預(yù)應(yīng)力式壓電能量采集器的模型和試驗(yàn)分析

王 海， 徐 罡， 楊春來(lái)， 金 標(biāo)， 鄭衍暢， 史 寧

(安徽工程大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

隨著可植入式電子和無(wú)線傳感器技術(shù)的快速發(fā)展，利用環(huán)境能量為存在于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的低功耗設(shè)備供電是一種新的供能方式。作為傳統(tǒng)電源的替代品，從環(huán)境中采集振動(dòng)能量是為無(wú)線傳感器、可植入式電子設(shè)備和其他低功耗設(shè)備提供電能的有效方式之一。因?yàn)檎駝?dòng)能量的采集受氣候、溫度等環(huán)境因素影響較小，所以在某些特定的傳感節(jié)點(diǎn)上，收集振動(dòng)能量更為可行。基于靜電[1-2]、摩擦[3]、壓電[4-9]和電磁[10-11]轉(zhuǎn)換機(jī)制的振動(dòng)能量采集器在過(guò)去十幾年中被廣泛討論。目前為止，高輸出功率仍然是振動(dòng)能量采集器應(yīng)用過(guò)程中的關(guān)鍵因素。

為了提高壓電能量采集器的能量采集效率，研究人員設(shè)計(jì)出一些基于非線性方法[12-13]的壓電能量采集器和二自由度的壓電懸臂梁能量采集方法。例如：引入磁場(chǎng)力、利用碰撞原理、采用翹曲梁等方法。例如，Yang等[14]提出了一種基于內(nèi)共振的非線性能量采集器，這種能量采集器的主體是一個(gè)壓電懸臂梁，懸臂梁上有一個(gè)可移動(dòng)的磁體，磁體連接在彈簧上，距懸臂梁不遠(yuǎn)處有一個(gè)固定磁體，活動(dòng)磁體可以沿著梁滑動(dòng)。設(shè)計(jì)這樣的結(jié)構(gòu)目的是為了減小梁的剛度，增強(qiáng)懸臂梁的運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)，從而提高能量采集器的輸出功率。試驗(yàn)結(jié)果表明，振幅和電壓的頻率響應(yīng)均顯示出雙重彎曲效應(yīng)，表現(xiàn)出更寬的工作帶寬。與只有兩個(gè)固定磁體的雙穩(wěn)態(tài)能量采集器相比，這種能量采集器的帶寬要大兩倍。Hu等[15]設(shè)計(jì)了一種帶有阻擋塊的兩自由度壓電能量采集器，與現(xiàn)有文獻(xiàn)研究的基于碰撞的能量采集器不同的是沒(méi)有在底座上安裝止動(dòng)塊，而是將止動(dòng)塊安裝在主梁上。根據(jù)得到的試驗(yàn)結(jié)果，在相同的條件下，與線性單自由度和兩自由度能量采集器相比，其工作帶寬分別拓寬了232.1%和289.8%。并且與線性單自由度和兩自由度能量采集器相比，能量采集器最大輸出功率幅值分別提高了64.4%和118.9%。除此之外，Yildirim等[16]提出了一種基于參數(shù)激勵(lì)方法的非線性能量采集器。除了利用非線性力和非線性振動(dòng)結(jié)構(gòu)外，改變壓電懸臂梁的初始條件也是提高能量采集效率的一種有效途徑。初始應(yīng)力會(huì)引起結(jié)構(gòu)彈性剛度的變化，可以用來(lái)調(diào)整結(jié)構(gòu)的共振頻率和模態(tài)振型。本文設(shè)計(jì)了一種基于預(yù)應(yīng)力梁的壓電式能量采集器。為了驗(yàn)證能量采集器的采集性能，建立該裝置的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行數(shù)值仿真，設(shè)計(jì)并搭建了試驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)在有無(wú)預(yù)加軸向拉力作用下的能量采集性能進(jìn)行了測(cè)試和分析。

1 基于預(yù)應(yīng)力梁的壓電式能量采集器

1.1 能量采集器結(jié)構(gòu)

