小波分析在直升機結構損傷識別中的應用

王鵬飛 李瑋

（中國直升機設計研究所，江西景德鎮 333001）

1.一維連續小波變換

小波分析是一種變分辨率的時頻分析工具[1]，很適合探測、識別、分析正常信號中夾雜著的瞬態反常現象，故被譽為“數學顯微鏡”，被廣泛應用于信號處理、語音識別、故障診斷等領域，并取得了良好的效果[2]。

設ψ(t)=L2(R)，它的傅里葉變換是ψ(w)，當ψ(w)滿足完全重構條件：

此時ψ(t)稱為一個基本小波，將ψ(t)平移和壓縮后得：

ψ(t)被稱為小波序列；a是伸縮因子，體現了被分析信號的頻率信息；b是平移因子，體現了被分析信號的時間信息；ψa,b(t)為小波函數。對于任意的函數f(t)∈L2(R)，其連續小波變換為：

重構公式是：

設θ(t)是可以起光順效果的低通平滑函數，且θ(t)滿足。小波函數ψ(t)是這個低通平滑函數的一階導數，因此ψ(t)=dθ(t)/dt。因為θ(t)是1/(1+t2)的高階無窮小，可以得到θa(t)=aθ(t/a)。

因此小波變換最后可以表示為：

由此可見，對需要分析的信號使用小波變換后再求導，等同于用小波函數的一階導數對該信號進行小波變換[3]。x(t)經過低通平滑函數θ(t)平滑后的倒數與Wx(a,t)成正比。Wx(a,t)沿著時間序列的最值點對應了x(t)＊θa(t)的拐點位置，也就是信號的突變點[4]。所以小波變換后的模極大值點對應著采集信號中的突變點。

2.有限元模型

2.1 幾何尺寸與邊界條件

為了研究使用小波分析基于監測信息定位損傷位置以及損傷程度的方法，以直升機框梁下部區域的腹板為研究對象，建立了如圖1所示的模型。其板長度a=290mm，寬度b=145mm，厚度t=2mm，鋁合金材料泊松比γ=0.33，彈性模量E=71000MPa，密度ρ=2823kg/m3。

圖1 腹板位置與含損傷有限元模型圖

腹板的網格劃分采用shell單元，施加四邊簡支邊界條件，在左側區域預置2個深度為0.4mm的凹坑，在右側區域預置1個深度為0.8mm的凹坑，計算含損傷鋁合金平板的振動模態。

2.2 模態程序驗證

通過使用蘭索斯法對板的振動模態進行分析，可以求出板的振型模態和轉角模態，并驗證數值計算結果的準確性，對于四邊簡支板，板的各階固有圓頻率存在理論解，公式為，計算腹板的第一階自振頻率為286.4Hz，數值解為286.2Hz，二者吻合（見表1），程序能正確計算板的一階振動模態。

表1 腹板一階自振頻率理論解與數值解對比表

板的一階振型模態和轉角模態如圖2所示。

圖2 含缺陷平板的振型模態和轉角模態

3.小波分析方法識別腹板的損傷

3.1 系數極大值點與信號中的突變點

直升機腹板在服役過程中會存在一定的損傷，如圖3所示。此時板厚減少，該區域的剛度D=Et3/[12＊(1-μ2)]降低。其中E為彈性模量，t為板厚，μ為泊松比。含損傷腹板結構仍然滿足變形協調方程以及內力平衡方程：

圖3 含損傷的四邊簡支腹板模型

根據變形協調條件，損傷邊界處撓度相同

根據內力平衡條件，損傷邊界處彎矩相同

其中x1-，x1+分別為損傷邊界左右兩側出的坐標值。

因為D(x1-,y)≠D(x1+,y)，所以，所以板損傷處撓曲線二階偏導數在邊界處不連續，即奇異性，可以通過小波變換后根據系數的模極大值點確定測量信號中的突變點，進而識別直升機腹板損傷的位置。

3.2 基于轉角模態信息的損傷識別

使用Haar小波對板的轉角模態信號進行小波分解，分析發現板節點的轉角信號是連續無間斷的，但是在損傷位置處，出現了小波系數的突變點，如圖4所示。在存在0.4mm深度缺陷位置處，出現模極大值，可根據小波系數的突變點定位腐蝕損傷的位置。小波分析也能進行邊緣檢測，因為板邊緣處節點的信號特性會發生突變，所以在邊緣節點處，小波分析也會出現模極大值點，應該人為分析后舍棄。

圖4 轉角模態的小波分解系數曲線圖

與下側缺陷相比，上部區域發生了2處深度不同的損傷，分別為0.4mm和0.8mm，使用Haar小波對轉角模態信號進行一維連續小波分解，可以發現小波系數的模極大值點有2個，分別對應2個腐蝕損傷發生的位置。并且損傷程度越嚴重，小波系數模的絕對值越大。因此小波分析不僅可以用于分析損傷位置，還能確定損傷的嚴重程度。

通過對比分析可知，使用小波分析可以進行損傷的定位與損傷程度監測。小波信號出現模極大值點的位置對應有損傷發生；當有2個位置存在損傷時，損傷程度大的位置小波系數模值更大。

3.3 小波基類型的影響

小波基函數不是唯一的，任何滿足小波條件的函數都可以作為一個小波基，也可根據特定問題建立一個小波基。常見的小波類型有Haar小波、dbN小波、morlet小波、Mexh小波等，需要研究小波類型對含缺陷板損傷識別準確度的影響，如圖5和圖6所示。

圖5 db2小波形狀與小波系數曲線圖

圖6 Mexh小波形狀與小波系數曲線圖

可知選用不同的小波基，對轉角模態進行小波分解時，都會出現小波系數模的極大值點，從而實現損傷位置的識別。

4.結論

本文針對含損傷鋁合金腹板結構，在建立數值模型的基礎上，采用蘭索斯法計算板的振動模態，并基于板自振時的轉角模態，使用小波分析方法準確定位了損傷的位置及程度，主要結論如下：

（1）對板在一階自振時的轉角模態進行小波分析，可以定位損傷的位置和程度，在小波系數的模極大值點的位置對應有損傷發生。當有2個位置存在損傷時，損傷程度大的位置小波系數模值更大。

（2）使用不同的小波基對信號進行小波分解，如Haar小波、dbN小波等都可根據小波系數模的極大值點實現損傷識別。