考慮執行器響應時滯的磁流變懸架H2/H∞魯棒控制研究

孫 東， 汪若塵， 丁仁凱， 劉 偉， 孟祥鵬

(1.江蘇大學 汽車與交通工程學院，江蘇 鎮江 212013;2.江蘇大學 汽車工程研究院，江蘇 鎮江 212013)

為解決傳統被動懸架因剛度阻尼固定不變而只能在某一運行工況下達到性能最優這一車輛動力學問題，主動/半主動懸架應運而生[1-4]。而隨著磁流變技術的發展與成熟，響應快、成本低、控制簡單、安裝方便的磁流變半主動懸架[5-8]更受市場青睞。但半主動懸架系統不可避免地存在工作時滯[9-10]，其中，磁流變阻尼器的響應時滯占據很大一部分比重。這不僅會削弱控制系統的控制效果，甚至有可能使懸架系統動力學性能惡化，造成被控對象失穩[11-13]。

為此，學者們對半主動懸架系統時滯補償控制展開了廣泛研究?？馨l榮[14]根據包含執行器響應時滯的線性常微分方程理論推導了磁流變半主動懸架的臨界時滯，設計了一種Smith 預估時滯補償模糊控制器，仿真和試驗結果均證明了該控制器可明顯改善時滯輸入下的車輛動力學性能。Huang等[15]針對二自由度時滯非線性懸架系統模型，設計了一種魯棒性強的PID控制策略，并采用遺傳算法對PID控制器進行了參數優化，仿真結果表明車輛的綜合性能得到了顯著提高。陳士安等[16]提出了一種泰勒級數-LQG時滯補償控制方法，利用泰勒級數對LQG計算得到的理想控制力進行時滯補償，這種控制方法使懸架系統即使在較大時滯下也能保持較好的平順性。Dong等[17]構建了一種懸架系統神經網絡模型，用以補償磁流變阻尼器的不確定時延，試驗結果表明，基于SMIS的半主動懸架具有更好的乘坐舒適性，還可有效避免執行器時滯不確定性對車輛動力學性能的惡化作用。

磁流變阻尼器響應時滯輸入會對閉合控制系統的控制效果及穩定性造成負面影響，常見的解決辦法是設計狀態反饋控制器進行時滯控制，但當前研究鮮有考慮執行器實際響應時滯與系統失穩的臨界時滯之間的大小關系，即總是假設實際時滯小于臨界時滯。一旦前者數值超過后者，控制器將無法求得反饋增益而失效。針對這一問題，本文設計一種時滯H2/H∞魯棒控制器，推導控制器反饋控制增益和系統臨界時滯，并基于MotoTron平臺搭建執行器驅動電流PI控制器，旨在降低實際響應時滯以實現時滯輸入魯棒控制。

1 磁流變半主動懸架系統建模

1.1 磁流變阻尼器力學模型

Meisami-Azad等[18-21]采用的磁流變阻尼器Bingham黏塑模型將阻尼器控制力分為僅與速度相關的黏滯阻尼力和與驅動電流相關的庫侖阻尼力，表達式如下

(1)

式中:F(t)為阻尼器控制力；ce為黏滯阻尼系數；v為懸架相對速度；FMR為庫倫阻尼力；ai為待擬合參數；I為驅動電流。

為獲取模型參數，在單通道試驗臺上對磁流變阻尼器進行力學試驗，臺架布置如圖1所示。

圖1 阻尼器力學試驗臺架布置

依據測得的試驗數據，采用MATLAB的Curve Fitting工具箱進行參數辨識，具體參數值如表1所示。圖2為磁流變阻尼器速度特性曲線擬合效果圖，從圖中可看出，式(1)曲線與試驗數據曲線吻合度較高，說明Bingham黏塑模型能較好地描述磁流變阻尼器力學特性。

表1 參數辨識結果

圖2 阻尼器速度特性曲線擬合效果

1.2 1/4時滯輸入磁流變半主動懸架模型

定常輸入時滯作用下的1/4時滯輸入磁流變半主動懸架的二自由度模型如圖3所示，根據牛頓第二定律得到平衡位置處的懸架動力學微分方程

(2)

