粒間摩擦和層厚比對二維分層顆粒系統底部響應的影響

雷云， 劉源， 徐同桐， 何子苗

(蘭州交通大學土木工程學院， 蘭州 730070)

顆粒系統由大量離散形式的顆粒粒子通過接觸作用構成，由于顆粒粒子獨特的變形及運動特點，顆粒系統具有極強的多變性及動態性[1]，而顆粒物質的離散性質通常導致其出現各向異性力鏈[2]和空間不均勻的應力分布[3-6]，所以顆粒系統力學性能的復雜性很難運用傳統連續介質理論進行解釋[7-8]。

顆粒系統的力鏈結構及其穩定性受多方面因素影響，包括顆粒材料的內稟性質(如楊氏彈性模量、泊松比和粒間摩擦系數等)、顆粒體系的力學條件(如初始條件、邊界條件和外加荷載分布等)以及顆粒系統的初始構建方式等。其中，粒間摩擦系數和顆粒物質體積分數是決定顆粒介質靜力學[9-18]、流動形態[19-20]和顆粒破碎[21-22]等的重要參數。孫其誠等[9]認為對重力作用下的單分散靜態顆粒系統，摩擦系數影響了接觸力分布曲線形態以及接觸力與重力的夾角。Barreto等[10]發現當顆粒材料受到各向異性應力作用時，強力鏈傳遞相對較大的力，形成平行于主應力方向的力鏈結構，摩擦力對提高強力鏈的穩定性有明顯作用。周玉縣等[12]通過數值模擬得出顆粒接觸剛度比和粒間摩擦系數對巖土顆粒材料的剪切強度影響較大。劉源等[15]詳細討論了無缺陷顆粒系統和有缺陷顆粒系統的底部接觸力特征：摩擦系數影響了單分散顆粒系統底部接觸力的分布形態；在有缺陷顆粒系統中，缺陷尺寸對系統底部接觸力有顯著影響。楊舒涵等[16]通過數值模擬改變粒間滑動摩擦系數，發現了強接觸網絡中參與形成“力鏈”的顆粒數目基本不變，但影響了粒間法向接觸力大小及各向異性的強弱，顆粒系統抗剪強度 隨之改變；摩擦系數會明顯改變弱接觸網絡的配位數分布，對顆粒體系剪脹程度的改變影響顯著。Fang等[17]采用在光彈性顆粒介質中放置兩根鋼柱的二維加載模型，探討了顆粒介質中拱效應的特征及其形成規律。王怡舒等[18]通過離散單元法分析了不同子接觸網絡的組構張量在剪切過程中的演變規律，并探究了抗轉動系數對子接觸網絡的各向異性演變規律及對宏觀應力的貢獻程度的影響。劉宏偉等[19]對不同級配顆粒材料進行了滑動摩擦試驗，探究了粒徑、質量配比等級配因素對顆粒材料底面動摩擦系數的影響。蔣明杰等[20]基于大型靜止側壓力系數試驗儀建立三維仿真模型，探究了摩擦系數、孔隙率、剛度等細觀參數對粗粒土的影響規律。張海濤[21]通過一維壓縮試驗研究了三種不同顆粒材料在高壓條件下的力學特性。Kang等[22]將連續理論與非連續理論相結合，模擬了在復雜級配與應力影響下顆粒系統中力鏈演變及顆粒破碎，探討了力鏈演變與顆粒破碎之間的內在關聯機理。

對于二維復合顆粒系統，剛性層通常會促進接觸力的傳播，減小剛度比可以增大復合顆粒系統的力學響應范圍，增強了系統的彈性；而軟弱層對力的傳播有耗散作用；剛軟層的比例對顆粒系統底部應力分布特征有顯著影響[11,13-14]。在工程實際中經常遇到由不同材料組成的復雜顆粒系統，與單分散顆粒系統相比，對其在系統內力的傳遞研究并不成熟。已有的工作雖然對二維分層顆粒系統的力學性能已經展開了探索[14]，并指出粒間摩擦是決定復雜顆粒系統力學響應的一個重要參數，但并未深入探討，缺乏不同層厚比在不同粒間摩擦下對系統中力學響應進行的詳細探討。現建立二維分層顆粒模型，主要考慮粒間摩擦和軟硬層厚比對該系統底部力學響應的影響，以期揭示二維分層顆粒系統中力鏈的傳遞規律，為該系統的實際力學應用提供參考。

