基于高中生對三角函數(shù)概念的理解

孫美玲

三角函數(shù)相關(guān)知識是高中數(shù)學(xué)中非常重要的概念，是數(shù)學(xué)知識體系當(dāng)中非常重要的基礎(chǔ)。高中生對于函數(shù)這類抽象知識的學(xué)習(xí)總會有各種各樣的困難，為了可以更好地理解三角函數(shù)相關(guān)知識，需要從基礎(chǔ)概念上著手，提高自身對三角函數(shù)各個基礎(chǔ)特性的理解。本文主要分析從高中生角度怎樣去理解三角函數(shù)的概念。

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識體系中最重要的基礎(chǔ)知識之一。通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)相關(guān)知識，我們可以更好地理解三角函數(shù)的本質(zhì)和解題思路，有效地聯(lián)系其他知識點，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著非常重要的作用，需要對平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行大量應(yīng)用，以解決函數(shù)圖像和相關(guān)知識點的理解問題，這是數(shù)形結(jié)合思想的有效體現(xiàn)。通過運用坐標(biāo)系和數(shù)形結(jié)合的思想，可以有效地解決問題的思維，使相關(guān)知識更靈活地用于有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，為其他數(shù)學(xué)知識點的研究打下良好的基礎(chǔ)。

一、目前我國高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作的現(xiàn)狀

根據(jù)對我國高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀的分析，雖然隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的提出和實施，總體上取得了非常顯著的成績，但從細(xì)節(jié)上可以看出，仍然存在許多問題和不足，這嚴(yán)重阻礙了我國數(shù)學(xué)教育的發(fā)展。首先，許多高中教師仍然深受傳統(tǒng)教學(xué)理念和模式的影響，教學(xué)方法和內(nèi)容仍然相對落后和僵化，導(dǎo)致課堂教學(xué)的效率和質(zhì)量普遍低下。具體表現(xiàn)為：部分高中數(shù)學(xué)教師在開展日常的教學(xué)工作時，往往以考試大綱和課本教材為主，重點講解考試需求的相關(guān)知識內(nèi)容。且在開展教學(xué)工作的過程中，忽視或輕視培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，嚴(yán)重地影響著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情與興趣，學(xué)生的綜合應(yīng)用能力也得不到鍛煉與提升。其次，許多教師的教學(xué)手段依舊比較落后。從諸多高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)現(xiàn)狀中可以看出，部分教師依舊采用課上單一講解、課后反復(fù)練習(xí)的教學(xué)方式。實踐證明，這樣傳統(tǒng)且死板的教學(xué)手段所取得的教學(xué)效果并不理想。最后，評價的方式具有較強的片面性。對于大多數(shù)的高中數(shù)學(xué)教師來說，尤其是一些教齡較長的教師，其在評價學(xué)生時仍舊堅持傳統(tǒng)的教學(xué)方式，以考試成績的高低作為評價學(xué)生的主要方式。顯而易見的是，這樣的評價方式難以滿足新時期教育事業(yè)以及學(xué)生發(fā)展的實際需求，更會影響到高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)工作的效率與質(zhì)量。

二、高中三角函數(shù)教學(xué)的常見問題

1. 學(xué)生對教材概念不甚了解

在高中學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程中，學(xué)生需要有較強的推理能力。然而，相當(dāng)一部分學(xué)生仍然缺乏基本概念，這使得他們的推理能力相對較差。另外，由于對三角函數(shù)的幾何意義和方程缺乏透徹的理解，對正弦和遞推曲線的繪制方法缺乏掌握，部分學(xué)生觀察能力較弱，對代數(shù)和數(shù)學(xué)之間的關(guān)系缺乏理解和掌握導(dǎo)致了對三角函數(shù)的膚淺研究。

2. 學(xué)生對三角函數(shù)變形公式欠缺理解

在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)學(xué)習(xí)中，公式間聯(lián)系較為密切，變形較為復(fù)雜。故學(xué)生須將三角函數(shù)基本公式、一般性規(guī)律及變性技巧予以掌握，并不斷加強記憶與掌握力度方可更好地學(xué)習(xí)三角函數(shù)。然而，很多學(xué)生對這方面掌握力度較為欠缺，數(shù)形結(jié)合尚不能合理運用，這也是當(dāng)前學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)、老師教授三角函數(shù)的一大重難點。