圖1為壓電能量采集器的結(jié)構(gòu)圖。由于這里的預(yù)應(yīng)力梁為細(xì)長(zhǎng)梁，基于經(jīng)典的歐拉伯努利梁理論[17]，忽略梁的剪切變形，懸臂梁在預(yù)加載荷和外部荷載作用下，其梁的微分單元發(fā)生縱向位移、橫向位移和彎曲變形。單元的形變量可以通過(guò)其縱向位移u(x,t)和橫向位移(x,t)分析，在該試驗(yàn)裝置中懸臂梁剛度很大且軸向拉力較小，軸向位移相對(duì)于橫向位移為高階小量，根據(jù)材料力學(xué)中應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，預(yù)應(yīng)力存在雖然產(chǎn)生了軸向變形，但軸向變形進(jìn)一步影響橫向位移，所以預(yù)應(yīng)力的存在影響橫向位移，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，得到壓電能量采集器的近似解，因此只考慮橫向位移。

(a) 傳統(tǒng)的壓電能量采集器

1.2 能量采集器數(shù)學(xué)建模

建立歐拉-伯努利壓電懸臂梁的非線性動(dòng)力學(xué)方程，忽略剪切變形，沿x,z方向的位移

u3=0+cosΩt

(1)

式中：u1,u3分別為梁的x,z方向的絕對(duì)位移；u0,0分別為梁的中性面內(nèi)的x,z方向相對(duì)位移；,Ω分別為激勵(lì)幅值和激勵(lì)角頻率。

本文要研究壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)的非線性振動(dòng)，所以在位移應(yīng)變關(guān)系中，我們考慮了幾何非線性，求得的位移應(yīng)變關(guān)系為

(2)

對(duì)于壓電材料，壓電本構(gòu)方程如下

(3)

(4)

式中，ρs,ρp為金屬層和壓電層的材料密度。

忽略懸臂梁自由端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，自由端質(zhì)量塊的動(dòng)能

(5)

金屬層和壓電層的勢(shì)能

(6)

電壓項(xiàng)只與時(shí)間有關(guān)應(yīng)乘H(x)-H(x-L)，H(x)為亥賽維函數(shù)。

阻尼力和電荷所做的功

(7)

(8)

可以得到下式

(9)

(10)

(11)

其中：

(12)

式中：b為寬度；hs為基底梁的厚度；hp為壓電片的厚度。

其中:

(13)

(14)

(15)

由于壓電片很薄，對(duì)梁的中性層影響較小，把梁的幾何中心近似看成中性層，因此將YJ,I11,?1近似等于零。

忽略式(9)中的慣性量得

u″+′″=0

(16)

式(16)對(duì)x進(jìn)行積分得

(17)

由于預(yù)應(yīng)力的作用，軸向位移的邊界條件為：u(0,t)=0,u(L,t)=-pL/(YA)，把邊界條件代入式(17)求得

(18)

c2(t)=0

(19)

把c1,c2代入u(x)得

(20)

(21)

上面u和u′的導(dǎo)數(shù)代入控制微分方程

(22)

(23)

方程組表示了預(yù)應(yīng)力壓電懸臂梁的機(jī)電耦合性質(zhì)。

1.2.1 無(wú)量綱化

對(duì)上述偏微分方程的邊值問(wèn)題，采用分離變量法

(24)

式中：φr(x)為第r階模態(tài)振型函數(shù)；ηr(t)為第r階模態(tài)響應(yīng)函數(shù)。

假設(shè)壓電懸臂梁受到簡(jiǎn)諧激勵(lì)，方程中的受迫項(xiàng)可以寫成

(25)

式中，0，ω分別為基礎(chǔ)激勵(lì)振幅和激勵(lì)頻率。把式(25)代入系統(tǒng)的控制微分方程得

(26)

(27)

其中

(28)

由于a1≈Ο(1)，我們可以忽略幾何非線性對(duì)加速度的影響，引入以下無(wú)量綱變量。

(29)

用上述的尺度，無(wú)量綱方程可以寫成

(30)

(31)

其中

(32)

1.2.2 攝動(dòng)解的構(gòu)造

采用多尺度法求解非線性方程組，得到一階近似解。首先我們引入了一組新的時(shí)間尺度的自變量

Tn=εnt

(33)

式中:ε為時(shí)間尺度參數(shù)。Tn函數(shù)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)

(34)

(35)

