基于部分分層抽樣的高墩橋梁隨機地震響應分析

陳志強， 鄭史雄， 丁自豪， 張 金

(1.西南交通大學 土木工程學院，成都 610031；2.成都理工大學 環境與土木學院，成都 610059)

由于地震發生過程的復雜性和地震波傳播路徑的不確定性，地震記錄通常都表現出很大程度的隨機性。此外，橋梁結構本身也存在顯著的不確定性，對于橋梁中廣泛采用的混凝土材料，其抗壓強度通常具有15%～20%的變異性[1]，即使被認為材料性能較為穩定的鋼材，HRB335鋼筋強度的變異系數也可達7.43%[2]。如何在橋梁抗震性能分析中同時考慮地震激勵和橋梁結構兩方面的不確定性一直都是國內外的研究熱點。

在早期橋梁抗震性能分析中，往往是單獨考慮地震激勵和橋梁結構自身的隨機性[3]。當只考慮橋梁結構的不確定性時，結構隨機地震響應分析通常采用隨機有限元法，如隨機攝動法[4]、正交多項式展開法[5]、人工神經網絡方法[6]、響應面法[7]等。然而，此類方法不僅未能考慮地震激勵的隨機性，而且只能進行少數幾個隨機變量輸入下的結構隨機地震響應分析。當隨機變量數量較多時，其不可避免的都會遇到維數災難的問題。隨機振動理論主要處理隨機地震激勵下確定性結構的隨機地震響應[8]。現有的隨機振動理論，如虛擬激勵法[9]，通常都是基于反應譜或者功率譜密度函數，是完全的頻域分析方法，因此其只能解決線彈性結構的隨機地震響應分析[10]。然而，在實際工程中，大量的橋梁結構都位于高烈度地震區，在其服役過程中不可避免的會受到破壞性強震的作用，從而使橋梁結構產生嚴重的非線性行為。雖然也有部分學者建立了結構非線性隨機振動分析方法，如FPK方程[11]、等效線性化方法[12]、隨機平均法[13]、矩近似法[14]等，但該類方法通常都只適用于簡單結構，大規模復雜結構非線性隨機地震響應的求解仍然是一個巨大挑戰。Li等[15-16]從概率守恒原理的物理機制出發，建立了結構非線性隨機振動的概率密度演化理論，實現了隨機地震作用下結構非線性隨機地震響應的高效求解。然而，當采用概率密度演化理論進行結構隨機地震響應分析時需要將地震動功率譜轉化為時域的地震動樣本，將會引入大量的隨機變量。在超高維概率空間中進行代表性樣本點的選取是一個巨大的挑戰。

綜述所述可以看到，不論隨機振動理論還是隨機有限元理論在分析實際復雜橋梁結構非線性隨機地震響應方面都還存在較大難度。基于蒙特卡洛模擬[17]的數值模擬方法獨立于隨機變量的維度和結構復雜性，是獲得橋梁結構隨機地震響應的有效途徑。但是傳統的蒙特卡洛模擬是在整個概率空間內進行隨機抽樣，效率較低。Shields等[18]建立了基于概率空間分解的部分分層抽樣方法，提高了簡單隨機抽樣效率，縮減了抽樣方差。本文將基于該思想建立完全非平穩地震作用下橋梁非線性隨機地震響應分析的部分分層抽樣方法。然后以一座典型的高墩大跨連續剛構橋梁為例，對其進行隨機地震響應分析，詳細研究橋梁結構不確定性和隨機參數相關性對高墩大跨橋梁抗震性能的影響，從而為橋梁的抗震設計和地震可靠度評估提供指導。

1 橋梁結構非線性隨機地震響應分析

對于一個非線性隨機動力系統，地震作用下，結構動力方程可以表示為

(1)

(2)

(3)

E[αi]=E[βi]=0,E[αiβj]=0

E[αiαj]=E[βiβj]=δij

(4)

αi=Rand(cas(iΘ1)),βi=Rand(cas(iΘ2))

(5)

其中，Rand(·)為確定性的一一映射算子；cas(·)為Hartley正交基函數，cas(·)=sin(·)+cos(·)。

Z(t)=φ(ζ,Θ,d,t)

(6)

