多尺度波致流非飽和孔隙介質波傳播理論研究*

李紅星 張嘉輝 樊嘉偉 陶春輝 肖昆 黃光南 盛書中 宮猛

1) (東華理工大學,核資源與環境國家重點實驗室,南昌 330013)

2) (自然資源部第二海洋研究所,杭州 310012)

彈性波在非飽和孔隙介質中傳播時,孔隙流體會發生宏觀Biot 流、微觀噴射流以及由于孔隙流體不同(氣、液雙相)導致的介(中)觀流.將非飽和孔隙介質等效為含液相孔隙流體的背景介質中嵌入含氣相孔隙流體的包裹體,在非飽和雙重孔隙介質模型基礎上,引入微觀噴射流,建立了包含宏觀、微觀和介觀三種尺度波至流的非飽和孔隙介質波傳播方程.數值分析表明該模型可以更好地預測更寬頻帶內的波速頻散和衰減.

1 引言

油氣儲層和海洋底質都是典型的多相孔隙介質,孔隙介質彈性波傳播理論對于油氣儲層地震預測、海洋底質聲學探測都具有重要的意義.彈性波在非飽和孔隙介質中傳播時,孔隙流體在波動作用下會發生三種運動:沿波傳播方向的宏觀Biot 流動,垂直于波傳播方向的微觀噴射流動以及由于孔隙流體非飽和(等效為含液相孔隙流體的孔隙介質中嵌入介觀尺度的含氣相孔隙流體的孔隙介質)而產生的介觀局域性流體流動.目前,學術界普遍認同這三種孔隙流體波致流機制是導致孔隙介質中彈性波發生耗散和頻散的最主要原因.Biot[1?3]對孔隙介質中波傳播時的宏觀波致流運動機制進行了系統的研究,建立了Biot 理論.Biot 流可以預測到高頻(聲波-超聲波頻段)彈性波的速度頻散和衰減,但預測結果遠小于實測值,并且無法預測低頻彈性波(地震波頻段)速度頻散和衰減.Mavko[4,5]對波傳播過程中,孔隙介質中的微觀尺度波至流進行了研究,提出了噴射流機制.噴射流可以預測到高頻彈性波更高的速度頻散和衰減,能更好地擬合實測值,但仍然無法預測低頻彈性波(地震波頻段)速度頻散和衰減.White[6,7]基于等效球狀介質模型,首次建立了包含介觀尺度波至流的波傳播理論.Duuta[8],Dutta 和Seriff[9],Johnson[10],Pride和Berryman[11]分別在White 模型的基礎上,進一步完善了介觀尺度的孔隙流體局部流動機制.介觀流可以更好地預測低頻彈性波(地震波頻段)速度頻散和衰減,但無法很好地預測高頻(聲波-超聲波頻段)彈性波的速度頻散和衰減.Dvorkin 和Nur[12]建立了包含宏觀尺度及微觀尺度兩種波至流機制的孔隙介質波傳播理論,即BISQ 理論.Li 等[13],Yang 和Chen[14],Diallo 和Appel[15]分別從不同角度發展或改進了BISQ 模型.巴晶等[16?20]研究了雙孔介質模型,將流體的宏觀尺度及中觀尺度波至流機制結合在一起,推導得到了雙重孔隙介質模型 (BR 模型).2018 年,Zhao 等[21]將White周期層狀介質模型與雙孔介質理論相結合,建立了層狀雙孔模型.2020 年,胡亞元[22]把雙重孔隙介質視為兩個單重孔隙介質的嵌套疊加,從經典混合物理論出發推導了非飽和雙重孔隙介質的能量守恒方程.目前,將三種尺度的波至流統一考慮在一個孔隙介質波傳播理論中的研究較少.本文將非飽和孔隙介質等效為含液相孔隙流體的背景介質中嵌入含氣相孔隙流體的包裹體,在非飽和雙重孔隙介質模型基礎上,引入微觀噴射流,建立了包含宏觀、微觀和介觀三種尺度波至流的非飽和孔隙介質波傳播理論(簡稱:BRS 模型).通過數值模擬分析,BRS 理論可以在全頻段范圍預測彈性波速度頻散和衰減,為油氣儲層地震預測和海洋底質聲學探測提供理論基礎.

2 多尺度波至流非飽和孔隙介質波傳播理論

將非飽和孔隙介質(宏觀尺度,圖1(a))等效為含液相孔隙流體的背景介質中嵌入含氣相孔隙流體的包裹體(介觀尺度,圖1(b)),在背景介質和包裹體中都存在由固相顆粒的接觸產生的微觀孔隙(圖1(c)).為了簡化模型,用七個等邊長的正方體組合而成的“十字型”結構等效嵌入的含氣相孔隙流體的包裹體(圖2).非飽和孔隙介質特征單元中發生三種尺度的波至流:和波傳播方向一致的宏觀Biot 流,垂直波傳播方向的微觀噴射流,體現包裹體與背景介質之間的流體交換的中觀局部流(圖2).模型假設:1) 背景介質和嵌入包裹體分別都是單一孔隙結構,均可發生Biot 宏觀和微觀噴射波至流,在波傳播時,包裹體內外發生流體交換,產生介觀波至流;2) 在孔隙介質中,包裹體的體積占比較小,并且均勻分布在背景介質中;3) 忽略兩類孔隙流體表面張力作用對孔隙流體流動的影響,忽略孔隙流體與固相介質骨架顆粒之間的化學作用.

