用數學思想引導生成課堂及簡評

王紅華

筆者曾受邀參加咸寧市名師工作室研討活動，會上研討了一節“一題一課”型的復習課.大部分教師在討論中提出，中考前的數學復習課難上，認為復習課是“三無”產品，即“無教材、無教參、無教案”，因此許多教師往往依賴各類教輔資料搞“題海戰術”，導致學生學習負擔加重，阻礙數學素養的提升.而“一題一課”的課型就是讓學生走出題海，減負增效.這種課型以一個問題為背景材料，深度挖掘問題的條件、結論和解決問題的思路，引導學生多角度思考，從知識體系的高度去變式拓展，探究新的問題解決方案，并提煉其中所蘊含的數學思想方法，揭示問題的本質，促進思維能力的發展，進而提升學生的關鍵能力和學科素養.

筆者以人教版八年級上冊第十三章第4節的課題學習“最短路徑問題”的問題1為素材，討論用數學思想引導基于“一題一課”型復習課的生成過程并作簡要評析.

1 課本問題呈現

問題 如圖1，牧馬人從A地出發，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B 地.牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

2 課堂生成思路

此問題也叫將軍飲馬問題，是每年各地中考的熱點之一.解決本問題可以作出點A關于直線l的對稱點A′，如圖2，連接A′B，交直線l于點C，即AC+BC最小.本問題通過軸對稱變換，將直線同側兩點中的一個點變換到另一側，而不改變路徑的總長度，利用“兩點之間線段最短”解決本問題.這其中蘊含化歸思想，在解決問題的過程中軸對稱變換起到了橋梁作用.

此問題為解決最短徑問題提供了思考方法，下面繼續對本問題進行思考.此問題中對象的特征是：有三個點，其中一個點在直線上，另兩個點實際上是兩定點且在直線的同側.用運動變化的觀點，從特殊到一般的思想去思考，能否由定點想到動點，而動點往往在某個幾何圖形上，由此我們可以聯想到點A，B在某個幾何圖形上，由靜到動多角度變式拓展，聯系前后所學數學知識，將此問題逐步推進，提出新問題，然后分析問題，解決問題，進而加深對知識的理解，提高綜合運用知識解決問題的能力，同時提升思維的廣闊性和深刻性.

2.1 聯系直線型生成

上述已經聯想到點A，B在某個幾何圖形上，可以用分類的思想，將初中幾何圖形簡單分為直線型、圓、一般曲線型（拋物線、雙曲線）.最簡單的一種，如問題1：如圖3，直線l1與直線l2相交于點O，點B為一定點，若點A在直線l1上且與點B在直線l2的同側，點C為直線l2上一點，當點A與點C分別在何處時，AC+BC的值最小？

解法指引：

問題1與將軍飲馬問題不同之處在于點A不是定點，但A和B都在直線l2的同側，這與將軍飲馬問題中的對象有相似性，可以將此問題歸類為將軍飲馬問題，進而類比將軍飲馬問題的解決方法去求解.學生容易想到用以下思路一解決.

思路一：如圖4，作點B關于直線l2的對稱點B′，此時BC=B′C，求AC+BC的最小值，問題轉化為點到直線的距離.過點B′作直線l1的垂線，垂足為點A，連接AB′交直線l2于點C，即點A，C為所求點.

用整體的思想繼續思考，若將直線l1看作是“定”的整體，能否通過類比將軍飲馬問題加以解決？于是指導學生用以下思路二加以解決.

思路二：如圖5，作直線l1關于直線l2的對稱直線l3，此時過B作BD垂直于直線l3，垂足為D，交直線l2于點C，作D關于直線l2的對稱點A，即BD為AC+BC的最小值，點A，C為所求點.

兩種思路的證明也可讓學生類比將軍飲馬問題的證明，但此問題利用“垂線段最短”來說理，證明過程略.思路二中利用整體思想，使生疏的問題熟悉化，復雜的問題簡單化，從而順利解決問題.

聯系等邊三角形、菱形、正方形性質可編寫習題.根據學情，也可讓學生自主編題.以下就是結合等邊三角形性質編寫的例題.

例1 （2020＼5營口中考題改編）如圖6，△ABC為等邊三角形，邊長為6，AD⊥BC，垂足為D，E和F分別是線段AD和AB上的動點，連接BE，EF，則BE+EF的最小值為? ??.

分析：

此題中，點B和點F在AD的同側，點F和點E分別為AB和AD上的動點，問題可轉化為將軍飲馬直線型拓展模型解決.本題中根據等邊三角形的性質，點B關于AD的對稱點為點C，求BE+EF的最小值，問題可轉化為求點C到AB的距離，如圖7.解法略.

2.2 聯系圓生成

按分類思想，繼續考慮，點A若在圓上呢？

問題2 如圖8，點B為一定點，圓O與點B在直線l的同側，若點A為圓O上一動點，C點為直線l上一動點，則點A，C在何處時，AC+BC的值最小？

解法指引：

點A在定圓O上且與點B均在直線l的同側，類比以上直線型拓展模型，也有兩種思路.

思路一：如圖9，作點B關于直線l的對稱點B′，問題轉化為圓外一點到圓上一點的距離的最小值.連接點B′和圓心O，交圓O于點A，交直線l于點C，點A，C即為所求點.