三、函數(shù)思想

三角函數(shù)的定位已經(jīng)產(chǎn)生較大的變化，三角函數(shù)作為能反映邊角關(guān)系的固定比值，一直以來都是用來研究邊角關(guān)系的重要工具。以前，我們對三角函數(shù)的認(rèn)知偏于靜態(tài)，但是隨著課程的改革與發(fā)展，產(chǎn)生了較大的變化，三角函數(shù)的內(nèi)容在函數(shù)中已經(jīng)成為研究的主線，并將“三角函數(shù)”看成是重要的初等函數(shù)，作為周期現(xiàn)象模型研究的重點，也成為高中數(shù)學(xué)課程研究的主要內(nèi)容。

四、抓住三角函數(shù)線本質(zhì)屬性，有技巧地層層引導(dǎo)

1. 引入單位圓，構(gòu)建三角函數(shù)線的舞臺

對教師而言，由比值yr到y(tǒng)，xr到x，再到正弦線、余弦線的兩步跨越，看似簡單，學(xué)生卻比較難以理解，在此處盡可能清晰地再現(xiàn)知識的建構(gòu)過程，使學(xué)生明確原則，把握概念的形成。從數(shù)學(xué)思想層面上可以突出三角函數(shù)“簡約”為“一個變量”的思想方法，進(jìn)而順利實現(xiàn)用“三角函數(shù)線”這一直觀的圖形工具來“統(tǒng)一”表達(dá)三角函數(shù)這一主線。在教學(xué)過程中反復(fù)強調(diào)“最簡化”“統(tǒng)一”的要求，而這樣的理念或思想，不僅能體現(xiàn)本節(jié)數(shù)學(xué)方法的特點，同時也在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中占據(jù)重要的地位，具有普適性。

2. 由正弦線與余弦線引導(dǎo)向正切線

學(xué)生容易理解和掌握正弦線與余弦線，因為他們有直觀的感覺，但很難理解和掌握切線。突破這一難點的關(guān)鍵是幫助學(xué)生充分理解“有向線段的數(shù)量”及相關(guān)概念。那么在講一些諸如“有向線段”“有向線段的數(shù)量”等等比較數(shù)學(xué)化、很難表述的概念時，可以將學(xué)生的注意力主要集中到關(guān)注“圖形”，自然而然地突出了探究與確定“正、余弦函數(shù)線”的形成過程與基本方法，弗賴登塔爾指出，學(xué)生不是被動地接受知識，而是再創(chuàng)造，在這個階段，如果可以給學(xué)生提供更為開闊的空間，那么到研究“正切函數(shù)線”時，學(xué)生就可以自覺或不自覺地用探究“正、余弦函數(shù)線”的方法解決新的問題。

五、對三角函數(shù)概念的理解

1. 由動到靜

三角函數(shù)的概念教學(xué)中，通常使用“由動到靜”的教學(xué)過程。首先，在現(xiàn)有的坐標(biāo)系中，以單位圓為依托，描述在角變化的過程中，如何利用坐標(biāo)的思想，給定正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義，突出“動”，突出函數(shù)的內(nèi)容，并在此基礎(chǔ)上使用比值的方式對三角函數(shù)的定義進(jìn)行簡要了解。

2. 利用畫圖實現(xiàn)理解記憶

三角函數(shù)相關(guān)知識點當(dāng)中所包含的公式非常多，概念也相對來說非常的抽象，在學(xué)習(xí)過程中需要對公式進(jìn)行總結(jié)，提高簡化公式的能力，可以更加簡單地記憶，并做到靈活運用。利用平面直角坐標(biāo)系，找出各個函數(shù)變量之間的關(guān)系，對各個象限的數(shù)值關(guān)系進(jìn)行更好地理解。

直角坐標(biāo)系的函數(shù)規(guī)律進(jìn)行展示的第一載體，是三角函數(shù)與函數(shù)圖像相互聯(lián)系的有效載體。一方面，在坐標(biāo)系當(dāng)中，利用單位圓，一個角x的終邊與單位圓相交，其交點的橫坐標(biāo)為cosx，縱坐標(biāo)為sinx，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間的比值為正切函數(shù)。這些量隨著角度的變化而不斷變化。這樣，我們可以對三角函數(shù)有更深入的理解，了解函數(shù)關(guān)系在動態(tài)量變中的變化規(guī)律。在坐標(biāo)系中應(yīng)用單位圓可以有效地表示三角函數(shù)的性質(zhì)。例如，三角函數(shù)的定義范圍、周期性等。另一方面，借助坐標(biāo)思想，我們可以通過函數(shù)圖像的相關(guān)知識點更好地研究函數(shù)圖像，更好地理解三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。因此，運用坐標(biāo)思想解決問題是數(shù)形結(jié)合的直接體現(xiàn)。