圖1 孔隙介質示意圖 (a) 宏觀尺度;(b) 介觀尺度;(c) 微觀尺度Fig.1.Schematic diagram of porous media:(a) Macro scale;(b) mesoscopic scale;(c) micro scale.

根據Biot[1?3]對勢能函數的定義,引入ζ描述彈性波作用下非飽和孔隙介質產生的局域性流體流動的流體體應變增量,巖石內部的彈性應變勢能函數為[16]

其中I1=e為固相體應變;I2為固相切應變相關量;ξ1,ξ2為背景介質與包裹體孔隙流體的體應變;?1=v1·?0,?2=v2·?0,v1,v2=1?v1分別表示背景介質和包裹體的體積占比,?0表示孔隙介質孔隙度.A,N,Q1,Q2,R1,R2為雙重孔隙介質6 個獨立的彈性參數[16]:

其中?=?1+?2=?0;Kb為孔隙介質骨架體積模量;Ks為固相顆粒體積模量;μb為骨架剪切模量;為背景介質孔隙流體體積模量;為包裹體孔隙流體體積模量.根據模型示意圖2,在單位系統中,有效流體體積變化為[20]?1ζ ≈1?V0/V.V0是靜態時嵌入包裹體的體積,V是波傳播作用下,動態時包裹體的體積,那么ζ可表達為

其中X表示波傳播作用下“十字型”嵌入包裹體等效正方體的動態邊長;X0表示靜態時包裹體等效正方體的邊長(圖2).

圖2 介觀尺度孔隙介質等效特征單元 (a) 三維示意圖;(b) 二維示意圖Fig.2.Equivalent characteristic unit of mesoscopic porous media:(a) Three-dimensional schematic diagram;(b) twodimensional schematic diagram.

部分飽和孔隙介質中,動能函數可寫為[16]

x=X時,應力、應變滿足連續邊界條件.參考Rayleigh[23](1917)對氣泡膨脹過程速度的定義,根據動能定理,非飽和孔隙介質特征單元中包裹體外的動能表達如下:

聯合(5)式和(6)式,可以得到

單位特征單元中,“十字型”包裹體的體積占比為v2=7X03≈7X3,且?2=v2?0,可以得到

由(3)式可得

因此,動能密度可進一步表示為

根據Biot[1?3]對耗散函數的定義,將其擴展到一類骨架,兩類流體的部分飽和孔隙介質中:

其中bi表示耗散系數,分別是固相、背景介質孔隙流體、包裹體孔隙流體的振動速度向量;DL表示介觀尺度局域性孔隙流體流動所產生的耗散,與動能函數的推導過程類似,DL可表示為

根據雙重孔隙模型推導過程[16,20],將(1)式、(4)式及(10)式—(12)式代入含阻尼的拉格朗日方程[24],可得到“十字型”非飽和雙重孔隙介質波傳播方程:

將(15)式代入(14)式中,并用(14)式的孔隙流體壓力代替(13)式的孔隙流體壓力項,即為統一考慮宏觀、介觀和微觀波至流的多尺度波至流非飽和孔隙介質波傳播方程(BRS 模型).將波動方程(13)中的固相位移、流體位移及流體體應變增量寫為平面波解的形式 exp i(ωt ?k·z),將之代入(13)式中,經整理可得:

求解(16)式,得到波數k,進而得到波的傳播速度和品質因子:

3 數值分析

為了進一步分析多尺度波至流非飽和孔隙介質波傳播特征,設定孔隙介質模型(表1),對比Biot 理論、BISQ 模型、BR 模型以及BRS 模型預測的波傳播速度與衰減特征,分析介質參數對BRS 模型預測波傳播速度與衰減的影響.從1 Hz—100 MHz 范圍內的波傳播速度和逆品質因子預測結果(圖3)可得一下結論.

圖3 不同孔隙介質模型波傳播速度與衰減對比Fig.3.Comparison of wave propagation velocity and attenuation in porous media between different models.

表1 非飽和孔隙介質模型參數Table 1.Parameters of unsaturated porous media model.

1) BISQ,BR 和BRS 模型預測的波速頻散的低頻極限和高頻極限基本一致,高頻極限趨近于Biot 預測值.Biot 預測波速只在高頻端存在微弱頻散過渡帶,說明宏觀波至流產生的頻散很小.BISQ 預測波速在高頻端存在明顯頻散過渡帶,說明BISQ 在宏觀流基礎上引入的噴射流,可導致高頻端產生更大頻散.BR 預測波速在高頻端的頻散過渡帶與Biot 一致,在低頻端存在明顯頻散過渡帶,說明BR 在宏觀流基礎上引入的介觀流,可導致低頻端產生更大頻散.BRS 預測波速在低頻端和高頻端都存在明顯頻散過渡帶,綜合體現了宏觀流、噴射流和介觀流產生的波速頻散,更有利于解釋更寬頻帶范圍觀測到的頻散現象.