1 數值模型

建立與文獻[15]等尺寸參數相似的30×20的規則排列模型，顆粒半徑r=0.005 m，密度ρ=7 850 kg/m3，硬顆粒法向和切向接觸剛度分別為：kn1=1.0×107N/m，ks1=0.8kn1；軟顆粒法向和切向接觸剛度分別為：kn2=0.01kn1，ks2=0.8kn2。集中荷載F=10 N，顆粒與邊界間的摩擦系數μ2=0.2。為了研究上下分層雙分散顆粒系統底部受力情況，構建如圖1所示的雙分散顆粒系統：上軟下硬雙分散顆粒系統[圖1(a)]和上硬下軟雙分散顆粒系統[圖1(b)]。引入層厚比定義為

(1)

(2)

m為硬顆粒層數；n為軟顆粒層數圖1 上下分層雙分散顆粒系統的模型示意圖Fig.1 Model diagram of upper and lower layered double disperse granular system

式中：γ1為硬層厚比；γ2為軟層厚比；m為硬顆粒層數；n為軟顆粒層數。

2 計算結果

2.1 上軟下硬雙分散顆粒系統的計算結果

首先建立γ1=0.5的上軟下硬型顆粒系統，改變粒間摩擦系數μ1的取值范圍，探究μ1對該系統底部響應的影響，如圖2所示。從圖2中可以觀察到系統底部力分布均為對稱分布，且底部受力最小值均出現在顆粒與邊界接觸處。在μ1=0時底部力分布為一個標準的雙峰分布。隨著μ1的增加，中間峰谷上移，在0.3≤μ1≤0.4時雙峰間出現一個平臺，將其稱之為平臺分布。經歷短暫的平臺分布后，底部力逐漸向中間集中，當μ1>0.4時，底部受力呈現出單峰分布。

圖2 粒間摩擦系數μ1對上軟下硬分層顆粒系統底部力分布影響Fig.2 Influence of intergranular friction coefficient μ1 on the force distribution at the bottom of the upper soft and lower hard layered granular system

進一步探討粒間摩擦系數μ1對該系統底部響應的影響，分別取系統底部力的平均力、峰值及中間力(顆粒位置為±5 mm處的底部顆粒接觸力的平均值)進行分析，如圖3所示。可以看出：μ1=0時，平均力為最大值1.20 N，隨后曲線急速下降；當μ1=0.3時，底部平均力達到最小值1.07 N，隨著μ1繼續增加，底部平均力雖有上升趨勢但趨于飽和。說明粒間摩擦的出現會使系統中力向底部的傳遞大幅度被削弱，但當摩擦系數增大到0.3以上時，系統中的力向底部的傳遞略有增加，增加幅度緩慢。觀察底部力峰值曲線可知：0≤μ1≤0.3時，變化趨勢與平均力曲線類似；μ1=0.3時，峰值為最小值1.19 N，隨后峰值開始增大；μ1≥0.6后，增加趨勢趨于平緩；μ1=1.0時，峰值達到最大值1.48 N。底部中間力隨μ1的增加先緩慢減小，μ1=0.2時，中間力為最小值0.94 N；隨后曲線變化趨勢與峰值曲線相似，當μ1≥0.6時，中間力與峰值曲線重合；μ1=1.0時，中間力達到最大值。可以看出，對于γ1=0.5的上軟下硬型顆粒系統，隨著粒間摩擦系數的增大，系統中力的傳遞方向隨之發生改變，逐漸向系統中間區域偏移，系統對力的聚集作用隨之增強，最后系統底部中間出現最大值。這與文獻[15]中單分散系統中峰值突出的現象相似。

圖3 粒間摩擦系數μ1對上軟下硬分層顆粒系統底部平均力、峰值和中間力變化影響圖Fig.3 Influence of intergranular friction coefficient μ1 on the variation of average force, peak value and intermediate force at the bottom of the upper soft and lower hard layered granular system

保持粒間摩擦系數μ1不變，探討相同摩擦作用下，層厚比不等時上軟下硬型顆粒系統的底部響應形態的變化。從圖4(a)、圖4(b)可見，上軟下硬型系統(0<γ1<1.0)底部力的分布與全軟顆粒組成的單分散顆粒系統(γ1=0)類似，但明顯區別于全硬顆粒組成的顆粒系統(γ1=1.0)，位于上部的軟顆粒層在力的傳遞中占主導地位。在摩擦系數較小和較大時，上軟下硬型系統的底部響應形式不隨γ1的增加發生本質變化。進一步從圖4(c)中可以看出，無論μ1=0.2或0.5，γ1處于0～0.9時，平均力在一固定值附近輕微波動。γ1=1.0時，平均力遠遠大于γ1處于0～0.9時，說明單分散軟顆粒系統中添加下部硬顆粒層對底部力的傳遞作用并不會明顯增強。