其中Dn=?/?Tn。因此，為求解η(t)、v(t)，假設(shè)

η(t)=η0(T0,T1)+εη1(T0,T1)+O(ε2)

(36)

v(t)=v0(T0,T1)+εv1(T0,T1)+O(ε2)

(37)

其中參數(shù)k1～k4定義為

k1=εk1,k2=εk2,k3=εk3,k4=εk4

(38)

考慮主共振ω～ω1，引入調(diào)諧量σ，令ω=ω1+εσ。 把上述定義的參數(shù)代入系統(tǒng)控制方程中，令ε0，ε1的系數(shù)等于零。

ε0：

D0v0+k6v0=k5D0η0

(39)

ε1:

k3v0+k4cos(ω1T0+σT1)

(40)

D0v1+k6v1=k5(D1η0+D0η1)-D1v0

(41)

上式的解可以表示為

η0=A(T1)eiω1T0+cc

v0=ZA(T1)eiω1T0+cc

(42)

式中：cc為復(fù)共軛項(xiàng)；A(T1)是關(guān)于T1的方程。其中:

(43)

把式(43)代入ε1方程組中，并令eiω1T0的系數(shù)等于零，得到:

(44)

把式(44)代入ε1方程組中得到

v1=0

(45)

為了得到式(44)的解，用極坐標(biāo)的形式描述復(fù)值函數(shù)A(T1)

(46)

將A(T1)代入式(44)，然后把方程的實(shí)部和虛部分開(kāi)得到

(47)

其中:

φ=σT1-θ

(48)

上面的偏微分方程組是不可解的，只能求出其穩(wěn)態(tài)解，故令β′=φ′=0得到壓電懸臂梁動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解，兩個(gè)偏微分方程取平方，然后相加，得出

(49)

式中，β0為穩(wěn)態(tài)振幅。為了表示動(dòng)力系統(tǒng)的幅頻特性曲線，式(49)可寫為

(50)

從式(50)可知，對(duì)于某一幅值響應(yīng)β0，其對(duì)應(yīng)兩個(gè)激勵(lì)頻率ω1，2，但這兩個(gè)頻率所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)β0可能是不穩(wěn)定的，為了表征解的穩(wěn)定性，考慮如下的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的方程

(51)

式中，x1,x2為狀態(tài)量。則上述系統(tǒng)的雅可比矩陣為

(52)

根據(jù)上面求的幅值和頻率的方程組，在本動(dòng)力系統(tǒng)中狀態(tài)向量β和φ，f1和f2的表達(dá)式如下

(53)

可得到系統(tǒng)的雅可比矩陣為

(54)

穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性依賴于雅可比矩陣的特征值，上式所對(duì)應(yīng)的特征方程如下

(55)

展開(kāi)此行列式，得到

(56)

該運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的本征值如下

(57)

其中

(58)

根據(jù)以上公式可繪制出系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如圖2所示。

圖2 幅頻關(guān)系的穩(wěn)定性

利用這些結(jié)果，得到位移和電壓的表達(dá)式

(x,t)=rβ0φ(x)cos(ω1t+θ)-

(59)

(60)

平均輸出功率

(61)

把v(t)代入式(61)得到

(62)

2 數(shù)值仿真和分析

通過(guò)MATLAB軟件及1.2中的公式對(duì)壓電能量采集器的力學(xué)行為進(jìn)行數(shù)值模擬，進(jìn)而評(píng)估該裝置的能量采集性能。表1給出了能量采集裝置懸臂梁和壓電材料尺寸和性能參數(shù)。

表1 能量采集器的尺寸和材料參數(shù)

能量采集裝置外接激勵(lì)振動(dòng)裝置，為了使壓電能量采集裝置輸出最大功率，振動(dòng)裝置的激勵(lì)頻率等于懸臂梁的固有頻率，能量采集裝置輸出最大功率。該試驗(yàn)通過(guò)改變軸向彈簧的軸向拉力從而改變壓電懸臂梁的固有頻率和增大自由端的垂直方向的外載荷。

式(50)表達(dá)了PZT-5H表面的電壓差，通過(guò)MATLAB繪制在不同軸向力作用下，頻率和PZT-5H上下表面電壓差的關(guān)系，如圖3所示。