3. 內(nèi)容復(fù)雜掌握公式

三角函數(shù)的內(nèi)容非常復(fù)雜，學(xué)生在學(xué)習(xí)的初期會感到很難。雖然教師在教學(xué)過程中可以反復(fù)分析三角函數(shù)的內(nèi)涵，解釋常用的公式，并在指導(dǎo)書中總結(jié)相關(guān)公式的使用，但學(xué)生在學(xué)習(xí)時仍然感到茫然。

為了可以更加清晰地認(rèn)知三角函數(shù)，先要對其概念有理解，最好回歸到象限中去理解。其實四個小的象限，充斥著無限的奧妙。兩角終邊相同的情況主要是指兩個角存在一定的關(guān)系，在整數(shù)值取值的過程中，兩個角有相同性，所以可以使用一個角代表，取值也是相同的。四個象限的變化情況，可以用口訣的方式進(jìn)行記憶，即“奇變偶不變，符號看象限”。由此可見，三角函數(shù)的象限十分重要，在學(xué)習(xí)的時候需要重點關(guān)注，在理解概念的過程中能結(jié)合象限進(jìn)行觀察。

三角函數(shù)十分復(fù)雜和抽象，也是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，為能取得較好的數(shù)學(xué)成績，可以在學(xué)習(xí)初期讓學(xué)生掌握三角函數(shù)。

六、加強學(xué)生對三角函數(shù)的實際應(yīng)用

三角函數(shù)教學(xué)在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著非常重要的作用，通過課堂提問，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，使學(xué)生將三角函數(shù)相關(guān)知識應(yīng)用到實際生活中，使學(xué)生在解決三角函數(shù)問題時聯(lián)系理論知識，注意知識之間的關(guān)系。三角函數(shù)的學(xué)習(xí)強調(diào)提高學(xué)生的實用性，要求學(xué)生靈活運用函數(shù)公式解決生活中遇到的問題，使學(xué)生從已建立的問題情境出發(fā)，通過運用數(shù)學(xué)思想和知識探索，使高中生的理論知識和知識體系更加完善。例如：在學(xué)習(xí)正弦與余弦定理的時候，教師要引導(dǎo)學(xué)生了解三角函數(shù)的定義，讓學(xué)生正確區(qū)分三角函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)之間的區(qū)別，在課堂講解的時候，教師可以借用多媒體技術(shù)演示三角函數(shù)的構(gòu)成以及規(guī)律變化和運動的軌跡。在課堂上提出問題，讓學(xué)生探究點在圓周上運動的軌跡進(jìn)行探究三角函數(shù)的運動變化，讓學(xué)生正確認(rèn)識到三角函數(shù)與圓周運動之間的關(guān)系，讓學(xué)生在圓周運動的問題情境下加深對三角函數(shù)知識的印象。

七、鼓勵學(xué)生參加競賽，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

近年來，高中數(shù)學(xué)競賽日益增多。越來越多的學(xué)生愿意鞏固他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提高他們的實際應(yīng)用能力，激活他們的數(shù)學(xué)思維。高中數(shù)學(xué)競賽不同于平時的考試。它不僅是學(xué)生能力的提高，也是對學(xué)生學(xué)習(xí)的肯定。由于數(shù)學(xué)競賽的主要參與者是學(xué)生，特別是高中生，其目的是挖掘和培養(yǎng)更多的綜合性數(shù)學(xué)人才;促進(jìn)課外活動;提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣;推進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革;為國際數(shù)學(xué)奧林匹克做準(zhǔn)備。因此，競賽命題往往突破教材的局限性，教師應(yīng)在實踐教學(xué)中盡量開闊視野，最大限度地利用新穎的問題類型，幫助學(xué)生提高抽象思維、想象思維和分析邏輯思維。鼓勵學(xué)生以積極的精神、樂觀的態(tài)度、大膽的態(tài)度積極參加數(shù)學(xué)競賽，提高數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力。

總之，在高中數(shù)學(xué)中，三角函數(shù)不僅是教師教學(xué)的重點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。由于三角函數(shù)在實際教學(xué)中存在一些問題，直接影響到高中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平。因此，高中數(shù)學(xué)教師必須充分重視三角函數(shù)的教學(xué)，積極培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力，增強學(xué)生的抽象思維能力，從而不斷加強學(xué)生對三角函數(shù)知識的理解和掌握，有效提高學(xué)生三角函數(shù)知識的應(yīng)用水平，進(jìn)一步提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，推動新課程標(biāo)準(zhǔn)的改革進(jìn)程。