附著式局域共振聲子晶體薄板的帶隙解析解

楊 文， 陳凱倫， 郭 旭， 陳澤宇， 劉長(zhǎng)利

(華東理工大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200237)

自聲子晶體(phononic crystal,PC)的概念提出以來，其在減振方面的帶隙特性(在某個(gè)頻率范圍內(nèi)抑制振動(dòng)傳播的特性)一直是研究熱點(diǎn)。最先受到關(guān)注的是Bragg型聲子晶體，其能在高頻范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)某一頻段內(nèi)振動(dòng)的抑制，但要求晶格常數(shù)與振動(dòng)波長(zhǎng)在同一數(shù)量級(jí)內(nèi)，這大大限制了其實(shí)際應(yīng)用范圍。隨后Liu等[1]提出了局域共振型聲子晶體(locally resonance phononic crystal,LRPC)，在同樣的晶格常數(shù)下，其帶隙頻率要比Bragg帶隙頻率低兩個(gè)甚至多個(gè)數(shù)量級(jí)[2]，這大大拓寬了聲子晶體的應(yīng)用范圍，成為近年來研究的重點(diǎn)。

對(duì)于聲子晶體帶隙范圍的計(jì)算，有傳遞矩陣法、集中質(zhì)量法、平面波展開法，多重散射理論法，時(shí)域有限差分法和有限元法等多種方法[3-12]。在這些方法的基礎(chǔ)上，發(fā)展了各種改進(jìn)的方法。例如，改進(jìn)的快速平面波展開法(improved fast plane wave expansion method,IFPWEM)[13]，通過消除跳躍不連續(xù)點(diǎn)和減少波矢量的數(shù)目，提高了算法的連續(xù)性與計(jì)算效率；α有限元方法(finite element method,FEM)[14]，通過α值改變軟硬度，獲得了一些可用于聲子晶體設(shè)計(jì)的新特性。同樣的，針對(duì)不同類型的聲子晶體，也發(fā)展出了特定的計(jì)算方法，例如，擴(kuò)展的平面波展開法[15]，其將平面波展開法(plane wave expansion,PWE)引入到均布動(dòng)力吸振器的附著式聲子晶體薄板的帶隙計(jì)算中；質(zhì)量重分布有限元方法(mass-redistributed finite element method,MR-FEM)[16]，用于計(jì)算具有硬包裹層的液體聲子晶體；修正光滑有限元法(modified smoothed finite element method,M-SFEM)[17-18]，用于二維聲子晶體中的流固耦合問題； Qian等[19]應(yīng)用表面彈性理論和Timoshenko梁理論，將平面波展開法推廣到壓電聲子晶體納米梁的能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算中。

以上基于平面波展開法或者有限元法等傳統(tǒng)方法的改進(jìn)方法，能更快或更準(zhǔn)確地獲得能帶結(jié)構(gòu)(色散關(guān)系)，但是這些方法仍屬于數(shù)值方法，結(jié)果依賴于結(jié)構(gòu)參數(shù)的選取，無法獲得普適的能帶結(jié)構(gòu)規(guī)律，結(jié)果更無法應(yīng)用于帶隙的設(shè)計(jì)。

針對(duì)上述問題，本文利用四邊簡(jiǎn)支局域共振聲子晶體薄板的動(dòng)力學(xué)方程，在X,Y方向模態(tài)截?cái)嚯A數(shù)小于等于吸振器個(gè)數(shù)的條件下得到了振動(dòng)位移的解析解。在此基礎(chǔ)上，得到了阻抗表達(dá)式，并根據(jù)阻抗的概念闡述了帶隙的形成機(jī)理，討論了系統(tǒng)阻尼對(duì)帶隙的影響，得到了無阻尼條件下帶隙的解析解。最后，提出了帶隙的設(shè)計(jì)方法。

1 模型與公式推導(dǎo)

1.1 四邊簡(jiǎn)支聲子晶體薄板

圖1所示為四邊簡(jiǎn)支聲子晶體薄板，動(dòng)力吸振器周期性地附加在均質(zhì)薄板上，形成單面附著式局域共振型聲子晶體薄板。薄板為四邊簡(jiǎn)支，板長(zhǎng)，寬，厚，密度，彈性模量，泊松比和模態(tài)阻尼比分別為a,b,h,ρ,E,v,ξp，其中各階模態(tài)阻尼比相同[20]；吸振器間隔(晶格常數(shù))為Δ，各吸振器彈簧剛度、質(zhì)量、阻尼比，固有頻率相同，分別為kd,md,ξd,ωd。在板上選取一點(diǎn)(x0,y0)作為激勵(lì)點(diǎn)，其上施加一簡(jiǎn)諧激振力f0eiωt。