圖3 不同激振頻率下的開(kāi)路電壓

從圖3可以看出增大軸向拉力，懸臂梁的固有頻率相應(yīng)增加。初始軸向拉力從0到5.9 N，固有頻率從22.62 Hz增大到32.48 Hz。相應(yīng)的PZT-5H上下表面的電壓差從10.73 V增大到29.72 V。

式(62)近似描述了在外接不同負(fù)載電阻時(shí)的輸出功率。圖4表明了在外接電阻R從0到10 000 kΩ，懸臂梁自由端加不同軸向力，輸出功率與電阻的關(guān)系。

圖4 在不同軸向拉力，輸出功率與外接負(fù)載電阻的關(guān)系

從圖4我們可以得到初始軸向拉力從0到5.9 N，輸出功率從0.06 mW到0.16 mW。軸向拉力5.9 N時(shí)，外接824 kΩ輸出功率達(dá)到最大值0.16 mW。

通過(guò)式(60)得到電壓與時(shí)間的關(guān)系，在外接824 kΩ 的負(fù)載電阻生成如圖5的不同軸向拉力作用下，開(kāi)路電壓的瞬態(tài)變化曲線。

(a) 0和1.7 N軸向拉力

由圖5(a)、(b)得在無(wú)軸向拉力作用下，能量采集裝置的電壓幅值大約為3.8 V，初始軸向拉力1.7 N作用下，電壓幅值為5.6 V，初始軸向拉力3.7 N作用下，電壓幅值為8.9 V，初始軸向拉力5.9 N作用下，電壓幅值達(dá)到11.3 V。

3 試驗(yàn)平臺(tái)與結(jié)果分析

3.1 試驗(yàn)平臺(tái)搭建

為了測(cè)試和驗(yàn)證預(yù)應(yīng)力梁對(duì)壓電能量采集器的能量采集效率的影響，本文設(shè)計(jì)了相關(guān)試驗(yàn)對(duì)所設(shè)計(jì)的能量采集器進(jìn)行驗(yàn)證。如圖6所示，該能量采集器的主體是銅制基底梁，在其上表面粘貼PZT-5H。圖7為整個(gè)試驗(yàn)平臺(tái)的實(shí)拍圖。

圖6 能量采集器安裝圖

圖7 試驗(yàn)平臺(tái)實(shí)拍圖

如上所述銅梁的右端粘有一個(gè)鋼制質(zhì)量塊，質(zhì)量塊的右端連接有彈簧，用于調(diào)節(jié)梁的預(yù)加載荷。在初始載荷的作用下，基于預(yù)應(yīng)力梁的壓電能量采集器的固有頻率會(huì)產(chǎn)生一定的偏移。

3.2 結(jié)果分析

本節(jié)在相同加速度激勵(lì)下，對(duì)不同軸向拉力作用下的能量采集器做了試驗(yàn)分析。通過(guò)改變激勵(lì)的頻率，得到在不同軸向拉力作用下，壓電能量采集器的開(kāi)路電壓隨頻率的變化曲線。如圖8所示，無(wú)拉力作用下，壓電能量采集器在27.2 Hz時(shí)產(chǎn)生了15.6 V的峰值電壓，初始預(yù)加1.7 N軸向拉力的壓電能量采集器在29.3 Hz時(shí)的產(chǎn)生的峰值電壓為22.8 V，3.7 N初始軸向拉力作用下的壓電能量采集器在31.1 Hz時(shí)產(chǎn)生了24 V的峰值電壓。與傳統(tǒng)的壓電能量采集器相比，在5.9 N初始軸向拉力作用下，壓電能量采集器的開(kāi)路電壓提高11.6 V，當(dāng)激振頻率為31.8 Hz時(shí)，其開(kāi)路電壓達(dá)27.2 V。圖8與圖3的仿真結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)，能量采集器的固有頻率、開(kāi)路電壓變化趨勢(shì)及峰值大小較吻合，隨著軸向拉力的增大，導(dǎo)致剛度增大，從而使固有頻率增大，最終導(dǎo)致電壓的增大。當(dāng)初始軸向拉力增大到5.9 N時(shí)，能量采集器的固有頻率偏移了4.6 Hz。

