配方法在初中數學解題中的靈活運用

戴曉峰

摘要：配方法是初中數學中恒等變形的一種重要方法，也是一種靈活、廣泛運用的高效解題方法.本文中結合典型例題的具體分析，探討了在各類題型中靈活運用配方法解題的方法與技巧問題.

關鍵詞：挖掘關系;觀察配方;湊項配方;利用公式

1 引言

在初中數學中，配方法是一種能夠靈活運用、十分重要且有效的解題思想和方法.它常見于各類數學問題的解答之中，現將其常見的解題思路與方法歸類解析如下.

2 配方法在各類題型中的靈活運用

2.1 在代數式運算中的運用

例1 已知實數x，y，z滿足x=6-y，z2=xy-9，試求x，y，z的值.

解：把x=6-y代入z2=xy-9中，得

2=（6-y）y-9=-（y-3）2，即

2+（y-3）2=0????? ①

因為y，z是實數，所以z2≥0，（y-3）2≥0.

欲使①式成立，則z=0，y=3，此時x=3.

故x=y=3，z=0.

思路與方法：本題的題設條件中等式只有2個，而未知元卻有3個，要想求出這三個未知量，還應挖掘條件中等式隱含的某種特殊關系，這就需要運用配方法，例如通過把x=6-y代入z2=xy-9中，再化為z2+（y-3）2=0，這樣就等于消去了一個未知元x，達到了化繁為簡的目的.

例2 設x=n+1-nn+1+n，y=n+1+nn+1-n（n為自然數），當n為何值時，等式x2+1 504xy+y2=1 986成立？

解：x+y=n+1-nn+1+n+n+1+nn+1-n=（n+1-n）2+（n+1+n）2（n+1+n）（n+1-n）=4n+2，

xy=n+1-nn+1+n×n+1+nn+1-n=1.

故由x2+1 504xy+y2=（x+y）2+1 502xy=（4n+2）2+1 502=1 986，解得n=5.

思路與方法：通過觀察發現，題設條件中，x與y互為倒數，容易求出x+y和xy的值;再將要求的等式左邊利用配方法變化成含x+y和xy的形式，即可輕松求解.

2.2 在解方程中的運用

例3 解方程：x29+16x2=103x3-4x.

解：因為x29-83+16x2=x3-4x2，所以原方程可變形為x3-4x2+83=103x3-4x.

設y=x3-4x，代入上述方程，得y2+83=103y.

整理得3y2-10y+8=0，解得y1=43，y2=2.

再由43=x3-4x和2=x3-4x，

解得原方程的四個根分別為

x1=6，x2=-2，x3，4=3±21.

思路與方法：通過觀察發現，方程左邊的兩項x29和16x2分別是右邊括號內的兩項x3與4x的平方.這就啟發我們，可以通過“湊項”的方法將原方程轉化為關于新未知數y=x3-4x的方程，進行求解.

例4 求方程x+y-1+z-2=12（x+y+z）的實數解.

解：原方程可變形為：2x+2y-1+2z-2=x+y+z

（x-2x+1）+[（y-1）-2y-1+1]+[（z-2）-2z-2+1]=0

（x-1）2+（y-1-1）2+（z-2-1）2=0.

根據實數性質，可得x=1，y-1=1，z-2=1，解得x=1，y=2，z=3.

經檢驗，x=1，y=2，z=3是原方程的解.

思路與方法：一般來說，當未知數的個數多于方程的個數時，方程（組）的解就有了不確定性[1].例如本題通過配方，將左邊湊成了三個完全平方式之和，而右邊為零，利用非負數的性質，就暴露了問題的特殊性，即x-1=0，y-1-1=0，z-2-1=0三者同時成立，則原方程同解于三個方程組成的方程組，從而順利解決問題.

2.3 在函數中的運用

例5 求函數y=x4+x2+1的最小值.

解：y=x4+x2+1=（x2）2+x2+1

=x2+122+34.

因為x2≥0，x2的最小值是0，所以，當x=0時，y=0+122+34=1，即所求函數的最小值為1.