式中：φ(·)為與橋梁結構有關的確定性函數；d為確定性參數向量。

若采用隨機抽樣方法對式(1)中的非線性隨機動力系統進行求解，即可得到橋梁結構地震響應的N個樣本。在此基礎上，橋梁結構非線性隨機地震響應分析所關心的均方值可以表示為

(7)

2 基于部分分層抽樣的橋梁隨機地震響應估計

(8)

(9)

(10)

ui=R(u1,i,u2,i,…,uS,i)

(11)

式中，R(·)表示隨機匹配函數。通過將均勻分布的樣本點采用等概率變換即可得到在特定概率分布空間內隨機參數的樣本點。關于拉丁化部分分層抽樣方法的更多細節，也可見文獻[18]。

考慮一種概率空間劃分的特殊情況，將概率空間RU劃分為二維概率空間和一維空間的組合。當RU的維度d為偶數時，可以將其分解為d/2個二維子空間。而當RU的維度d為奇數時，可以分解為(d-1)/2個二維子空間和1個一維子空間。然后，在每一個二維子空間中分別采用隨機抽樣方法得到均勻分布樣本點，再通過所有子空間中樣本的隨機組合即可得到原始d維概率空間RU中的樣本點。

眾所周知，隨機抽樣方法都是隨機收斂的。結果的變異性通常由兩部分組成：①子空間中隨機抽樣時的變異性；②將子空間中樣本隨機匹配到原始d維概率空間中時產生的變異性。如果能夠用確定性方法代替隨機抽樣方法生成低維(二維和一維)子空間中樣本點，即可消除低維子空間中生成樣本時的不確定性，從而大大減小抽樣變異性。基于此，這里將采用Xu等[20]建議的數論方法生成確定性的子空間樣本，從而進一步減少拉丁化部分分層抽樣中的方差。

對于二維子空間，這里采用Fibonacci序列構造均勻分布的樣本點。令F0=F1=1，則Fibonacci序列可以表達為如下遞推表達式

Fl=Fl-1+Fl-2,l=2,3,…

(12)

(13)

(14)

式中，int(·)表示截尾取整算子。另外，式(13)和(14)也可等效于

k=1,2;i=1,2,…,N

(15)

式中，整數向量[ζ1,ζ2,N]表示生成算子，對于二維概率空間，N=Fl，ζ1=1，ζ2=Fl-1。

對于一維概率空間，均勻分布的樣本點則可以通過置換序列確定如下

(16)

在獲得二維和一維概率空間中的樣本點之后，只需要將其進行隨機組合，即可得到原始單位超立方空間中均勻分布的樣本點

ui=R(u1,i,u2,i,…,uS1,i,u1,i,u2,i,…,uS2,i)

(17)

其中，uj,i(j=1,2,…,S1)為二維概率空間中的均勻分布樣本點(S1為二維子空間的數量)；uj,i(j=1,2,…,S2)為一維概率空間中的均勻分布樣本點(S2為一維子空間的數量)。最后，通過等概率變換即可將單位超立方體空間中的均勻樣本轉化為目標概率空間中的樣本點

(18)

一旦獲得隨機參數樣本，將其代入式(1)中的結構動力學方程并進行求解，即可得到橋梁非線性地震響應的樣本集。由于本文方法為等權重抽樣，每個樣本的概率均為1/N，所有樣本的概率之和為1，因此所有樣本將構成完備概率集。在獲得橋梁結構地震響應樣本后，再根據式(7)即可得到橋梁隨機地震響應的均方值。基于部分分層抽樣的橋梁隨機地震響應分析主要步驟如下：

(1) 給定橋梁結構隨機參數向量ζ=[ζ1,ζ2,…,ζd1]T和地震動隨機參數向量Θ=[Θ1,Θ2]T，定義概率空間RU；

(2) 將概率空間RU分解為(d-1)/2個二維子空間和1個一維子空間或者d/2個二維子空間，在每個二維子空間中通過式(13)和(14)生成均勻分布樣本點，并通過式(16)生成一維子空間中的均勻分布樣本點；

(3) 依次從每個子空間中無放回的隨機抽取N個樣本，并在這個過程中，分別將每一個子空間中的樣本進行組合(式(17))，從而生成概率空間RU中的均勻樣本點ui(i=1,2,…,N)；

