核心素養下模型思想在初一數學應用題中的應用

傅倩茹

摘 ? 要：數學應用題是學生進入初中數學學習中會面臨的一類難題，培養學生解決應用題的能力，樹立學生數學問題學習的信心具有重要意義.以人教版七年級下冊第八章第三節的探究3這一問題為例，引導學生學會進行數學材料的閱讀，厘清問題的數量關系，體會模型思想在實際問題的解決中的應用.

關鍵詞：模型思想;應用題;數學閱讀

在小學階段，學生已經學會運用算術解決簡單的數學應用題.到了初中，數學應用題卻成為了多數學生心中的“攔路虎”，學生需要不斷在解決問題的過程中體會和應用數學模型思想[ 1 ].初一數學是學生從小學數學認知到初中數學應用的一個重要過渡學段，如何讓學生更快的學會運用模型思想解決初中學習過程中較為復雜的應用題，培養和樹立學生學習數學問題的興趣和信心是教師們需要不斷考慮的.為此，本文以人教版七年級數學下冊第八章第三節探究3有關運費的這一問題的新課教學為例[ 2 ]，探討模型思想在數學應用題教學中的應用.

1 ?巧設鋪墊，化繁為簡

當學生首次接觸到這道題時，大多數的學生看到如此冗長的問題是不知道從何入手的，而且題目中的運價單位也對本題的審題造成了一定的困難，因此教師在新課教學過程中應當幫助和引導學生梳理題目中的難點，為此可在教學的前期過程中引入以下幾個趣味小問題作為鋪墊：

（1）經調查，某小組4個人10天共吃了120個包子，問：平均每人每天吃多少個包子？

（2）①把3 噸貨物從甲地運到50 千米外的乙地，共支出運費225 元.若按此計算，運4噸貨物走5 千米需要支付多少運費？

②2 元/（噸·千米）表示什么？若按此計費，運a噸貨物走b千米需要支付多少運費？

綜上所述，運費=________×________×_________.

問題1中，學生可以通過小學算術方法或者一元一次方程求得平均每人每天吃3個包子.

問題2的①中，學生用一元一次方程解決時發現直接設元并不能較為簡單的解決此問題，而是要采用間接設元的方式，設運1噸的貨物行駛一千米需要x元，求得x=1.5，進一步求得運4 噸貨物走5 千米需要支付30 元.此問題的設計既幫助學生復習了一元一次方程解應用題的基本步驟，也讓學生初步體會了運價的具體數值的計算方式.在上述兩個小問題的基礎上，現在可以讓學生用自己的語言理解2元/（噸·千米）表示什么，當學生能夠成功說出2 元/（噸·千米）表示運1噸的貨物行駛1千米，需要支付2 元錢時，對于實際要解決的探究3已經突破了單位的理解這一難點.學生在第②問中還需要理解運a噸貨物走b千米需要支付2ab元的運費，并具體得到運費的計算公式：運費=數量×單價×路程，此部分的講解教師要引導學生體會從具體過渡到抽象，從特殊過渡到一般的過程.

以上幾個小問題看似簡單，但其實際上需要達到以下幾個重要目的：（1）突破對運費單位“元/（噸·千米）”的理解;（2）一元一次方程思想的應用復習;（3）間接設元與直接設元的選擇;（4）從數字到字母，從特殊到一般的能力培養.達到以上幾個目標后，學生心理上能夠對這樣簡單的數學問題提起興趣，并且在參與解決問題的過程中，從而為實際解決探究問題做了知識及心理上的良好鋪墊作用.

2 ?細剖原文，提取關鍵

探究3問題文字內容豐富，各數學量之間的關系在沒有梳理前是錯綜復雜的，學生要在教師的引導下學會如何更好地進行數學閱讀，學會提取題目中的關鍵信息.首先讓學生動筆將長的數學問題進行分段.冗長的段落變成簡單的句子后，便可以引導學生從每個短句中提取關鍵信息，學生依次可以得到：原料單價、產品單價;公路運費單價、鐵路運費單價;公路總運費、鐵路總運費;問題為求：銷售款-（原料費+運輸費）.

學生觀察問題后可以發現，要求得問題的結果，需要求出銷售款、原料費、運輸費分別為多少.從這三個未知量入手，學生要先找到數量關系，并把已知量代入式子從而得到：

學生通過觀察發現，解決本問題，關鍵要求出未知的原料數量和產品數量，因此學生已然可以判斷出本題要選用二元一次方程組這一數學模型進行解決.

在審題的過程中，學生需要不斷地對題目中的文字進行分析，有效的數學閱讀可令學生加快理解題意，提高判斷及分析的能力，同時也要求學生在此過程中要細致、耐心.在應用題的教學過程中，對于篇幅較長的題目文本，本例提供了一種比較切實可行的利用劃分段落提取關鍵詞，列數學關系式進行分析的這樣一種直接分析方法，可以簡要概括為“段→句→詞→式”.

