應用“A”與“X”模型證明著名平面幾何定理

曾 嬌 唐金芳 肖 剛

(四川省宜賓學院理學部 644000)

1 基本模型

1.1 “A”型

如圖1，在△ABC中，DE∥BC

圖1 圖2

注：代數中合比定理可由此模型理解.

1.2 “X”型

如圖2，DE∥BC，DC與BE交于點A

2 平行線法在著名平面幾何定理中的應用

2.1 梅涅勞斯定理

設A′、B′、C′分別是△ABC的邊BC、CA、AB所在直線上的點(即三點中或一點或三點在邊的延長線上)，則A′、B′、C′共線的充要條件是( ).

圖3

關于梅涅勞斯定理教學分析:

在上述的證明過程中，我們的方法是作輔助線過點“A”作與“梅氏線”平行的輔助線

同理我們也作輔助線過點“B”或“C”作與“梅氏線”平行的輔助線，可以將六條線段轉化在直線AB或者AC上，可得到不同的作輔助線方法，但原理一致.

如圖4，作輔助線過點“B”作與“梅氏線”A′C′平行的輔助線“AE”，利用“A”型將所有線段比轉化到AC上.

圖4

證畢.

2.2 塞瓦定理

設A′、B′、C′分別是△ABC的邊BC、CA、AB所在直線上的點(即三點中或一點或三點在邊的延長線上)，則三直線AA′、BB′、CC′共點或平行的充要條件是

證明必要性：如圖5，若AA′、BB′、CC′交于一點P，則過A作BC的平行線，分別交BB′，CC′的延長線于D,E，得：

圖5

如圖6，若AA′、BB′、CC′三線平行，可類似證明.

圖6

故AA′∥BB′∥CC′.

關于塞瓦定理教學分析:

將六條線段轉化在一組平行線“ED”“BC”上.同理我們也可以將六條線段轉化在另外兩組平行線上，可得到不同的作輔助線方法，但原理一致.

2.3 梅涅勞斯定理與塞瓦定理

如圖7，利用梅涅勞斯定理證明塞瓦定理：

圖7

設A′、B′、C′分別是△ABC的邊BC、CA、AB所在直線上的點(即三點中或一點或三點在邊的延長線上)，則三直線AA′、BB′、CC′共點或平行的充要條件是

以共點為例：

在△ABC中：

△ABA′被直線CPC′所截：

△ACA′被直線BPB′所截：

反之：由塞瓦定理可以推導梅涅勞斯定理.

對于平面幾何題，我們經常思考“一題多解”、“多題一解”等問題，有助于我們發散思維.解同一幾何題，有不同的輔助線添加方法，則解題方法不一樣.掌握基本幾何模型以及作輔助線的技巧，一題就可能實現多解.著名平面幾何定理的欣賞，有利于我們提升自己的幾何素養.本文我們總結了兩類模型以及在著名平面定理里的應用，兩類模型的結論，均是與線段比例有關，所以，有關線段比例問題，可考慮這兩類模型結論.轉化線段的方法，在三角形的相似、線段積與線段比的數量關系、面積問題等方面有著廣泛的應用.

梅涅勞斯定理、塞瓦定理、西姆松等著名平面幾何定理的學習與研究，不僅可以培養學生的邏輯推理能力，增強學生的解題能力，而且可以向學生展現出平面幾何的美，提高學生的學習興趣.應用“A”與“X”模型證明著名平面幾何定理，重點闡述作輔助線的技巧與依據，讓學生迅速舉一反三，類比遷移，有利于提高解題效率.