基于ARIMAX模型的華南臺風直接經濟損失的預測模型

倪增華

（南寧學院通識教育學院，廣西 南寧 530200）

0 引言

臺風是一種極端的氣象災害，其登陸時的狂風暴雨往往會給登陸地區造成損失。我國是全球受臺風影響比較嚴重的國家之一，特別是華南的沿海區域，臺風登陸頻繁，造成的損失也非常嚴重。例如2015年第22號臺風“彩虹”曾先后登陸廣東、廣西兩地，使779.899萬人受災，直接經濟損失高達288.088 7億元。目前，我國已有一些專家和學者針對華南臺風造成的災害開展了分析和研究。例如劉合香等人利用信息擴散技術構建了華南極端臺風災害的風險評估體系。王萌等人根據Copula理論計算了華南臺風致災因子的重現期，從而評估了臺風災害的受災程度。徐慶娟等人運用二維云信息擴散及三維云信息擴散原理提出了一個估計臺風災害風險的模型。

時間序列分析作為一種動態預測方法被廣泛地應用于多個領域。其中，ARIMA模型和ARIMAX模型是學者的研究重點。孫軼軒等人將ARIMA模型與信息粒化的SVR模型綜合起來對道路交通事故的受傷人數進行趨勢預測。劉珊等人通過建立ARIMA乘積季節模型對臺風的生成頻次進行預測。呂曉麗等人將氣象因素作為輸入變量建立ARIMAX模型，并利用該模型預測了流行性感冒的流行趨勢。萬萌裕等人基于鋼材價格和焦炭價格的傳導關系構建了ARIMAX模型，以預測焦炭價格的變化趨勢，從而探究歷史數據對該模型預測精度的影響。結果表明，ARIMA模型和ARIMAX模型在預測方面有較好的應用。但是，目前還沒有學者運用ARIMAX模型理論將致災源和災情相結合來探究登陸臺風導致災情的案例。而臺風災情的發生常常與登陸臺風的風速、降雨以及登陸時長有很大的關系，因此該文嘗試將華南登陸臺風的登錄時長、登錄時最大風速及降雨極值作為輸入變量來構建ARIMAX模型，從而探究華南地區（該文指廣東、廣西以及海南）登陸臺風災情的直接損失。

1 ARIMAX模型理論

ARIMA模型為時間序列模型中最常用的預測模型，但該模型只能針對一維時間序列進行預測分析，無法預測研究實際問題中常見的多維時間序列。因此，BOX GEORGE E P等人于1976年提出了帶有輸入變量的ARIMA模型，也就是動態回歸模型ARIMAX模型。其建模過程如下：1） 序列平穩性檢驗。檢驗響應序列{y}和輸入序列{}，{}…{x}（=1，2，…，）（為序列中所含數據的個數；為輸入變量的個數）的平穩性，如果序列平穩，就可以開展下一步工作；如果序列非平穩，則需要適當地對相應序列進行差分，直至序列平穩。2） 模型識別。對經過階差分后的輸入序列{x}建立ARMA（,）模型，如公式（1）所示。其中，模型中的、值可根據序列的自相關系數和偏自相關系數的性質來確定。3） 確定回歸模型結構。考察階差分后的響應序列{y}及輸入序列{x}（=1，2，…，）的相關系數，確定ARIMAX模型的結構，如公式（2）所示。4）擬合殘差序列{ε}，如公式（3）所示。5） 模型預測。用構建的模型預測序列未來的趨勢。

式中：為第個輸入序列的延遲階數；Φ（）為第個輸入序列的移動平均系數多項式；Ψ（）為第個輸入序列的自回歸系數多項式；ε為回歸殘差序列；為延遲算子；Φ（）為第個輸入序列的移動平均系數多項式；Ψ（）為第個輸入序列的自回歸系數多項式；ε為第個輸入序列的回歸殘差序列；（）為殘差序列的移動平均系數多項式；（）為殘差序列的自回歸系數多項式；a為零均值的白噪聲序列。

2 華南臺風直接經濟損失預測模型的構建

2.1 數據來源

該文研究的登陸華南臺風致災源數據來源于1984—2014年中國熱帶氣旋年鑒以及2015—2016年中國天氣臺風網。臺風直接經濟損失數據來源于1984—1999年中國氣象災害大典、2000—2003年廣東省、海南省和廣西氣候中心以及2004—2016年中國熱帶氣旋年鑒。以{y}、{}、{}以及{}分別表示1984—2015年登陸華南臺風的48個樣本的直接經濟損失（單位為10億元）、登陸時長（單位為h）、登陸時最大風速（單位為m/s）及降雨極值（單位為cm）序列。

