一類以導數為背景的高考題的解法研究

李昌成

摘 要：導數是數學高考壓軸題，有一類導數題按照常規解法很難求得最值，或最值的臨界值.高考參考答案也不易理解，若用洛必達法則輔助解答，問題難度猛然下降.實踐研究表明，這類題題型結構及解題步驟相對固化，深入研究可以突破這類題目.

關鍵詞：導數;洛必達法則;解法

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）10-0009-03

多年來，數學高考卷無論文科還是理科，無論是地方卷還是全國卷，均以導數作為壓軸題.題目通常難度較大，僅僅依靠高中所學的導數知識，解答經常擱淺.很多函數問題均可等價轉化后，多次構造新函數，再多次求導，利用洛必達法則求端點臨界函數值的“最值”，最后得到參數的范圍.下面我們分類展示一些經典高考題.

類型1 分離參數構造函數后，用洛必達法則保障范圍的完整性.

例1 （2018年全國高考Ⅱ卷理科21題）已知函數f（x）=ex-ax2.

若f（x）在（0，+∞）只有一個零點，求a.

解析 由零點概念知，f（x）只有一個零點就是f（x）=0只有一個解.即ex-ax2=0只有一個解.

因為x∈（0，+SymboleB@），所以a=exx2.

令m（x）=a，n（x）=exx2.

問題等價轉化為求兩函數只有一個交點時，a的值.

對n（x）=exx2求導，得

n′（x）=exx2-2exxx4=exx3（x-2）.

當x>2時，n′（x）>0，

當0

因此n（x）=exx2在（0，2）上單調遞減，在（2，+SymboleB@）上單調遞增.

所以n（x）min=e24.（*）

如圖1，當x→0時，x2→0，ex→1，

所以n（x）→+SymboleB@.

又limx→+SymboleB@exx2=limx→+SymboleB@ex2x=limx→+SymboleB@ex2=+SymboleB@.

當a

當a=e24，m（x）與n（x）只有一個交點;

當a>e24，m（x）與n（x）有兩個交點.

因此a=e24.

評注 這種解法只需要學生對洛必達法則有一定認識就可以掌握，整個流程邏輯嚴謹、思維連貫、順理成章.這類題目的結構相對穩定.值得一提的是，很多學生會將（*）以后的解題過程忽略，這是不嚴謹的，為什么呢？請讀者思考.

類型2 分離參數構造函數，多次求導，用洛必達法則求新函數最小值的臨界值.

例2 （2017年全國高考Ⅱ卷文科21題） 設函數f（x）=（1-x2）ex.當x≥0時，f（x）≤ax+1，求a的取值范圍.

解析 當x=0時，a可取任何實數.

當x>0時，f（x）≤ax+1，

整理，得a≥（1-x2）ex-1x.

令h（x）=（1-x2）ex-1x，

對h（x）求導，得

h′（x）=ex（-x3-x2+x-1）+1x2.

再令g（x）=ex（-x3-x2+x-1）+1，

對g（x）求導，得

g′（x）=ex（-x3-4x2-x）.

當x>0時，g′（x）<0，

因此g（x）在（0，+SymboleB@）上單調遞減.

所以h（x）的最大值臨界值為h（0）.

由洛必達法則，得

limx→0（1-x2）ex-1x=limx→0ex（-x2-2x+1）=1.

所以a的取值范圍是[1，+SymboleB@）.

評注? 分離參數后，通過多次求導，逐層判斷單調性，最后借助洛必達法則求得端點值得到參數取值范圍，思路簡潔.本題高考給出的答案高深莫測，邏輯上讓中學生難以接受，尤其是分類討論的標準不易理解.有興趣的同仁可以查閱對比研究.

類型3 ?分離參數構造函數，多次求導，用洛必達法則求最大值臨界值.

例3? （2016年全國高考Ⅱ卷文科20題）已知函數f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）.若當x∈（1，+SymboleB@）時，f（x）>0，求a的取值范圍.

解析 f（x）>0，即（x+1）lnx-a（x-1）>0.

由于x∈（1，+SymboleB@），所以a<（x+1）lnxx-1.