圖3 1/4時滯輸入磁流變半主動懸架模型

其中，

式中:ms為簧載質量；mu為非簧載質量；ks為懸架彈簧剛度；ku為輪胎剛度；u(t-τ)磁流變阻尼器時滯輸出力；zs為簧載質量垂向位移；zu為非簧載質量垂向位移；zr為路面激勵。

1.3 懸架系統狀態空間表示

對于上述半主動懸架系統，選取狀態變量為

(3)

選取輸出變量為

(4)

測量變量為

Z(t)=X(t)

(5)

因此，式(2)懸架動力學微分方程的狀態空間可表示為

(6)

2 時滯H2/H∞魯棒控制器設計

H2控制器用于約束時滯控制力以實現懸架綜合性能最優，而H∞控制器用于約束下一時滯時刻的控制力以控制定常輸入時滯，進而保證懸架系統的控制性能和系統穩定性。在設計定常輸入時滯半主動懸架系統的輸出反饋控制律之前，先設置如式(7)所示的懸架綜合性能指標作為控制目標。

(7)

時滯H2/H∞魯棒控制器的設計就是使從路面輸入(t)到系統輸出Y(t)的傳遞函數的H2和H∞范數最小，從而保證定常輸入時滯半主動懸架的最優綜合性能和系統穩定性。反饋控制律的具體形式為

U(t)=KZ(t)=KX(t)

(8)

式中，K為狀態反饋增益矩陣。

因此，式(6)可表示為如下閉環系統

(9)

定理1給出了時滯H∞魯棒控制器存在的充要條件：

(10)

(11)

式中:S=LAT+AL+τP+Q+QT+N;I為適當維數的單位矩陣。

下面構造一個Lyapunov-Krasovskii泛函V(t)進行證明

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)

(12)

式中:V1(t)=XT(t)P1X(t)；

其中，待求矩陣P1、Q1、Q2正定對稱。

對式V1(t)進行一階微分，得：

(13)

引理1[23]若向量a(·)∈Rm,b(·)∈Rm,N1∈Rm×n定義在區間Ω內，則對于?X1、Y1、Z1∈Rm×n，滿足下式關系

(14)

τXT(t)X1X(t)+XT(t)(Y1-P1BK)X(t)-

XT(t)(Y1-P1BK)X(t-τ)+XT(t)(Y1-P1BK)TX(t)-

(15)

由式(13)～(15)可得

XT(t)(P1BK-Y1)X(t-τ)+

XT(t-τ)(P1BK-Y1)TX(t)+T(t)HP1X(t)+

(16)

零初始條件下的時滯系統H∞魯棒性性能指標如下

(17)

對于任意非零輸入可得

(18)

式中：λ(t)=[X(t),X(t-τ),(t)]T；

Γ5=τKTBTQ1H；

Γ3=τATQ1H+P1H；

由Schur補可知，П<0與下式等價

(19)

式(11)中含有非線性項LM-1L，故懸架系統的漸進穩定問題轉化為帶矩陣逆約束的線性矩陣不等式可行性問題。本文綜合考慮懸架動力學性能，參考抗干擾系數和系統魯棒性的博弈關系，在選定抗干擾系數γ∞=12.5基礎上，采用錐補線性化迭代法和二分法[24]求解保持系統穩定的臨界時滯為τmax=29.2 ms，為執行器驅動電流PI控制提供理論基礎。

3 仿真分析對比

3.1 磁流變阻尼器時滯測試

求解時滯H2/H∞魯棒控制器反饋增益的前提是確定系統響應時滯與抗干擾系數，當磁流變阻尼器的實際響應時滯超出理論臨界時滯時，系統將處于失穩狀態，此時無法獲得控制器的反饋增益。為了驗證所設計的時滯H2/H∞魯棒控制器應用于磁流變半主動懸架系統的可行性，本文進行了執行器開環系統響應時滯測試，測試工況選擇頻率2 Hz、占空比50%的方波，響應特性如圖4所示。

(a) 階躍響應

從圖4中可看出，執行器驅動電流上下階躍的響應時滯都大于35 ms，已超過理論臨界時滯，此時時滯H2/H∞魯棒控制器無法求解反饋增益。為此，本文引入驅動電流積分分離PI控制[25]來改善執行器開環響應特性，減小系統時滯，進而保證時滯H2/H∞魯棒控制器正常工作。

3.2 驅動電流PI控制算法

積分分離PI控制離散后的表達式如下

(20)

