機構的制造時間和成本。