圖1 均布動(dòng)力吸振器的局域共振聲子晶體薄板示意圖Fig.1 Schematic diagram of a LRPC thin plate with a 2Dperiodic array of attached dynamic vibration absorbers(DVAs)

系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

其中，位移向量可以表示為

[W(t)]=[W1，1(t),W1，2(t),W1，3(t),…,WM,N(t)]T，

[Z(t)]=[Z1(t),Z2(t),Z3(t),…,ZQ(t)]T

(2)

式中：[W(t)]和[Z(t)]分別為薄板和動(dòng)力吸振器的垂直位移向量；下標(biāo)M,N分別為振動(dòng)系統(tǒng)中X,Y方向上的模態(tài)階數(shù)；下標(biāo)Q為薄板上布置的動(dòng)力吸振器個(gè)數(shù)。

[P]為外激勵(lì)在薄板上的位置向量

[φ(x,y)]=[φ1，1(x,y),…,φm,n(x,y),…,φM,N(x,y)]T(3)

[M]，[C],[K]分別為質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣

(4)

在各吸振器參數(shù)相同的情況下，式(4)中各矩陣分別為

[Kpr]=[Krp]T=kd[[φ(x1,y1)],…,[φ(xQ,yQ)]],

在簡(jiǎn)諧激勵(lì)條件下，式(1)可以寫為

(7)

將式(4)代入式(7)，消去[Z]，可得

[B][W]=f0[Pf]，
[B]=[K11]-[K12][K22]-1[K21]

，

[K11]=-ω2[Mp]+iω([Cp]+[Cr])+[Kp]+[Kr],

[K12]=[K21]T=iω[Cpr]+[Kpr],
[K22]=-ω2[Mr]+iω[Crr]+[Krr]

(8)

當(dāng)X,Y方向的最大截?cái)嗄B(tài)階數(shù)小于等于X,Y方向周期性布置的動(dòng)力吸振器的個(gè)數(shù)時(shí)(即M≤QX且N≤QY)，式(8)中矩陣[B]為對(duì)角陣。此時(shí)，[W]中各元素解耦，可以使用模態(tài)疊加理論計(jì)算振動(dòng)位移，證明過程及約束條件詳見參考文獻(xiàn)[21]。

將式(5)各式代入式(8)，解得第m,n階模態(tài)影響因子為

Y1=(1-g2)(f2-g2)-4fg2ξdξp-uf2g2，

Y2=2ξpg(f2-g2)+2ξdfg[1-g2(1+u)]

(9)

式中，wm,n為第m,n階模態(tài)影響因子與模態(tài)振型的乘積。

1.2 阻抗表達(dá)式

根據(jù)式(10)，第m,n階模態(tài)的位移公式可寫為

式中，左邊為簡(jiǎn)諧激振力與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的比值，即機(jī)械阻抗，其中φm,n為與位置及邊界條件相關(guān)的函數(shù)。因此薄板中激勵(lì)點(diǎn)(x0,y0)與點(diǎn)(x,y)之間第m,n階的阻抗H為

(12)

將阻抗分為實(shí)部HR和虛部HI，代入式(9)中的Y1和Y2并化簡(jiǎn)，可得阻抗實(shí)部和虛部公式，它們都是激勵(lì)頻率ω與模態(tài)階數(shù)m,n的函數(shù)

在第二章和第三章中，將分別在無阻尼和有阻尼情況下，討論帶隙的形成機(jī)理，并使用阻抗概念解釋阻尼對(duì)帶隙的影響。

2 無阻尼局域共振薄板與帶隙解析解

無阻尼下，阻抗虛部為零，阻抗表達(dá)式(12)退化為

(15)