其中，b為積分項啟閉閾值，其數值的選取直接影響PI控制的控制效果。

本文基于MotoTron平臺采用試湊法對PI控制的三個控制參數Kp、Ki和b進行工程整定，搭建了如圖5所示PI控制參數整定平臺，整定結果如圖6所示。

圖5 PI控制參數整定平臺

(a) 階躍響應

由圖6可知，PI控制下的執行器響應時滯都減小到16 ms以內，低于系統保持穩定所允許的理論臨界時滯。將控制結果代入時滯H2/H∞魯棒控制器設計過程，采用錐補線性化迭代算法和最小二乘法，求得時滯H2/H∞魯棒控制器的可行解為K=104×[1.500 7 1.609 1 -0.154 1 -0.004 0]。

4 仿真分析

為驗證所設計的時滯H2/H∞魯棒控制器的工作效果，在Matlab/Simulink中搭建了1/4被動懸架和不考慮時滯輸入的H2/H∞魯棒控制器模型作為對比，以60 km/h車速進行了C級隨機路面仿真，仿真參數如表2所示。

表2 1/4車輛仿真參數

時滯H2/H∞魯棒控制器和不考慮時滯控制的魯棒控制器的仿真結果如圖7和表3所示，由懸架動力學性能評價指標時域響應曲線可看出，在以乘坐舒適性為主要控制目標的C級路面下，對執行器響應時滯進行控制的時滯魯棒控制器可顯著改善車身加速度(減小了24.52%)，而未考慮時滯的魯棒控制器優化效果有限，相比被動懸架僅優化了14.94%；時滯H2/H∞魯棒控制器下的懸架動撓度較被動懸架降低了9.79%，比魯棒控制器還優化了7.19%；而輪胎動載荷比被動懸架惡化了9.80%，由于并未超過車輛靜載重量的1/3，因而不會影響車輪接地性，但其相比惡化了13.44%的魯棒控制器，考慮了執行器時滯輸入的時滯H2/H∞魯棒控制器更能兼顧車輛的乘坐舒適性和行駛安全性。

圖7 懸架仿真結果對比

表3 仿真結果均方根值對比

5 臺架試驗

為進一步驗證時滯H2/H∞魯棒控制器的實際工作效果，設計了磁流變半主動懸架ECU，時滯魯棒控制器采用基于模型設計(MBD)方法內嵌到ECU中。并搭建了如圖8所示的單輪連桿式麥弗遜懸架測控平臺，對控制器進行了臺架試驗，試驗工況與仿真相同。

圖8 臺架試驗布置

圖9為懸架系統在被動狀態、魯棒控制器和時滯H2/H∞魯棒控制器下的動力學性能時域響應，表4列舉了三個評價指標的均方根值。從表中數據可知，時滯H2/H∞魯棒控制器的車身加速度和懸架動撓度相比被動懸架和魯棒控制器分別降低了17.17%、9.84%、6.42%和5.98%，說明在顛簸的C級路面下，時滯H2/H∞魯棒控制器能有效抑制車身加速度，懸架動撓度的降低也減小了懸架撞擊到緩沖塊的幾率，車輛乘坐舒適性得到明顯改善。此時輪胎動載荷雖有所惡化，但并未影響輪胎接地性。這也證明了所設計的時滯H2/H∞魯棒控制器能對執行器響應時滯進行控制，保證了時滯輸入懸架系統的控制性能和穩定性。

表4 試驗結果均方根值對比

圖9 懸架試驗結果對比

6 結 論

(1) 基于磁流變阻尼器Bingham模型，針對執行器響應時滯的問題，設計了一種時滯H2/H∞魯棒控制器，推導了控制器反饋控制增益和系統臨界時滯，并基于MotoTron平臺整定了執行器驅動電流PI控制參數，從而降低了實際響應時滯以實現時滯魯棒控制。

(2) 在C級隨機路面輸入下對1/4時滯輸入磁流變半主動懸架系統進行了仿真分析，結果表明，時滯H2/H∞魯棒控制器相比被動懸架，車身加速度和懸架動撓度分別降低了24.52%和9.79%，相比不考慮時滯控制的魯棒控制器還優化了11.26%和7.19%，證明了時滯H2/H∞魯棒控制器能保證時滯輸入系統的控制性能和穩定性。臺架試驗結果也驗證了控制器的有效性。