2) Biot 預測的衰減總體上最低,可以觀察到宏觀Biot 流導致的波衰減峰值.BISQ 預測的衰減和Biot 預測衰減總體趨勢一致,但衰減值更高,可以觀察到微觀噴射流導致的波衰減峰值和微弱的宏觀Biot 流導致的波衰減峰值.BR 預測的衰減在高頻端和Biot 預測結果相當,可觀察到宏觀Biot 流導致的波衰減峰值,此外,BR 預測衰減在低頻端遠高于Biot 和BISQ 模型預測結果,可觀察到介觀流導致的波衰減峰值.BRS 預測衰減在高頻端接近BISQ 預測結果,能觀察到微弱宏觀Biot 流和明顯微觀噴射流導致的波衰減峰值,BRS 預測衰減在低頻端接近BR 模型預測結果,可觀察到介觀流導致的波衰減峰值.

下面分析主要孔隙介質參數對BRS 模型預測的波傳播速度和衰減的影響.隨著孔隙度的增加,波速整體減小,波速頻散總體趨勢和過渡帶所在頻率范圍基本保持不變,波衰減在頻散過度帶頻帶范圍內總體隨孔隙度增大而增大(圖4),這是由于孔隙流體的彈性模量比固相骨架低,孔隙度增大,造成孔隙流體占比成比例增大,造成速度在整個頻帶范圍內降低,同時,孔隙度的增加會增大固流耦合和相對運動,從而產生更高的衰減.隨著背景介質占比(也即液相流體飽和度)的降低,波速變小,代表介觀流的衰減峰向高頻方向移動,但代表噴射流的衰減峰變化較小(圖5),說明隨著液相飽和度的減小,孔隙流體等效彈性模量降低,進而導致孔隙介質波速減小,同時,介觀流受孔隙流體參數的影響遠高于微觀流.隨著介觀包裹體尺度增大,代表介觀流的波速頻散過渡帶和衰減峰向低頻方向移動,而代表噴射流的頻散過渡帶和衰減峰則沒有變化(圖6),這是由于包裹體尺度僅影響介觀流,包裹體尺寸越大,介觀流導致的低頻彈性波頻散和衰減越明顯.隨著滲透率的增加,波速和衰減曲線整體向高頻方向移動(圖7).需要說明的是,孔隙介質參數對孔隙介質中彈性波的衰減及波速頻散的影響滿足復雜的非線性關系((16)式和(17)式),各參數之間相互耦合,因此,針對具體實際問題(如油氣儲層或海底),根據描述孔隙介質波傳播的方程計算結果,評價孔隙參數對孔隙介質波傳播速度與衰減的影響更具客觀和具有實際價值.

圖4 不同孔隙度BRS 模型預測的波速與衰減Fig.4.Wave velocity and attenuation predicted by BRS model with different porosity.

圖5 不同飽和度BRS 模型預測的波速與衰減Fig.5.Wave velocity and attenuation predicted by BRS model with different saturation.

圖6 不同介觀尺度BRS 模型預測的波速與衰減Fig.6.Wave velocity and attenuation predicted by BRS model with different saturation.

圖7 不同滲透率BRS 模型預測的波速與衰減Fig.7.Wave velocity and attenuation predicted by BRS model with different permeability.

4 結論

將非飽和孔隙介質等效為含液相孔隙流體的背景介質中嵌入含氣相孔隙流體的包裹體,在非飽和雙重孔隙介質模型基礎上,引入微觀噴射流,建立了包含宏觀、微觀和介觀三種尺度波至流的非飽和孔隙介質波傳播方程.

1) Biot 模型僅能在高頻端預測微弱的波速度頻散,預測衰減較小;BISQ 模型可以解釋較高頻段的強速度頻散和高衰減;BR 模型可以解釋較低頻段的強速度頻散和高衰減;BRS 預測速度頻散和衰減在宏觀流導致的弱頻散和衰減基礎上,同時體現出了介觀波至流導致的低頻高頻散和低頻高衰減以及微觀噴射波至流導致的高頻高頻散和高衰減,能更好地在更寬頻帶范圍內解釋孔隙介質中波傳播的頻散和衰減現象.

2) 隨著孔隙度的增加,波速整體減小,波衰減在頻散過度帶頻帶范圍內增大;隨著流體飽和度的增加,波速變小,代表介觀流的衰減峰向高頻方向移動,代表噴射流的衰減峰變化較小;包裹體尺度參數僅影響介觀流,隨著其增大,介觀流波速頻散過渡帶和衰減峰向低頻方向移動;隨著滲透率的增加,波速和衰減曲線整體向高頻方向移動.