式中，阻抗實(shí)部為正時(shí)抑制振動(dòng)，為負(fù)時(shí)沒有實(shí)際的物理意義。

由模態(tài)疊加可知：在某一激勵(lì)ω下，振動(dòng)是被放大還是被抑制，取決于各階模態(tài)疊加的結(jié)果。由于多階模態(tài)的分析使得分析難度增大，可以認(rèn)為薄板振動(dòng)時(shí)一階模態(tài)起主導(dǎo)作用[20]，這樣僅需考慮薄板的一階模態(tài)即可。

另一方面，由圖2可知，阻抗實(shí)部隨模態(tài)階數(shù)的增大而增大，這是因?yàn)樽杩箤?shí)部隨薄板固有頻率βm,n的增大而增大(見式(13))，同時(shí)薄板固有頻率βm,n隨模態(tài)階數(shù)m,n的增大而增大(見式(6))。所以，第一階模態(tài)的阻抗實(shí)部為正時(shí)，高階阻抗也為正。

綜上，求解式HR(ω,1,1)>0即可得到減振效果最好的頻率范圍，也就是帶隙。

圖2 無阻尼時(shí)不同模態(tài)階數(shù)下的阻抗實(shí)部曲線Fig.2 Curves of impedance real part under different modal orders without damping

求解HR(ω,1,1)>0的解區(qū)間[fs,fe]，容易解得

(16)

式中，fs和fe分別為解區(qū)間的左值和右值，即帶隙的起始頻率和截止頻率。

下面將通過擴(kuò)展的平面波展開法和有限元法，計(jì)算其能帶結(jié)構(gòu)，并與帶隙解析解式(16)的結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證解析解的正確性。

對(duì)于擴(kuò)展的平面波展開法和有限元法，分別使用MATLAB和COMSOL作為計(jì)算工具。參數(shù)如表1所示。

表1 材料參數(shù)Tab.1 Parameters of materials

擴(kuò)展的平面波展開法和有限元法計(jì)算得到的能帶結(jié)構(gòu)如圖3(a)所示，兩者結(jié)果一致。使用有限元法計(jì)算得到位移傳輸特性曲線如圖3(b)所示。計(jì)算能帶結(jié)構(gòu)和位移傳輸特性的有限元模型分別如圖4(a)和圖4(b)所示，在晶格有限元模型中，使用Floquet周期性邊界條件。在薄板有限元模型中，薄板四邊簡(jiǎn)支，吸振器通過節(jié)點(diǎn)連接在薄板上。不同方法獲得的帶隙范圍如表2所示。由表2可知，相對(duì)于有限元方法和擴(kuò)展的平面波展開法，解析解結(jié)果僅有2 Hz的誤差，這說明帶隙解析解是正確的。需要說明的是，研究中將吸振器簡(jiǎn)化為質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)并通過節(jié)點(diǎn)而非接觸面與薄板連接，因此解析和模擬結(jié)果與實(shí)際情況存在一定的誤差，但當(dāng)吸振器尺寸與薄板尺寸相差較大時(shí)，誤差可以控制在一定范圍內(nèi)。

圖3 能帶結(jié)構(gòu)與傳輸特性曲線Fig.3 Band structure and transfer characteristic curve

圖4 有限元模型Fig.4 Finite element model

表2 不同計(jì)算方法得到的帶隙范圍

3 有阻尼局域共振薄板

本章將進(jìn)一步根據(jù)阻抗公式及位移傳輸特性，討論吸振器阻尼或板阻尼對(duì)帶隙的影響。

3.1 吸振器阻尼的影響

當(dāng)僅考慮吸振器的阻尼時(shí)，板阻尼比ξp=0，阻抗實(shí)部和虛部變?yōu)?/p>

(17)

(18)

比較圖5和圖6可知(所用材料參數(shù)同表1)，圖5(b)中虛部峰值頻率范圍與圖6中帶隙范圍基本一致。同時(shí)，隨著阻尼峰值逐漸平緩，位移傳輸特性曲線中的波谷也隨之變得平緩，體現(xiàn)了阻尼在減振中的作用。因此，當(dāng)存在吸振器阻尼時(shí)，薄板帶隙將以阻抗虛部為主導(dǎo)。帶隙范圍可根據(jù)虛部峰值所在頻率范圍估計(jì)。

圖5 當(dāng)m,n=1,1時(shí)，不同吸振器阻尼比下的阻抗實(shí)部和虛部曲線Fig.5 Curves of impedance real and image part under different DVA damping ratios when m,n=1,1