(7) 通過式(7)計算隨機地震作用下橋梁結構地震響應的均方值σZ(t)；

(8) 判斷橋梁隨機地震響應結果是否收斂，若收斂則輸出結構的隨機地震響應均方值，否則返回步驟2，增大樣本數量，直到結果收斂。

基于部分分層抽樣的橋梁非線性隨機地震響應分析流程如圖1所示。

圖1 橋梁非線性隨機地震響應分析流程

3 高墩大跨橋梁算例分析

3.1 橋梁工程概況及有限元模型

為了說明本文方法在復雜非線性橋梁隨機地震響應分析中的應用，以我國貴州省境內的某高墩鐵路橋梁作為工程算例進行分析。該橋梁為89 m+168 m+89 m預應力混凝土連續剛構橋，橋梁全長466 m。主梁為單箱單室變截面預應力混凝土箱型梁，主梁材料為C50預應力混凝土，支點截面和跨中截面梁高分別為9 m和12 m，中間按照2次拋物線變化。兩個橋墩均為空心矩形變截面，墩高分別為75 m和103 m，這里分別將其編號為1#墩和2#墩，每個橋墩與主梁之間均采用剛性連接。橋墩兩端分別支撐與0#橋臺和3#橋臺，每個橋臺均設置盆式橡膠支座約束主梁變形，左側0#橋臺兩個支座編號為1#支座和3#支座，右側橋臺兩個支座編號為2#支座和4#支座。

橋梁非線性地震響應分析通過OpenSees有限元平臺進行[21]。地震作用下主梁的破壞主要以落梁和梁端碰撞為主，主梁本身通常都處于線彈性階段，因此這里采用彈性梁單元進行模擬。作為高墩橋梁中的關鍵構件，橋墩在地震作用下可能發生嚴重的塑性變形，這里采用非線性纖維梁柱單元模擬。根據橋墩的配筋情況，將橋墩截面分為核心區混凝土纖維和保護層混凝土纖維和縱筋纖維三部分，核心區混凝土和保護層混凝土材料特性均采用Concrete02材料進行定義。鋼筋材料特性采用Steel02材料進行定義。支座均采用零長度單元進行模擬，通過硬化材料(Hardening materials)定義支座非線性特性[22]。考慮到主梁與橋臺之間可能否發生嚴重的碰撞，這里采用零長度單元結合碰撞材料(Impact Material)模擬梁端碰撞效應，充分考慮碰撞過程中的剛度變化和能量耗散，其本構模型為Hertz-damp模型[23]。橋梁結構有限元模型如圖2所示。

圖2 橋梁結構有限元模型示意圖

3.2 橋梁結構參數不確定性

受到施工誤差、材料制造缺陷等因素的影響，橋梁結構的幾何尺寸、材料參數、邊界條件等通常都具有顯著的不確定性。在靜力作用下，橋梁結構響應的變異性與結構參數的變異性通常在同一水平，但是在地震作用下，特別是當結構進入非線性后，橋梁結構的隨機性將使得其地震響應存在大幅的隨機漲落現象。在橋梁結構動力分析中充分考慮橋梁結構參數的不確定性對于橋梁的抗震性能分析具有重要意義。本文參考既往研究[24-25]，以12個對橋梁抗震性能影響較為顯著的參數作為結構隨機變量，并考慮各個隨機參數之間的相關性，進行橋梁的非線性隨機地震響應分析，詳細研究橋梁結構參數不確定性和相關性對高墩橋梁概率抗震性能的影響。橋梁隨機參數的概率分布信息如表1所示，各個參數之間的相關系數如表2所示[24]。

表1 橋梁結構的隨機參數概率分布

表2 橋梁結構的隨機參數相關系數

3.3 隨機地震作用模型

橋梁地震響應分析的一個關鍵問題是輸入地震動的確定。由于地震發生的時空不確定性，橋梁位置處的地震動不僅具有顯著的隨機性，而且地震記錄還存在明顯的時-頻非平穩性。為了考慮地震動的隨機性和非平穩性，這里采用文獻[26]中的演化功率譜(evolutionary power spectral density, EPSD)模型生成隨機地震記錄，從而對橋梁結構進行隨機地震響應分析。地震動的雙邊演化功率譜表示為

(19)