圖4 硬層厚比γ1對上軟下硬分層顆粒系統底部力分布及平均力影響圖Fig.4 Influence of γ1 on the bottom force distribution and average force of the upper soft and lower hard layered granular system

進一步地，為了論證系統底部響應轉變的機理與粒間摩擦系數、硬層厚比的關系，給出圖5所示的相圖。可以看出，上軟下硬型顆粒系統隨著粒間摩擦的增大，底部響應的分布狀態存在三種形式(雙峰、平臺和單峰)，其轉換順序均為雙峰→平臺→單峰，相位轉換點均在μ1=0.4之下；硬層厚比γ1較小時，相位轉換點較低，μ1處于0.2～0.3底部響應為平臺分布；γ1=0.3時，平臺區域最大，μ1處于0.2～0.4為平臺分布；γ1較大時，相位轉換點升高，μ1處于0.3～0.4為平臺分布。因此，粒間摩擦系數μ1≤0.2或μ1≥0.4時，硬層厚比對底部響應的轉變幾乎沒有影響。

圖5 粒間摩擦系數和硬層厚比對底部響應影響的相圖Fig.5 Phase diagram of the influence of intergranular friction coefficient and hard layer thickness ratio on bottom response

2.2 上硬下軟雙分散顆粒系統的計算結果

建立γ2=0.5的上硬下軟型顆粒系統，改變粒間摩擦系數μ1的取值范圍，探究μ1對該系統底部響應的影響，如圖6所示。從圖6中可看出，在μ1較小時，中間峰值較為突出，隨著μ1的增加，峰值雖有下降，但底部響應均為單峰分布并未出現平臺分布及雙峰分布，這與上軟下硬型系統的底部響應并不相同。

圖6 粒間摩擦系數μ1對上硬下軟分層顆粒系統底部力分布影響圖Fig.6 Influence of intergranular friction coefficient μ1 on the bottom force distribution of the upper hard and lower soft layered granular system

如圖7所示，隨著粒間摩擦的增加，底部平均力整體呈下降趨勢。粒間摩擦系數μ1較小時，平均力從1.10 N減小到1.04 N，下降速度較快；當粒間摩擦系數μ1大于0.5之后，平均力雖有波動，但趨向于一個固定值0.95 N。峰值/中間力(此時，該系統底部響應沒有出現雙峰分布，故峰值出現在系統底部中間，峰值曲線與中間力曲線重合)以μ1=0.5為界，當粒間摩擦系數μ1較小時，峰值/中間力隨μ1的增加由1.38 N緩慢增加到1.50 N；當粒間摩擦系數μ1>0.5后，峰值/中間力隨μ1的增加迅速減小到1.08 N，并在其附近上下波動。這明顯與上軟下硬型系統不同，在上硬下軟型系統中，粒間摩擦的出現雖然也削弱了力向底部的傳遞，但粒間摩擦的增加使中間區域的力向兩側分散，這種分散作用在μ1>0.5后趨于平緩，粒間摩擦對其影響變小。

圖7 粒間摩擦系數μ1對上硬下軟分層顆粒系統底部平均力、峰值/中間力變化影響圖Fig.7 Influence of intergranular friction coefficient μ1 on the variation of average and peak/intermediate forces at the bottom of the upper hard and lower soft delaminated granular system

如圖8所示，保持μ1(μ1分別取0.2和0.5)不變，探討相同摩擦系數作用下，層厚比不同時上硬下軟型顆粒系統的底部響應形態的變化。可以看出，與上軟下硬型系統類似，上硬下軟型系統(0<γ2<1.0)的底部力分布更接近于全軟顆粒組成的單分散顆粒系統(γ2=1.0)，而明顯區別于全硬顆粒組成的顆粒系統(γ2=0)，位于下部的軟顆粒層在力的傳遞中依然占主導地位，但層厚比對系統底部響應形式影響較大。從圖8(a)中可見，μ1=0.2的情況下，γ2≤0.3時，底部響應為平臺分布；0.4≤γ2≤0.5時，響應為單峰分布；γ2≥0.6時，響應轉變為雙峰分布。從圖8(b)中可知，μ1=0.5時，γ2=0的單分散硬顆粒系統底部響應為單峰分布；0.1≤γ2≤0.2時，底部響應為平臺分布；0.3≤γ2≤0.5時，底部響應為單峰分布；γ2>0.6時，底部響應為雙峰分布。圖8(c)中可以看出兩條曲線走勢相似，γ2=0時，平均力最大值分別為2.0 N和2.3 N；隨著γ2增大到0.1，平均力分別迅速減小到1.1 N和0.97 N，隨后趨于平緩。這表明，該系統中力從硬顆粒層傳遞到軟顆粒層時傳遞方向會發生改變，下部軟顆粒層的設置會大大削弱力的傳遞作用，但隨著軟層厚比的增大，平均力并不隨之減小，而是在固定值附近波動。說明上硬下軟型系統中下部軟顆粒層的厚度對力向底部傳遞的總量沒有影響。

