靈活運用判別式巧解題

孫東

摘要：一元二次方程根的判別式的主要作用，是在不解方程的情況下可以預知根的情況.本文中對判別式的作用進行了拓展，結合典型實例，總結了把判別式作為一種重要的解題方法在代數、幾何等領域靈活運用的五種方法與技巧.

關鍵詞：巧證明；巧解方程組；巧求值；巧變函數；巧解三角形

“解一元二次方程”是人教版九年級上冊第二十一章第二節的教學內容.通過本節的學習，學生掌握了解一元二次方程最基本的三種方法，其中公式法中常用到的判別式Δ=b2－4ac的意義和作用十分重大.判別式不僅能夠判斷一元二次方程是否有解，更重要的是，利用判別式解題是一種便捷、實用的方法，靈活運用判別式能夠解決代數式變形、解方程、解（證明）不等式、解三角等許多問題.

下面通過典型例題說明靈活運用判別式解題的方法與技巧.

1 構造方程巧證明

對于含有字母類較復雜的代數恒等式證明題，當直接證明有困難時，可以巧妙地運用判別式，通過構造法將其變形為一元二次方程的形式，用代入或代換的方法完成證明.

例1已知a，b，c均為實數，且a－b=8，ab+c2+16=0.求證：a+b+c=0.

證法1：已知a－b=8，則a=b+8，所以有

（b+8）b+c2+16=0.

即（b+4）2+c2=0.

解得b=－4，c=0，a=4，所以a+b+c=0.

證法2：由于a+（－b）=8，a·（－b）=c2+16，因此以a，－b為根的一元二次方程是

x2－8x+c2+16=0.①

由a，b，c均為實數，知其判別式

Δ=（－8）2－4（c2+16）≥0.

則4c2≤0，即c=0.從而方程①為x2－8x+16=0，故a=4，b=－4.所以a+b+c=0.

方法與技巧：證法1采用的是代入法；證法2把題設改寫成a+（－b）=8，a·（－b）=c2+16，把a，－b看成了一個一元二次方程的根，構造一個一元二次方程，靈活運用判別式法，更富有技巧性.

2 變形巧解方程組

判別式本來是適用于只含有一個未知數的一元二次方程，對含有兩個以上未知數的方程組似乎無能為力；但是我們如果換個視角，把方程組看作或變形為只含有一個未知數的一元二次方程，也可運用判別式法求解.

例2求方程組x+y=2，

xy－z2=1的實數解.

解：將原方程變形為x+y=2，

xy=1+z2. ②

把②的x，y看作是一個關于m的一元二次方程的兩個根，得新方程m2－2m+1+z2=0，則Δ=（－2）2－4（1+z2）=－4z2≥0，即z=0.

將z=0代入②，得x=y=1.

所以原方程組的實數解為x=1，y=1，z=0.

方法與技巧：本題是一個含有三個未知數的方程組，用常規的方法求解比較困難，但是通過觀察發現方程組中有x+y與xy的特殊形式，于是設法將其變形為一個新的一元二次方程，然后用判別式法巧妙求解.

3 活用整除巧求值

對某些復雜的需要解方程的求值類問題，可以根據“判別式是完全平方數”，將其形式轉化為不定方程后，再靈活應用整除的理論來求解.

例3設m是不為零的整數，關于x的二次方程mx2－（m－1）5x+m=0有有理根，求m的值.

解：Δ=（m－1）2－4m=m2－6m+1.

因為方程有有理根，所以m2－6m+1是完全平方數.設k是非負整數，且

m2－6m+1=k2.③

則（m－3）2－8=k2，即（m－3）2－k2=8，于是

（m－3+k）（m－3－k）=8.④

因為m－3+k，m－3-k是整數，且m－3+k≥m－3－k，所以它們可以取得的數值對應如下：

m－3+k84-1-2m－3-k12-8-4.

將m-3+k與m-3-k相加，并考慮到m－3也是整數，且m≠0，可得m=6.

方法與技巧：解答本題的關鍵是根據“判別式是完全平方數”，列出如同③式這樣含有多個未知數的不定方程，再把它轉化成④式這樣的特殊乘積形式“（……）×（……）=整數”，再應用整除理論巧妙獲解.

4 巧變函數為方程

如果令二次函數的解析式為0，就能將二次函數的有關問題轉化為一元二次方程的問題，就能用判別式法求解了.

例4對任意實數x，二次三項式2kx2－4x+k－1的值皆為正，求實數k的取值范圍.

解：設y=2kx2－4x+k－1.因為對任意實數x，函數值y皆大于0，所以相應二次函數的圖象在x軸上方開口向上，且方程2kx2-4x+k-1=0無實根.則有

2k>0，

Δ=16－8k（k－1）<0.

解得k>2.

方法與技巧：將二次三項式中的x看作變量，即可得到二次函數y=ax2+bx+c，且y>0.利用二次函數圖象性質，即圖象與x軸無交點，得到相應的判別式小于0，從而順利求得k的取值范圍.

5 巧解三角形

在解三角形問題中，可根據三角形的性質和邊角關系，將幾何問題轉化為解一元二次方程的問題[1]，靈活運用判別式解決問題.

例5△ABC中，∠B=60°，且∠B所對的邊b=1，求其余兩邊和的最大值.

解法1：令y=a+c，x=c.

在△ABC中，由余弦定理，得

AC2=AB2+BC2－2·AB·BC·cos B.

即12=x2+（y－x）2－2x（y－x）cos 60°.

化簡整理，得3x2－3y·x+（y2－1）=0.

因為x是實數，所以Δ=（－3y）2－12（y2－1）≥0.

又因為y>0，所以0＜y≤2，即0

故a+c的最大值為2.

解法2：如圖1，作AD⊥BC于點D，設AB=c，BC=a，BD=x.

在Rt△ABD和Rt△ACD中，有AB=2x，AD=3x，DC=1－3x2.

所以

a+c=2x+x+1－3x2=3x+1－3x2.

令a+c=y，則y－3x=1－3x2，兩邊平方并整理得

12x2－6xy+（y2－1）=0.

因為x是實數，所以Δ=（－6y）2－48（y2－1）≥0，即y2≤4，故y≤2.因為y＞0，所以0＜y≤2.

故0＜a+c≤2，a+c的最大值為2.

方法與技巧：通過觀察我們發現，題目涉及到三角形的兩邊和夾角，所以解法1由余弦定理即可求出與a+c有關的函數解析式，最后運用判別式即可求出最大值；解法2作出BC邊上的高，通過解兩個直角三角形，得出與AB+BC有關的函數解析式進而解決問題.

從上述各例的技巧分析中可以看出，靈活運用判別式“五巧法”能夠化繁為簡，快捷地解決多種數學問題，具有極大的優越性與實用性.在教學中要適當拓展、訓練這些方法與技巧，提高學生的綜合解題能力.

參考文獻：

[1]張雅麗.例談一元二次方程根的判別式的應用[J].數學之友，2010（8）：73-74.