圖6 不同吸振器阻尼比下的位移傳輸特性(有限元計(jì)算)Fig.6 Displacement transfer characteristic curves under different DVA damping ratios calculated through FEM

圖6中，相對(duì)于無阻尼帶隙，含吸振器阻尼時(shí)不存在明確的帶隙邊界，因此也不存在帶隙解析解。這意味著，在含有吸振器阻尼時(shí)不能通過解析解計(jì)算帶隙范圍。

3.2 板阻尼的影響

當(dāng)僅考慮板的阻尼時(shí)，吸振器阻尼比ξd=0，實(shí)部和虛部公式變?yōu)?/p>

(19)

(20)

由式(19)可知，阻抗實(shí)部不含板阻尼比；由式(20)可知，阻抗虛部與板阻尼成正比，如圖7所示。由圖7不同板阻尼比下的阻抗實(shí)部和虛部曲線可知，在板阻尼下，阻抗虛部較阻抗實(shí)部低兩個(gè)數(shù)量級(jí)，這意味著阻抗虛部對(duì)帶隙的影響遠(yuǎn)小于實(shí)部，可以忽略虛部阻尼的作用，將板阻尼問題退化為無阻尼問題。因此，在僅含板阻尼的情況下，帶隙基本不變且無阻尼帶隙解析解式(16)同樣適用，如圖8所示。

圖7 當(dāng)m,n=1,1時(shí)，不同板阻尼比下的阻抗實(shí)部和虛部曲線Fig.7 Curves of impedance real and image part under different plate damping ratios when m,n=1,1

綜上所述，板阻尼對(duì)帶隙的影響很小，而吸振器阻尼對(duì)帶隙有顯著影響。因此，在研究含阻尼聲子晶體薄板的帶隙時(shí)，可以忽略板阻尼的影響，僅討論吸振器阻尼的影響。在不含吸振器阻尼的情況下，可以使用帶隙解析解式(16)計(jì)算帶隙范圍。

圖8 不同板阻尼比下的位移傳輸特性(有限元計(jì)算)Fig.8 Displacement transfer characteristic curves under different plate damping ratios calculated through FEM

4 帶隙的設(shè)計(jì)

局域共振聲子晶體薄板在不含吸振器阻尼的情況下，可以使用帶隙解析解計(jì)算帶隙范圍。反之，也可以使用帶隙解析設(shè)計(jì)帶隙。

式(16)及其中各個(gè)變量的表達(dá)式為

(21)

由式(21)中的變量可知，帶隙的范圍由以下三個(gè)方面決定：①板特性——板尺寸(a,b,h)，板材料的物理特性(D,ρ);②吸振器個(gè)數(shù)——QX,QY(或晶格常數(shù)Δ);③吸振器特性——吸振器質(zhì)量md，彈簧剛度kd。

若要設(shè)計(jì)四邊簡(jiǎn)支薄板的帶隙，首先確定板的特性a,b,h,D,ρ,β1,1;然后通過改變吸振器個(gè)數(shù)QX,QY(或者晶格常數(shù)Δ)、吸振器質(zhì)量md和彈簧剛度kd即可設(shè)計(jì)帶隙的起始頻率、截止頻率和帶隙范圍。

5 結(jié) 論

本文根據(jù)四邊簡(jiǎn)支的局域共振聲子晶體薄板動(dòng)力學(xué)方程，在一定條件下得到了系統(tǒng)振動(dòng)位移的解析解，在此基礎(chǔ)上討論了帶隙與阻抗的關(guān)系。研究結(jié)果表明，在無阻尼情況下，可以明確地給出帶隙起始頻率和截止頻率的解析解，與有限元及擴(kuò)展的平面波展開法所得結(jié)果一致。在有吸振器阻尼時(shí)，帶隙沒有明確的邊界，無法使用解析解計(jì)算帶隙范圍；而板阻尼對(duì)帶隙沒有影響，仍可按照解析解計(jì)算帶隙。

利用本文提出的帶隙解析解公式，可以直接計(jì)算帶隙范圍，而無需計(jì)算能帶結(jié)構(gòu)，從而提高了獲得帶隙范圍的效率。同時(shí)可以方便地設(shè)計(jì)四邊簡(jiǎn)支聲子晶體薄板的帶隙，擺脫了數(shù)值方法通過參數(shù)試湊或優(yōu)化來設(shè)計(jì)帶隙的局限性。