借助構(gòu)造法 解答高考數(shù)學題

楊蓓蓓 王佳

摘 要：高中數(shù)學解題中基于對數(shù)學問題本質(zhì)的深入把握，構(gòu)造相關(guān)的函數(shù)關(guān)系，揭示相關(guān)規(guī)律，有助于學生迅速找到解題突破口，實現(xiàn)解題效率的提高.本文結(jié)合高考中的具體習題，探討構(gòu)造法在解題中的具體應用，以指引學生更好地解題.

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法;高考;數(shù)學習題;解答

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）10-0021-03

近年來高考數(shù)學習題對構(gòu)造法的考查較為頻繁.很多學生不注重構(gòu)造法的應用，導致在解題中走了不少彎路，因此，教學中為使學生認識到構(gòu)造法在解題中的重要性，掌握運用構(gòu)造法解題的相關(guān)技巧與細節(jié)，有必要為學生講解構(gòu)造法在高考數(shù)學解題中的應用.

1 構(gòu)造法解不等式習題

不等式是高中數(shù)學的重要知識點，相關(guān)習題的解題思路靈活多變.教學中為避免學生思維定勢，掉進命題人設(shè)置的陷阱之中，既要注重與學生一起總結(jié)不等式習題解答思路，又要示范構(gòu)造法的應用，使學生體會構(gòu)造法在解題中的便利，更好地把握相關(guān)習題特點，逐漸提升其運用構(gòu)造法解題的意識.

例1 （2020年全國Ⅱ卷第12題）若2x-2y<3-x-3-y，則（? ）.

A.ln（y-x+1）>0?? B.ln（y-x+1）<0

C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

該題目給出的已知條件較為簡單，但卻考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、構(gòu)造法等知識點，是一道不錯的好題.

解析 因為2x-2y<3-x-3-y，

所以2x-3-x<2y-3-y.

令f（t）=2t-3-t，因為2t為增函數(shù)，-3-t為增函數(shù)，所以f（t）為增函數(shù).

又因為f（x）=2x-3-x

例4 （2020年全國Ⅰ卷）已知函數(shù)f（x）=ex+ax2-x.

（1）當a=1時，討論f（x）的單調(diào)性;

（2）當x≥0時，f（x）≥12x3+1，求a的取值范圍.

該題目中的第（1）問考查學生靈活運用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題，第（2）問考查學生運用構(gòu)造法求函數(shù)最值問題.

解析 （1）因為f（x）=ex+x2-x，則

f ′（x）=ex+2x-1.

則f ″（x）=ex+2>0.

所以f ′（x）在R上單調(diào)遞增.

又因為f ′（x）=0時，x=0，

則當x<0時，f ′（x）<0;

當x>0時，f ′（x）>0.

即f（x）的遞減區(qū)間為（-∞，0），遞增區(qū)間為（0，+∞）.

（2）當x=0時，f（x）=1≥1成立，此時a∈R;

當x>0時，由f（x）≥12x3+1整理，得

a≥12x3+x+1-exx2.

令h（x）=12x3+x+1-exx2，

問題轉(zhuǎn)化為求h（x）的最大值，則

h′（x）=（2-x）（ex-12x2-x-1）x3.

因為x>0，因此h′（x）的正負號和2-x，ex-

12x2-x-1有關(guān).

令g（x）=ex-12x2-x-1，

則g′（x）=ex-x-1，g″（x）=ex-1>0，表明

g′（x）單調(diào)遞增.

又因為g′（0）=ex-x-1=0，

所以當x>0時，g′（x）>0，

因為g（x）min=g（0）=0，

所以當x>0時，g（x）>0.

當0