思路與方法：一般來說，當自變量取值范圍有限制時，要求y=ax2+bx+c的最值，不能輕易套用最值公式，應先通過配方再求最值，防止出錯.例如在本題中，如果直接套用二次函數的最值公式y=4ac-b24a，當x2=-b2a=-12時，y取得最小值，這是不可能的，因為x2≥0，x2不能取-12.

例6 已知二次函數y=ax2+bx+c有最小值12，且a∶b∶c=1∶3∶2，求此函數的解析式.

解：設函數的解析式為y=a（x+h）2-12（a>0）.

因為a∶b=1∶3，所以b2a=32=h，此時，函數的解析式為y=ax+322-12=ax2+3ax+9a-24.

由條件c∶a=2∶1，得9a-24=2a，即a=2.

故所求二次函數的解析式為y=2x+322-12，

即y=2x2+6x+4.

思路與方法：由本題的題設可得拋物線的頂點坐標為-32，-12，所以設二次函數解析式為“配方式”求解較為方便.

2.4 在平面幾何中的運用

例7 如圖1，在△ABC中，∠A+∠C=2∠B，其中最大邊與最小邊分別是方程3x（x-9）+32=0的兩根，求△ABC的內切圓面積.

解：因為∠A+∠C=2∠B，

所以3∠B=180°，即

∠B=60°.因為三角形中最大角不小于60°，最小角

不大于60°，而∠B=60°，所以∠B必是最大邊與最小邊的夾角.

原方程整理為3x2-27x+32=0.

設△ABC最大邊為a，最小邊為c，則a，c為方程的兩根.由韋達定理可知a+c=9，ac=323.

由余弦定理，可知b2=a2+c2-2accos B=（a+c）2-3ac=92-3＼5323=49，解得b=7.

所以S△ABC=12acsin B=12＼5323＼532=833.

由S△ABC=12（a+b+c）r（r為三角形內切圓半徑），得

r=2S△ABCa+b+c=2×8339+7=33.

故三角形內切圓面積為S=πr2=13π.

思路與方法：本題如果采用常規方法，通過求解方程的兩根來計算內切圓的面積，運算會非常繁瑣，所以另辟蹊徑，巧用一元二次方程根與系數的關系及配方法[2]，則計算過程簡捷多了.

例8 已知，a，b，c，d皆為正數，且滿足a4+b4+c4+d4=4abcd.

求證：以a，b，c，d為邊的四邊形為菱形.

證明：將條件式變形為a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2+2c2d2-4abcd=0.

即（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0.

所以a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0.

解得a=b=c=d.

所以，以a，b，c，d為邊的四邊形為菱形.

思路與方法：證明本題的主要技巧在于利用完全平方公式將條件式配方變形，只需要證明a=b=c=d即可.

2.5 在根式運算中的運用

例9 化簡：x+2x-1+x-2x-1（其中x≥1）.

解：

x+2x-1+x-2x-1

=（x-1）+2x-1+1+

（x-1）-2x-1+1

=（x-1+1）2+（x-1-1）2

=x-1+1+x-1-1

=2x-1，x≥2，2，1≤x<2.

思路與方法：本題利用配方法，將根式中的代數式配成完全平方式以便求其算術平分根，其中將x改寫成x-1+1的形式是解題的關鍵.

3 結論

從上述典型例題思路與方法的解析中可以看出，靈活運用配方法解題，關鍵是要在儲備大量基礎知識、能嫻熟運用相關公式、定理、性質的基礎上，有目的地去“變形配方”，充分運用發散思維，多角度思考、多途徑嘗試、多聯想、多分析、多訓練，從中尋找、挖掘條件之間、條件與結論之間的聯系.長此以往，堅持訓練，一定能夠提高綜合解題能力.

參考文獻：

[1]王亞峰.配方法在初中數學解題中的應用[J].理科考試研究，2016（8）：1.

[2]劉夢.配方法在解題中的運用[J].初中數學教與學，2021（13）：20-21，14.