可以發現不是所有的學生都能夠這么順利地提取信息，因此除了直接分析法，還可以引導學生利用圖表進行審題.課本中對于本題還提供了一個表格，實際問題中還有很多適用于列表法解決的應用題，如何設計表格、表頭是其中的難點，適用于列表法解決的應用題類型比如配套問題、行程問題、比賽問題、古籍問題等.詳細的讀者可以參閱王壽娟及劉勇老師的《用列表法解應用題》[ 3 ].此外，教師還可以引導學生利用題目中的圖進行審題分析，觀察可以讀取出鐵路有兩段，分別是120 km與110 km，公路有兩段，分別是10 km與20 km，從A地到長青化工廠運輸的是原料，從長青化工廠到地運送的是產品，因此可以對圖中每段鐵路或者公路的運價進行標注，再結合題目已知的公路及鐵路的總運價便可發現其中的關系式.

3 ?拓展延伸，鞏固應用

值得一提的是，教材在分析這道題的未知量都與產品及原料的數量有關系后，便給出了設元方式：設產品為x噸，原料為y噸.關于這個設元方式有以下兩個問題需要引導學生進行分析：

（1）應該直接設元還是間接設元？

（2）產品數量跟原料數量相等嗎，為什么是設兩個未知數而不是一個未知數？

對于第一個問題，很明顯的本題直接設元存在困難，需要通過先求解產品數量和原料數量再分別求出問題中的銷售款、原料費和運輸費.其二，產品數量跟原料數量是不相等的，為了證明這個結論我們可以先假設二者相等，設產品數量與原料數量均為x噸，則根據公路運費的總費用我們可以列式得到：10×1.5x+20×1.5x=15000，求出x=，再將x的值代入鐵路運費計算得到總價為92000，與題目中的97200不符，因此產品數量與原料數量不相等，所以需要設兩個未知數.

在課本探究3的基礎上，2020-2021學年七年級第二學期廈門數學市質檢第24題對其進行了改編與設計：第一問考察二元一次方程組在實際問題中的應用，問題中有兩個未知數，直接設元便可.學生在此問中可以初步體會數學閱讀與模型思想.第二問信息量大，學生需要梳理題目中復雜的信息，厘清各數學量之間的關系，通過模型思想尋找到合適的數學模型解決問題.采用前文所述的審題方式，學生可以發現本問中方案的費用均與公路及鐵路的運輸單價有關，且兩者均未知，因此求解方案費用需要間接設2個元.學生還需利用分類討論的思想得到有兩種方案，方案一：原料A公路運輸，原料B鐵路運輸;方案二：原料A鐵路運輸， 原料B公路運輸.將每個方案的具體費用用未知數表示出來后發現每種方案的費用表示都帶有兩個未知數，怎么辦呢？此時學生回顧數的大小比較方法，含未知數的式子要進行比較，就需要用到課本121頁的求差法，通過解不等式分類討論出最終的結果.可以說本道題的設計獨具匠心，蘊含了模型思想，具體有二元一次方程組及不等式;分類討論思想.所用的方法均來源于課本所學，對學生數學閱讀及模型意識的要求比較高.

4 ?總結

通過以上分析，我們給出了運用直接分析法、列表法、圖例法進行應用題審題的示范過程，實際解決問題中，學生要學會選用靈活的方式進行審題，每種方法都有其優缺點，直接分析法要求學生具備較高的數學閱讀能力，能夠將文字語言轉換成數學符號語言的能力，列表法及圖例法都相對直觀，而列表法中對表格的設計是難點.學生在解決應用題的過程中，既可以單一地選取其中一種方法，而在其中一種方法行不通時又可以有效地選用其他的方法結合進行分析.通過本道探究問題的分析，學生能夠體會到解決數學問題方法的多樣性，不斷突破數學問題閱讀的難點.

數學應用題形式多樣，如何更好地帶領學生簡潔高效地解決問題是我們不斷追求的目標.通過課本探究3的授課，引導學生自主學會基本的審題技巧.審題關過了，學生便能較迅速地匹配所學習過的數學模型，從而將具體問題轉化為數學問題進行求解.初一年的應用題的解答所涉及的重要模型便是方程及不等式，教師要不斷強化學生提取關鍵信息，厘清數學關系的能力.在基礎模型夯實以后，便可進一步做技能疊加，也為后續的函數應用題等更多更復雜類型的應用題做鋪墊.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 林群.義務教育教科書數學七年級下冊[M].北京：人民教育出版社，2013.

[3] 王壽娟，劉勇.用列表法解應用題[J].初中生學習指導，2019{4}（32）：26-27.