設h（x）=（x+1）lnxx-1，

則h′（x）=-2xlnx+x2-1x（x-1）2.

再設φ（x）=-2xlnx+x2-1，

則φ′（x）=-2lnx-2+2x，

φ″（x）=-2x+2.

由于x>1，所以φ″（x）>0，

于是φ′（x）在（1，+SymboleB@）上單調遞增，

所以φ′（x）>φ′（1）=0，

進而φ（x）在（1，+SymboleB@）上單調遞增，

所以φ（x）>φ（1）=0，

因此h′（x）>0，

進而h（x）在（1，+SymboleB@）上單調遞增，

所以h（x）>h（1）.

由洛必達法則，得

limx→1（x+1）lnxx-1=2.

所以a的取值范圍是（-SymboleB@，2].

類型4 分類討論，分離參數構造函數，用洛必達法則求最大值和最小值的臨界值.

例4 ?（2017年全國高考Ⅲ卷理科第21題）已知函數f（x）=x-1-alnx.若f（x）≥0，求a的值.

解析 當x=1時，a∈R.

當x>1時，lnx>0，

f（x）≥0等價轉化為a≤x-1lnx.

設λ（x）=x-1lnx，

則λ′（x）=lnx-x-1xln2x.

再設h（x）=lnx-x-1x

=lnx+1x-1

則h′（x）=1x-1x2=x-1x2>0.

于是h（x）在（1，+SymboleB@）上單調遞增.

所以h（x）>h（1）=0，

因此λ′（x）>0.

所以λ（x）在（1，+SymboleB@）上單調遞增，

于是λ（x）>λ（1）.

由洛必達法則，得limx→1x-1lnx=limx→111x=1.

所以a≤1.

同理，當0

綜上，a=1.

評注? 本題與前面幾例比較，有兩個特征：一是受lnx的正負影響，不能直接分離參數，需要討論，但由于問題的“對稱性”僅需完整解答一次即可;二是表面上是求值問題，但實際上還是求范圍問題.

類型5 分離參數，“遞進式”求導，用洛必達法則求最大值的臨界值.

例5 （2010年全國高考Ⅱ卷理科第21題）已知函數f（x）=ex-1-x-ax2.若當x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍.

解析 當x=0時，a∈R.

當x>0時，f（x）≥0等價轉化為a≤ex-1-xx2.

令h（x）=ex-1-xx2，

則h′（x）=（x-2）ex+x+2x3.

令m（x）=（x-2）ex+x+2，

則m′（x）=（x-1）ex+1.

則m″（x）=xex.

因為x>0，所以m″（x）=xex>0.

于是m′（x）在（0，+SymboleB@）上單調遞增.

所以m′（x）>m（0）=0.

所以m（x）在（0，+SymboleB@）上單調遞增.

所以m（x）>m（0）=0，

進而h′（x）>0.

所以h（x）=ex-1-xx2在（0，+SymboleB@）上單調遞增.

而limx→0ex-1-xx2

=limx→0ex-12x

=limx→0ex2=12，

所以a≤12.

評注 本題求導的目的性很明確，就是要讓m″（x）=xex出現，事實上每次求導ex的系數增加1，我們可以簡稱“遞進式”求導.但是沒有發現此規律的同學可能半途而廢.

正如波利亞所說“當你找到第一個蘑菇或作出第一個發現后，再四處看看，它們總是成群生長”.這類給定范圍下的求參數范圍的導數壓軸題，只要被分離部分易于判斷其正負，就能分離參數，構造函數，多次反復求導，我們可以借助洛必達法則模式化做答，不再為思路發愁，不再為所需最值或最值的臨界值迷茫.但是，像“2020年新高考Ⅰ卷第21題：已知函數f（x）=aex-1-lnx+lna.若f（x）≥1，求a的取值范圍.”這類不易分離參數的題目，不適合用這種解法處理.

參考文獻：

[1]

許峰，范自強.高等數學（上冊）[M].北京：人民郵電出版社，2016.

[2] 任志鴻.十年高考[M].北京：知識出版社，2018.

[責任編輯：李 璟]