式中：A(t)為地震動的非平穩調制函數；S0(t)為譜強度因子。A(t)和S0(t)分別定義為[27]

(20)

(21)

(22)

將抽樣獲得的地震動隨機參數Θ的610個樣本Θi(i=1,2,…,610)分別代入式(2)進行地震動模擬，由此即可得到610條地震記錄樣本。其中兩組典型地震記錄樣本如圖3所示，模擬地震動記錄樣本均值和均方值與目標值的對比如圖4所示。從圖3中可以看到，模擬的地震動樣本不僅幅值存在非平穩，而且其頻率也存在顯著的非平穩性，這完全符合地震動是時-頻非平穩隨機過程的認知。從圖4中可以看到，模擬地震動均值和均方值與目標值均吻合較好，這說明當樣本數N為610時，部分分層抽樣方法可以較好地模擬地震動的不確定性。

(a) 樣本1

(a) 均值

3.4 橋梁隨機地震響應分析

基于之前生成的非平穩地震動樣本和采用部分分層抽樣獲得的橋梁結構隨機參數，將橋梁結構隨機參數和地震動記錄樣本分別賦予每一個橋梁結構非線性有限元模型，然后進行一系列的非線性時程分析，即可得到非平穩地震作用下隨機橋梁結構的地震響應樣本，再通過統計分析即可得到其隨機地震響應。圖5以其中一個響應樣本為例，給出了1#墩墩底截面的彎矩-曲率滯回曲線。從圖5中可以看到，在該地震作用下，橋墩產生了明顯的屈服，橋梁結構產生了顯著的非線性。

圖5 橋墩非線性地震響應樣本

為了確定該高墩大跨連續剛構橋隨機地震響應分析中所需要的樣本數量，圖6以1號墩的墩頂位移、2號支座的位移，以及1號墩和2號墩的墩底彎矩為例，分別給出了當樣本數量N為377、610和987時(對應的Fibonacci序列中的l分別為14，15和16，上述四個關鍵響應變量隨機地震響應均方值的對比。從圖6中可以看到，當樣本數量N為377時，上述各響應變量的均方值在峰值附近還存在較大波動，但是當樣本數量N為610和987時，上述各響應變量就能得到收斂的結果。由此說明，對于本文中的高墩大跨連續剛構橋，在隨機地震響應分析時通過610次確定性非線性地震響應分析即可得到滿意的結果。

圖6 橋梁隨機地震響應

為了定量分析不同樣本數對橋梁結構非線性隨機地震響應分析的影響，同時說明本文方法在精度和效率方面的優勢，表3仍然以圖6中的四個關鍵響應變量為例，給出了樣本數量N為377、610和987以及直接采用數論方法(18 984樣本)[28]確定樣本時，上述四個關鍵響應的平均峰值因子和橋梁結構非線性動力分析所需要的計算時間。其中，橋梁地震響應的平均峰值因子定義為[29]

(23)

式中:σ[Z(t)]表示橋梁隨機地震響應的均方差；E[Zext]表示橋梁隨機地震響應的平均極值。

從表3中可以看到，橋梁結構不同關鍵響應的平均峰值因子存在一定差異，其變化通常在1.8～2.2。這表明，在通過橋梁結構非線性隨機地震響應標準差確定均值時，采用相同的平均峰值因子是不合理的。當N為377時，所獲得的橋梁非線性地震響應平均峰值因子明顯要小于N=987時的結果，而當樣本數量N為610時獲得的響應平均峰值因子與N=987時的結果已經非常接近，并且當樣本數量N為610和987時，其結果與直接采用數論方法的結果都較為吻合。再次表明橋梁結構隨機地震響應分析時，采用610個樣本即可獲得較為滿意的結果，同時說明本文方法與數論方法具有相同的精度。另外，從表3中不同樣本數量下橋梁結構非線性隨機動力響應分析時動力分析所需要的計算時間對比可以看到，當樣本數量N為377時，橋梁非線性地震響應分析需要189.3 min，約3.15 h，而當N為610和987時，所需要的計算時間分別為4.37 h和6.08 h，若直接采用數論方法進行分析，則一共需要約272 h，與直接采用數論方法相比，本文方法在效率方面具有明顯的優勢。基于上述分析，在兼顧精度和計算效率的同時，本文將橋梁結構隨機地震響應分析所需要的樣本數N取為610。