圖8 軟層厚比γ2對上硬下軟分層顆粒系統底部力分布及平均力影響圖Fig.8 Influence of γ2 on the bottom force distribution and average force of upper hard and lower soft delaminated granular system

如圖9所示，該種類型系統的相圖與上軟下硬型系統明顯不同。軟層厚比γ2=0時，此時系統為單分散硬顆粒系統，底部響應隨粒間摩擦系數μ1的增大按雙峰→平臺→單峰的順序轉換；當γ2進一步增大時，底部響應雙峰形式消失，平臺區域占主要部分；隨著γ2的增大，平臺區域減少，單峰區域占主要部分；將γ2增大到0.4～0.5時，底部響應均為單峰形式；進一步增大γ2，雙峰區域出現并逐漸增大，此時響應只存在雙峰和單峰兩種相位，底部響應隨粒間摩擦系數μ1的增大按雙峰→單峰的順序轉換，當系統為單分散軟顆粒系統(γ2=1.0)時，響應恢復為雙峰→平臺→單峰的順序，且相位轉換點相同。

圖9 粒間摩擦系數和軟層厚比對底部響應影響的相圖Fig.9 Phase diagram of the influence of intergranular friction coefficient and soft layer thickness ratio on bottom response

3 結論

通過分析粒間摩擦系數μ1和層厚比γ1、γ2對上下分層雙分散顆粒系統內部力的傳遞與底部響應的影響，得出以下結論。

(1)對于單分散顆粒系統，類似于文獻[15]，粒間摩擦的存在會改變整個顆粒系統的彈性，力在系統中的傳遞會發生變化，粒間摩擦系數很大時，底部響應會轉變成單峰分布，但其分布曲線的演變過程不同。對于上軟下硬型雙分散顆粒系統，其底部響應曲線的演變隨粒間摩擦系數的增大與單分散系統完全類似，均是按照的雙峰→平臺→單峰的順序演變，但其底部平均力和峰值隨著粒間摩擦的出現迅速減小，在粒間摩擦系數較小時，平均力和峰值達到最小值；隨著粒間摩擦的進一步增加，平均力緩慢增大，峰值則在先快速減小后平緩增大，中間力則在粒間摩擦較小時略有減小，之后隨粒間摩擦系數的增大而增大。對于上硬下軟型雙分散顆粒系統，雖然在粒間摩擦系數較大時，系統的底部響應曲線均為單峰曲線，但其演變過程只存在一個或兩個相位，并不嚴格按照雙峰→平臺→單峰的規律演變。平均力隨著粒間摩擦的增大呈波動型下降，峰值和中間力略有增加，在μ1>0.5之后，平均力在一個固定值附近波動，峰值和中間力減小到固定值附近波動。也就是說，較小的粒間摩擦使底部力向兩側邊界擴散，減小了底部邊界的負擔；但對于上軟下硬型系統，較大的粒間摩擦并不能使邊界的負擔過多減少，而是會改變力的傳遞方向，使系統中間區域的力向中間點聚集，而對于上硬下軟型系統，則使中間區域的力向兩側擴散。

(2)分層顆粒系統中的軟顆粒的位置在力的傳遞過程中占主導地位，對于兩種類型的分層系統，其底部力的分布曲線和平均力值更接近于全軟顆粒組成的單分散系統，軟硬層厚比的變化幾乎不影響底部平均力的變化。γ1的變化不會引起上軟下硬型系統底部響應的明顯變化，力從軟顆粒層傳遞到硬顆粒層時，力的傳遞方向沒有明顯改變。而對于上硬下軟型系統，γ2的變化會引起底部響應的變化，力從硬顆粒層傳遞到軟顆粒層時，由于軟顆粒層對力的吸收限制作用，力的傳遞方向發生明顯改變，力更容易向系統中間聚集。

(3)在上軟下硬型系統的底部曲線相圖中，三種相位呈層狀分布，單峰區域占主要部分，平臺所占區域較窄，隨著μ1的增大，γ1只會影響相圖中的相位轉換點位置，不改變相位轉變順序；而在上硬下軟型系統中，單峰區域呈M形分布，對應于不同的γ2，隨著μ1的增大，相位的轉換形式不同，在軟顆粒較少時，平臺區域較大，在軟顆粒較多時，雙峰區域較大，當軟顆粒和硬顆粒層比例接近時，底部曲線為單峰形式。此時，μ1和γ2都是影響系統中力的傳遞的主要因素。