勾股定理中的面積關系

文／江蘇省太倉市第一中學 儲怡佳

學習了勾股定理后，大家有沒有一個疑問：勾股定理的結論里為什么是2次方，而不是3次方？要明白這個道理，我們可以看圖1。在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，分別以a、b、c為邊長，向外作正方形，面積分別為S1、S2、S3，我們稱這個基本圖形為勾股定理的郵票圖。由圖可知，S1+S2=S3。而正方形面積是邊長的平方，因此得出勾股定理的關系式里就是2次方。

圖1

我發現，勾股定理與面積有密不可分的關系。

如果我們把圖1中的正方形變成正三角形，此時S1、S2、S3之間是否也有某種關系？如圖2，由正三角形的性質和勾股定理，我求出了△ABF的高線長為，同理可得△ACE的高線長為，△BCD的高線長為由此可得S1、S2、S3，并且S1+S2=S3，得到了與圖1相同的結果。

圖2

如果把圖1中的正方形變成半圓，以上的結論還成立嗎？如圖3，利用圓的面積公式和勾股定理可以求出半圓BC的面積同理可得半圓AC的面積半圓AB的面積，同樣得到S1+S2=S3。如果將圖3中的半圓AB向上翻折，又能得到什么結論呢？小伙伴們可以動手做一做。

圖3

每一個幾何定理都是一顆光彩奪目的明珠，值得我們細細品味和欣賞。隨著學習的深入，我們一定會發現更有趣的東西。

教師點評

勾股定理是幾何學中的明珠，充滿了魅力，在數學史上具有獨特的貢獻和地位，尤其是其中體現出來的“形數統一”的思想方法，更具有科學創新的重大意義。小作者善于開動腦筋，能把課堂內容和課后練習整合起來，思考探究同類問題，并將自己的發現寫出來，值得大家學習。