思路二：直線型拓展模型將點A所在的直線看作“定”的整體，在這個問題中，同樣用到整體思想，我們也可把點A所在的圓O看作“定”的整體.類比思路一的方法，如圖10，作定圓O關于直線l的對稱圓O′，連接BO′，交圓O′于點A′，交直線l于點C，作點A′關于直線l的對稱點A，點A，C即為所求點.此問題利用“兩點之間線段最短”來證明，理由從略.

0

進一步用運動變化的觀點，從特殊到一般的思想去思考：若點A，B在兩個不同圓上呢？學生作圖進一步探究.

問題3 如圖11，若點A為圓O1上一動點，點B為圓O2上一動點，圓O1與圓O2在直線l的同側，C為直線l上一動點，則點A，B，C分別在何處時，AC+BC的值最小？

1

2

解法指引：

點A，B在不同的圓上，點C在直線l上，三點都是動點，圓O1，O2均在直線l的同側，可以類比前面的問題2，用整體的思想，把圓O1，O2分別當作一個整體，看作直線l的同側的兩個不同的“定點”，就可以轉化為前面的將軍飲馬模型加以解決.如圖12，作圓O1關于直線l的對稱圓O′1，連接O′1O2交圓O′1于點A′，交圓O2于點B，交直線l于點C，連接O1C，交圓O1于點A，此時AC+BC的值最小，點A，B，C即為所求點.當然也可作圓O2關于直線l的對稱圓，方法與前面類似.此問題的證明方法也可類比將軍飲馬問題，如圖12，在直線l上任取一點C′，連接O1C′，O1′C′，利用“三角形中兩邊之和大于第三邊”來證明，具體證明略.有了此題問題的解決方法，以下2013年重慶高考題很容易找到突破口.

例2 （2013＼5重慶高考）已知圓C1：（x-2）2+（y-3）2=1，圓C2：（x-3）2+（y-4）2=9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|+|PN|的最小值為（? ）.

A.52-4

B.17-1

C.6-22

D.17

3

解析：

M，N分別是圓C1，C2上的動點，均在x軸的同側，問題歸類為以上將軍飲馬.聯系圓拓展模型，類比問題3的解法，如圖13，作圓C1關于x軸的對稱圓A，圓心為A（2，-3），半徑為1，圓C2的圓心坐標（3，4），半徑為3，|PM|+|PN|的最小值為圓A與圓C2的圓心距減去兩個圓的半徑和，

即（3-2）2+（4+3）2-1-3=52-4.故選答案：A.

2.3 聯系拋物線生成

用分類的思想進一步思考，若點A與點B分別在直線和拋物線上呢？引導學生探究，數形結合思想，最后拓展成如下問題.

4

問題4 如圖14，若A為直線l： y=x+1上一點且在x軸上方，B為拋物線y=x2-4x+5上一動點，C為x軸上一動點，求AC+BC的最小值.

解法指引：

分析題中已知條件，可以看出，點A，B，C均為動點，且點A，B均在x軸的同側，問題轉化為將軍飲馬問題.類比前面的方法，如圖14，作直線l：y=x+1關于x軸的對稱直線l1，易求得直線l1的解析式為y=-x-1.求AC+BC的最小值就轉化為求直線l1：y=-x-1上的點到拋物線y=x2-4x+5的最短距離了，此時可以平移直線l1至直線l2，當直線l2與拋物線y=x2-4x+5有且僅有一個交點B時，求得此時直線l2的解析式為y=-x+114，點B的坐標為32，54.過點B作BA′⊥l1，垂足為點A′，A′B交x 軸于點C，作點A′關于x 軸的對稱點A，即AC+BC的最小值為A′B，可求得A′B=1528.

3 課例評析

3.1 點成線，線成體，強化知識間的聯系

本節“一題一課”型復習課在素材的選擇上具有重要意義，選擇具有生長力的問題，以一個問題為點，聯系前后知識，梳理相關知識點，以思想方法為線索，在逐步變式拓展推進中，將知識點與思想方法融合，形成了知識結構體系.

3.2 思想方法引導，課堂生成行云流水

在變式拓展過程中，用運動變化的觀點，從特殊到一般，以分類思想、整體思想、數形結合思想、化歸思想為引導，聯系直線、圓及拋物線進行變式拓展，層層深入，自然生成一節“一題一課”型復習課，最后解決問題的方法動中取靜，透過表象找到本質.

3.3 對比分析，學生思維得以呈現

數學學習的本質是學習思維方法、提高思維能力.在數學思想方法的引導下，變式拓展問題，分析對比變式拓展前后的問題對象的共同特征，思考能否將問題轉化為拓展前的問題加以解決，讓學生從思維的角度找到解決問題的切入點.如，本文中讓學生分析變式拓展前后問題對象具有的共同特征，某兩個對象都在直線的同側，都是求最值的問題.讓學生經歷對問題的思考、拓展、對比分析、探索、提煉的過程，發展學生思維.

4 結束語

由于篇幅所限，本文只闡述了用數學思想引導生成一節“一題一課”型復習課的過程及簡要評析，在具體教學實施過程中，可根據學情，創造性地變式拓展提問，合理有序地組織學生進行復習探究活動，讓學生在活動的過程中，數學思維、數學技巧和數學方法得到有效演繹，從而幫助學生積累數學活動經驗，總結解題方法和規律，提升數學思維能力.

參考文獻：

[1]鄭新發.用活教材資源 生成智慧課堂[J].數學通訊，2016（6）：1-5.

[2]李玉琪.數學中的邏輯思維方法與形象思維方法 [J].數學通報，1994（2）.

[3]G＼5波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2018.