圖8 不同激振頻率下的開(kāi)路電壓

圖9為在5.9 N軸向拉力作用下能量采集器的開(kāi)路電壓，分別為試驗(yàn)和仿真結(jié)果，由于試驗(yàn)誤差的影響導(dǎo)致曲線未能重合，但在允許誤差范圍內(nèi)，因此證明了試驗(yàn)及結(jié)論的正確性。

圖9 5.9 N軸向拉力的試驗(yàn)與仿真結(jié)果對(duì)比

圖10為壓電能量采集器的一階諧振頻率和開(kāi)路電壓隨軸向拉力增加的變化曲線。圖11(a)、(b)為不同初始軸向拉力下，開(kāi)路電壓的瞬態(tài)變化曲線。無(wú)軸向拉力作用下，能量采集器的電壓幅值2.1 V， 1.7 N初始軸向拉力作用下能量采集器的電壓幅值為5.6 V，而3.7 N初始軸向作用下能量采集器的電壓幅值為7.3 V，5.9 N初始軸向拉力作用下能量采集器的電壓幅值為10 V左右。可以看出，預(yù)加軸向拉力可以提高能量采集器的輸出電壓。

圖10 一階固有頻率和開(kāi)路電壓與軸向拉力的關(guān)系

(a) 0和1.7 N軸向拉力

圖12為在不同軸向拉力作用下壓電能量采集器末端位移的FFT變換。該圖表明，壓電能量采集器末端振動(dòng)的頻譜特性與開(kāi)路電壓在掃頻測(cè)試下的規(guī)律一致。隨著軸向拉力的增大，壓電能量采集器末端位移逐漸增大。能量采集器的固有頻率也隨著軸向拉力的增加偏移的更多，當(dāng)初始軸向拉力增大到5.9 N時(shí)，能量采集器的固有頻率偏移了4.6 Hz。圖13為能量采集器在5.9 N初始軸向拉力作用下末端運(yùn)動(dòng)的相位圖，該圖表明在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下壓電能量采集器末端做周期運(yùn)動(dòng)。

圖12 末端位移的FFT變換曲線

圖13 末端運(yùn)動(dòng)相位圖

為了測(cè)試壓電能量采集器在有或沒(méi)有初始載荷條件下的充電性能,對(duì)100 μF電容器進(jìn)行了15 s的充電測(cè)試。圖14和表2分別給出了充電試驗(yàn)電路和充電測(cè)試結(jié)果。與無(wú)軸向拉力的壓電能量采集器相比，5.9 N軸向拉力作用下的壓電能量采集器充電電壓提高了1.55 V。圖15為不同軸向拉力作用下, 能量采集器對(duì)電容充電的平均功率曲線圖，從圖中可以看出,隨著軸向拉力的增大，充電的功率呈增大的趨勢(shì)。上述分析表明，預(yù)加軸向拉力從0到5.9 N，能量采集器的效率能提高83.1%。雖然軸向拉力使壓電能量采集器的諧振頻率發(fā)生了偏移，但其固有頻率仍在低頻范圍內(nèi)。因此，可以考慮采用這種預(yù)應(yīng)力梁來(lái)提高壓電能量采集器的能量采集效率。

圖14 充電試驗(yàn)的試驗(yàn)電路圖

表2 電容充電數(shù)據(jù)

圖15 不同軸向拉力下的平均充電功率曲線圖

4 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了一種基于預(yù)應(yīng)力梁的壓電式能量采集器，并進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模仿真和相關(guān)試驗(yàn)測(cè)試。試驗(yàn)結(jié)果表明，軸向拉力作用下使壓電能量采集器的固有頻率發(fā)生偏移。此外，在相同的加速度激勵(lì)條件下，與傳統(tǒng)壓電能量采集器相比，預(yù)加載軸向力增大了壓電能量采集器的共振頻率，提高了開(kāi)路狀態(tài)下的電壓峰值，電容充電試驗(yàn)中也有良好表現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)了更好的能量收集應(yīng)用。與無(wú)軸向張力的壓電能量采集器相比，5.9 N初始軸向拉力作用下平均充電功率提高了83.1%。通過(guò)該壓電能量采集器模型的分析，可以通過(guò)在傳統(tǒng)壓電能量采集器的末端施加預(yù)應(yīng)力提高能量采集效率。