從2021、2020兩年高考試題看不等式選講解題方略

游少華

摘 要：本文通過對近幾年高考絕對值不等式選作題分析，總結重視函數圖象來認識不等關系，并從函數圖象來分析解證不等式及求不等式中的變量范圍.

關鍵詞：全國高考;絕對值不等式求解;函數圖象

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）10-0047-03

課標卷中的兩道選作題，學生如何選擇，如何解答非常重要，甚至決定學生考試的成敗.這兩道題都體現數學的核心素養——數形結合的思想.但對不等式而言，無論是有變量問題還是定量不等式問題，學生都習慣分類討論求解.分類討論除分類不清外，還存在求交集錯誤問題，不等關系其本質上是函數圖象的上下關系.如果能作圖象解不等式，不但直觀展現大小關系，更能方便看出不等關系的變量范圍.

2021年與2020年兩年的考題都體現這一解題思想.

題1 （2021年全國文理甲卷）

已知函數f（x）=x-2，g（x）=2x+3-2x-1.

（1）在圖1中畫出y=fx和y=gx的圖象;

（2）若fx+a≥gx，求a的取值范圍.

解析 （1）可得f（x）=x-2=2-x，x<2，x-2，x≥2，畫出圖象如圖2：

g（x）=2x+3-2x-1

=-4，x<-32，4x+2，-32≤x<124，x≥12，畫出函數圖象如圖3：

（2）f（x+a）=|x+a-2|，

如圖4，在同一個坐標系里畫出fx，gx圖象，

y=fx+a是y=fx平移了a個單位得到，

則要使f（x+a）≥g（x），需將y=fx向左平移，即a>0.

當y=fx+a過A12，4時，

|12+a-2|=4，解得a=112或-52（舍去），

則由數形結合可得需至少將y=fx向左平移112個單位，所以a≥112.

題2 （2020年全國文理Ⅰ卷）已知函數f（x）=|3x+1|-2|x-1|.

（1）在圖5中畫出y=f（x）的圖象;

（2）求不等式f（x）>f（x+1）的解集.

解析 （1）因為fx=x+3，x≥1，5x-1，-13

（2）將函數fx的圖象向左平移1個單位，可得函數fx+1的圖象，如圖7所示：

由-x-3=5x+1-1，解得x=-76.

所以不等式f（x）>f（x+1）的解集為-SymboleB@，-76.

這兩年考題都是平移折線圖看變量范圍，若改為分類討論求解，就很難計算，用圖象能非常直觀地求解.在教學中應引導學生多作圖，多從圖象的上下關系去理解不等關系，學生就能從圖象移動中找到不等關系存在時的變量范圍.其實這種考題不僅在2021年與2020年出現，我們再看前些年考題，其方法都一樣，利用作圖可直接方便求解.

題3 （2018年全國Ⅲ卷文理）設函數f（x）=|2x+1|+|x-1|.

（1）在圖8中畫出y=f（x）的圖象;

（2）當x∈[0，+SymboleB@）時，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值.圖8

解析 （1）f（x）=-3x，x<-12，x+2，-12≤x<1，3x，x≥1.

y=f（x）的圖象如圖9所示.

（2）由（1）知，y=f（x）的圖象與y軸交點的縱坐標為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3.

故當且僅當a≥3且b≥2時，

f（x）≤ax+b在[0，+SymboleB@）成立，

因此a+b的最小值為5.

題4 （2013年全國Ⅰ卷文理）已知函數f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3.

（1）當a=-2時，求不等式f（x）

（2）設a>-1，且當x∈[-a2，12）時，f（x）≤g（x），求a的取值范圍.

解析 （1）當a=-2時，不等式f（x）

設函數y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，

y=

-5x，x<12-x-2，12≤x≤1，3x-6，x>1

其圖象如圖10所示，從圖象可知，當且僅當x∈（0，2）時，y<0.

所以原不等式解集是{x|0

（2）當∈[-a2，12）時，f（x）=1+a，不等式f（x）≤g（x）化為1+a≤x+3.

所以x≥a-2對

x∈[-a2，12）都成立.

故-a2

≥a-2.

即a≤43.

所以a的取值范圍為（-1，43].

參考文獻：

[1]

杜志建.十年高考真題匯編[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2019.

[2] 中華人民共和國教育部考試中心.中國高考評價體系說明[M].北京：人民教育出版社，2019.

[責任編輯：李 璟]