表3 橋梁結構的非線性隨機地震響應平均峰值因子

基于橋梁非線性隨機地震響應樣本，圖7(a)以1#墩為例，給出了地震作用下墩頂位移在[3.5,15] s范圍內概率密度演化曲面，圖7(b)以t=3 s，8 s和13 s三個典型時刻為例，給出了墩頂位移地震響應概率密度曲線的對比。其中，所有的概率密度均采用核密度估計進行確定。從圖7中可以看到，隨機地震作用下，橋梁結構的非線性地震響應存在顯著的非平穩特征，在地震的開始和結束階段，結構的地震響應概率密度曲面明顯較窄，而在地震動峰值附近，結構的地震響應概率密度明顯變寬。此外，從圖7(a)中還可以看到，隨機地震作用下，橋梁結構的地震響應概率密度演化曲面基本都關于0對稱，這從圖7(b)也可以看到。由此說明了隨機地震作用下，結構的非線性地震響應仍然是0均值的非平穩隨機過程。

(a) 概率密度演化曲面

為了說明橋梁結構參數不確定性和隨機相關性對高墩橋梁概率抗震性能的影響，圖8以1#墩地震響應為例，給出了相關不確定性結構、獨立不確定性結構、確定性結構三種工況下橋墩地震響應極值分布及對應的累積概率分布。從圖8(a)中可以看到，橋梁結構不確定性對其地震響應的影響較為顯著。在上述三種工況下，1#墩位移地震響應極值分布的最大值分別為0.137、0.117和0.128，相關不確定性橋梁結構地震響應極值分布的峰值最大，確定性橋梁結構的次之，獨立不確定性結構極值分布峰值最小。此外，從圖8(a)中還可以看到，不論是相關不確定性橋梁結構、獨立不確定性橋梁結構還是確定性橋梁結構，其地震響應極值分布峰值對應的橋墩位移響應極值均為9.5 cm，這表明橋梁結構的不確定性及隨機參數相關性雖然會改變橋梁地震響應極值分布的峰值，但是不會改變其發生概率最大的響應。

(a) 極值分布

一旦獲得橋梁地震響應極值分布，根據其損傷極限的定義，通過簡單的數值積分即可確定橋梁結構的地震可靠度和失效概率。根據文獻[30]的定義，該算例橋梁1#墩發生損傷時的橋墩相對位移臨界值為19.25 cm。若將其作為橋梁結構損傷極臨界值，相關不確定性結構、獨立不確定性結構、確定性結構三種工況下1#橋墩的地震可靠度分別為0.969 6、0.985 0和0.996 9。可以看到，當采用確定性結構和獨立不確定性結構時所得到的橋梁結構地震可靠度明顯要高于相關不確定橋梁結構的地震可靠度。這說明了在橋梁結構地震可靠度分析時不僅需要考慮橋梁結構的不確定性，還需要考慮橋梁結構隨機參數的相關性，不考慮橋梁結構的不確定性和隨機參數相關性將高估橋梁結構的地震可靠度。

4 結 論

基于部分分層抽樣原理，提出了完全非平穩地震作用下橋梁結構非線性隨機地震響應和地震可靠度分析方法，以一座高墩大跨橋梁為例，分析了地震作用下橋梁的非線性隨機地震響應，并研究了橋梁結構不確定性和隨機參數相關性對高墩大跨橋梁地震可靠度的影響。本文結論如下：

(1) 提出了時-頻非平穩地震作用下橋梁非線性隨機地震響應分析方法，其可以通過幾百次的動力分析對高墩大跨橋梁結構非線性隨機地震響應和極值分布進行準確估計，能夠直接對既有橋梁地震可靠度進行評估；

(2) 隨機地震作用下橋梁結構的隨機地震響應存在顯著的非平穩性，從地震開始到結束，橋梁地震響應概率密度曲線存在由窄變寬，再由寬變窄的演化過程；

(3) 橋梁結構不確定性和隨機參數相關性會對高墩橋梁的地震響應極值分布和地震可靠度產生顯著影響，不考慮橋梁結構不確定性和隨機參數相關性將會顯著的高估橋梁結構的地震可靠度。