2.2 平穩性檢驗

1984—2015 年登陸華南三省的臺風數據序列如圖1（a）所示。根據圖1（a）可知，這48個臺風樣本的直接經濟損失、登錄時長、登錄時最大風速及降雨極值序列均呈現不同程度的上升趨勢，因此可以認為這4個原始數據序列可能是非平穩的。對這4個原始數據序列進行ADF檢驗（表1），結果顯示其值均大于0.05的顯著水平，因此不能拒絕序列非平穩這一原假設，最終可以判斷4個原數據序列是非平穩的。為了去除趨勢，對原始數據序列均進行一階差分，得到新的序列為Δ、Δ、Δ以及Δy，一階差分后的序列如圖1（b）所示。根據圖1（b）可知，4個差分后的數據序列較為平緩，經過ADF檢驗發現，其值均小于0.05。因此，在顯著水平為0.05的情況下，可以拒絕ADF檢驗序列非平穩的原假設，認為序列已經平穩。

圖1 數據序列圖

表1 ADF檢驗結果

2.3 輸入序列建模

對輸入序列Δ、Δ以及Δ建立ARMA模型，根據R軟件中的auto.arima命令識別各序列的最優模型，由此確定輸入序列Δ、Δ以及Δ的模型均為MA（1）模型，具體模型如公式（4）~公式（6）所示。

2.4 確定ARIMAX模型

為了確定ARIMAX模型，分別畫出序列Δy與Δ、Δ以及Δ的互相關系數圖（圖2）。根據圖2可知，Δy與Δ的互相關系數在延遲三階時超出臨界值，顯著非零，即這2個序列有三階滯后效應。Δy與Δ的互相關系數在延遲零階時互相關系數最大，超過0.7，說明這2個序列無滯后效應。Δy與Δ的互相關系數在延遲三階時達到最大，不妨認為這2個序列有三階滯后效應。經過大量計算和分析可知，ARIMAX模型結構如公式（7）所示。

圖2 與 Δx1k、Δx2k以及 Δx3k的互相關系數

運用最小二乘估計法對模型進行擬合，擬合的ARIMAX回歸模型如公式（8）所示。

對擬合殘差序列進行Ljung-Box檢驗，檢驗結果顯示，當序列延遲6期時，檢驗結果值為0.628 9，而當序列延遲12期時，檢驗結果值為0.521，均大于0.05的顯著水平，這說明殘差序列不能拒絕純隨機的原假設，可以認為殘差序列為白噪聲序列。同時，還可以說明經ARIMAX回歸模型已充分提取信息，擬合效果良好。根據圖3可知，一階差分后的直接經濟序列部分階段的擬合值和實際值雖有一定的差距，但整體擬合值能夠描述實際值，且對實際值的波動處反映較好，這說明ARIMAX回歸模型能夠很好地反映序列的趨勢。

圖3 一階差分直接經濟損失擬合圖

2.5 模型預測及模型對比

根據2016年的2個華南臺風的登錄時長、登錄時最大風速及降雨極值數據，并運用擬合的ARIMAX模型對相應臺風的直接經濟損失進行預測，預測結果見表2。由預測值與實際值的誤差百分比可見，其值均未超過0.3%。由于臺風造成的直接經濟損失不僅受臺風本身的影響，還與人類應對臺風的措施有關（其值波動較大），因此該模型的預測值具有一定的參考價值。

表2 直接經濟損失預測結果

針對直接經濟損失序列構建ARIMA模型，經運算發現其較好的擬合模型為ARIMA（0，1，1）模型，再構建其擬合模型，如公式（9）所示。

模型預測結果見表3。通過比較ARIMA（0，1，1）模型和ARIMAX模型的擬合效果可知，ARIMAX模型的AIC值以及平均相對誤差值都比ARIMA（0，1，1）模型小很多，說明采用帶有多個輸入序列的ARIMAX模型要比單純考慮序列本身特征的ARIMA模型的預測效果更好。

表3 模型預測效果比較

3 結語

該文根據ARIMAX模型理論，利用1984—2015年登陸華南臺風的直接經濟損失、登陸時長、登陸時最大風速及降雨極值數據構建了ARIMAX模型對2016年的2次臺風的直接經濟損失進行預測，并與ARIMA模型進行對比對比，結論如下：1） 利用ARIMAX模型預測華南臺風的直接經濟損失，2組預測值與實際值的誤差百分比均不超過0.3%，由此可知，ARIMAX模型可以有效地對華南臺風的直接經濟損失進行預測。2） 對比ARIMAX模型和ARIMA（0，1，1）模型的預測效果可知，帶有登錄時長、登陸時最大風速及降雨極值這3個輸入變量的ARIMAX模型要比傳統的ARIMA模型的預測結果更精確。3） 通過對華南臺風的直接經濟損失數據的擬合結果可知，ARIMAX模型能夠較好地反映序列的趨勢，如果想進一步提高預測精度，可以從序列的非線性方面著手，進一步對序列進行擬合。